von Mises塑性理論
理论与物理
什么是von Mises塑性
老师，von Mises塑性理论是FEM材料非线性的基础吧。
von Mises屈服条件是描述金属塑性变形最基本的理论。"当等效应力（von Mises应力）达到屈服应力时，塑性变形开始"。
von Mises等效应力
或用分量表示：
屈服条件
$f < 0$ 则为弹性域。$f = 0$ 表示在屈服面上（塑性变形）。$f > 0$ 不被允许（不能超出屈服面）。
在应力空间里，"球面"就是屈服面吧。
在偏应力空间里看，von Mises屈服面是一个圆柱体。不依赖于静水压（体积应力）是von Mises的特点。因为金属的塑性变形不伴随体积变化（不可压缩塑性流动），这在物理上是合理的。
硬化法则
屈服后的应力-应变关系（硬化法则）：
| 硬化类型 | 屈服面的变化 | 用途 |
|---|---|---|
| 完全弹塑性（完全塑性） | 屈服面固定 | 极限载荷评估 |
| 等向硬化 | 屈服面膨胀 | 单调加载 |
| 随动硬化（运动硬化） | 屈服面移动 | 循环加载（疲劳） |
| 混合硬化 | 膨胀＋移动 | 最通用 |
Abaqus
```
*MATERIAL, NAME=steel
*ELASTIC
200000., 0.3
*PLASTIC
250., 0.0 $ 屈服应力250 MPa, 塑性应变0
400., 0.1 $ 400 MPa, 塑性应变10%
500., 0.3 $ 500 MPa, 塑性应变30%
```
Nastran
```
MAT1, 1, 200000., , 0.3
MATS1, 1, , PLASTIC, , , 1, 1
TABLES1, 1, , ,
, 0.0, 250., 0.1, 400., 0.3, 500., ENDT
```
用应力-塑性应变的表格来定义硬化曲线啊。
将拉伸试验的名义应力-名义应变曲线转换为真应力-真应变后再输入FEM。大变形分析中必须使用真应力-真应变。
总结
要点：
- $\sigma_{vm} = \sigma_Y$ 时屈服 — 金属塑性的基础
- 不依赖于静水压 — 无体积变化（金属的特点）
- 硬化法则 — 完全塑性/等向硬化/随动硬化/混合硬化
- 用真应力-真应变输入FEM — 需要从名义值转换
- 所有FEM求解器的标准 — 最基本的材料非线性模型
von Mises的1913年论文
Richard von Mises于1913年在哥廷根科学协会期刊上，提出了用J₂=k²（第二偏应力不变量）表示屈服条件的准则。关于剪切应变能达到临界值时屈服的物理解释，是由Hencky（1924年）补充的。在主应力空间中表现为圆柱面，是当前应用最广泛的屈服准则。
各项的物理意义
- 惯性项（质量项）：$\rho \ddot{u}$，即"质量×加速度"。您有过急刹车时身体被向前甩出去的经历吗？那种"被带走的感觉"正是惯性力。物体越重越难启动，一旦启动也越难停止。地震时建筑物摇晃，也是因为地面突然移动，而建筑物的质量"被落下"。静力分析中此项设为零，这是假设"因为缓慢加载所以加速度可以忽略"。对于冲击载荷或振动问题，此项绝对不能省略。
- 刚度项（弹性恢复力）：$Ku$ 或 $\nabla \cdot \sigma$。拉弹簧时会感觉到"想要恢复的力"吧？那就是胡克定律 $F=kx$，也是刚度项的本质。那么提问——铁棒和橡皮筋，用相同的力拉，哪个伸得更长？当然是橡皮筋。这种"难拉伸的程度"就是杨氏模量 $E$，它决定了刚度。常见的误解："刚度高=强度高"是不对的。刚度是"难变形的程度"，强度是"难破坏的程度"，是不同的概念。
- 外力项（载荷项）：体积力 $f_b$（重力等）和表面力 $f_s$（压力、接触力等）。可以这样想——桥上卡车的重量是"作用在整个内部上的力"（体积力），轮胎压路面的力是"只作用在表面上的力"（表面力）。风压、水压、螺栓紧固力……都是外力。这里容易犯的错误：弄错载荷方向。本想"拉伸"却成了"压缩"——听起来像笑话，但在3D空间中坐标系旋转时确实会发生。
- 阻尼项：瑞利阻尼 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。试着弹一下吉他弦。声音会一直持续吗？不，会逐渐变小。因为振动能量通过空气阻力或弦的内部摩擦变成了热能。汽车的减震器也是同样原理——特意吸收振动能量来改善乘坐舒适性。如果阻尼为零会怎样？建筑物在地震后会一直摇晃下去。实际上不会这样，所以设置适当的阻尼很重要。
假设条件与适用范围
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意事项·换算备忘 |
|---|---|---|
| 位移 $u$ | m（米） | 以mm输入时，载荷、弹性模量等也需统一为MPa/N系单位 |
