光谱辐射分析
理论与物理
为何需要按波长考虑？
为什么需要考虑光谱辐射？用斯特藩-玻尔兹曼定律看总辐射能量不就行了吗？
问得好。简单来说，因为在许多工程应用中，“哪个波长的光辐射/吸收了多少”是本质问题。将所有波长汇总处理的灰体近似在很多情况下精度不足。
具体是哪些情况呢？
举三个典型例子。
- 太阳能电池设计：硅太阳能电池的带隙为1.1eV，换算成波长约为1.1μm。比这更长的波长的光无法激发电子，因此不能进行能量转换。要计算太阳光谱中有多少百分比包含在此波长以下，光谱辐射的知识必不可少。
- 红外传感器·热成像：中红外（3~5μm）波段和远红外（8~14μm）波段的大气透射窗口不同。要根据想要检测的温度范围选择传感器的敏感波长区域，首先必须了解目标物的光谱辐射特性。
- 选择性辐射面设计：在太阳能集热器中，会使用能良好吸收太阳光（短波长）并抑制自身热辐射（长波长）的“选择性吸收面”。这是有意制造出短波长ε≈0.95、长波长ε≈0.05这种波长依赖性的发射率，灰体近似无法设计。
原来如此…太阳能电池对于波长1.1μm以上的光就浪费了。那太阳光中硅能利用的部分大概占多少呢？
使用带区发射率 $F(0 \to \lambda T)$ 计算的话，太阳（表面温度5778K）的总辐射能量中，波长1.1μm以下包含的比例约为75%。剩下的25%波长太长，硅无法转换。此外，即使在短波长侧也存在量子效率和复合损失，所以理论最大效率约为33%（肖克利-奎塞尔极限）。进行这类计算正是光谱辐射分析的用武之地。
普朗克辐射定律
光谱辐射的基本方程式是什么样的？
最基础的是普朗克辐射定律。温度为 $T$ 的黑体在波长 $\lambda$ 处的单色辐射力（单位面积、单位波长的辐射功率）为：
其中：
- $C_1 = 2\pi hc^2 = 3.742 \times 10^{8} \ \text{W} \cdot \mu\text{m}^4/\text