| 应力 $\sigma$ | Pa（帕斯卡）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。与屈服应力比较时注意单位制不一致 |
| 应变 $\varepsilon$ | 无量纲（m/m） | 注意工程应变与对数应变的区别（大变形时） |
| 弹性模量 $E$ | Pa | 钢: 约210 GPa，铝: 约70 GPa。注意温度依赖性 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm单位制下为tonne/mm³（钢约为 10⁻⁹ tonne/mm³） |
| 力 $F$ | N（牛顿） | mm单位制下用N，m单位制下也用N统一 |
数值解法与实现
Return Mapping算法
老师，塑性的数值处理是怎么做的？
Return Mapping（应力返回）算法是标准方法：
1. 弹性预测子（elastic predictor） — 假设应变增量全部为弹性，计算临时应力
2. 屈服判定 — 临时应力是否在屈服面之外？
3. 塑性校正子（plastic corrector） — 如果在屈服面之外，则将应力"返回"到屈服面上
是"弹性假设计算→返回屈服面"这两步啊。
对于von Mises塑性，这个返回可以通过径向返回法（radial return）精确计算。非常高效且稳定。所有商用求解器都已实现。
切线刚度矩阵（CTO）
塑性状态下的切线刚度（一致切线算子，CTO）：
$$ [D_{ep}] = [D_e] - \frac{[D_e]\{n\}\{n\}^T[D_e]}{\{n\}^T[D_e]\{n\} + H} $$
塑性状态下的切线刚度（一致切线算子，CTO）：
$H$ 是硬化系数。$\{n\}$ 是屈服面的法线。CTO保证了Newton-Raphson法的二次收敛性。
总结
径向返回映射
von Mises+等向硬化的FEM实现使用"径向返回映射"。由弹性预测→确认是否超出屈服面→沿切线方向返回这三个步骤构成，Simo & Taylor（1985年）证明了其线性收敛性。一次迭代即可得到精确解（若使用切线弹性模量），因此计算成本低，几乎被所有通用求解器采用。
线性单元（1次单元）
节点间进行线性插值。计算成本低，但应力精度低。注意剪切自锁（可通过减缩积分或B-bar法缓解）。
二次单元（带中间节点）
可以表现曲线变形。应力精度大幅提高，但自由度约增加2~3倍。建议：应力评估很重要时使用。
完全积分 vs 减缩积分
完全积分：有过约束（自锁）风险。减缩积分：有沙漏模式（零能量模式）风险。根据情况选择合适的方法。
自适应网格
基于误差指标（ZZ估计量等）的自动细化。高效提高应力集中部位的精度。有h法（单元细分）和p法（增加阶次）两种。
牛顿·拉夫逊法
非线性分析的标准方法。每次迭代更新切线刚度矩阵。在收敛半径内具有二次收敛性，但计算成本高。
修正牛顿·拉夫逊法
切线刚度矩阵使用初始值或每隔几次迭代更新。每次迭代成本低，但收敛速度为线性。
收敛判定准则
力残差范数: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（通常 $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。位移增量范数: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。能量范数: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
载荷增量法
不一次性施加全部载荷，而是分小步逐渐增加。弧长法（Riks法）可以越过载荷-位移关系的极值点进行追踪。
直接法 vs 迭代法的比喻
直接法是"用笔算精确解联立方程"的方法——可靠但大规模问题耗时过长。迭代法是"反复猜测逼近正确答案"的方法——最初答案粗糙，但每次迭代精度都会提高。就像查字典时，从第一页开始按顺序找（直接法）不如先估计位置翻开，再前后调整（迭代法）更高效，原理相同。
网格阶次与精度的关系
1次单元是"用直尺近似曲线"——用直线折线表现，精度有限。2次单元是"柔性曲线"——可以表现曲线变化，即使网格密度相同，精度也显著提高。不过，每个单元的计算成本增加，需要根据总体的成本效益来判断。
实践指南
塑性分析的实务
von Mises塑性在什么场合使用？
金属结构的所有非线性强度评估：
| 应用 | 目的 |
|---|---|
| 耐压试验的弹塑性分析 | 压力容器的ASME Div.2 Part 5 |
| 塑性极限载荷评估 | 极限载荷法（在2倍设计载荷下是否收敛） |
| 钣金成形（冲压） | 变形后的形状与回弹 |
| 焊接残余应力 | 焊接→冷却的热弹塑性分析 |
| 地震的弹塑性时程分析 | 塑性铰的形成 |
真应力-真应变的转换
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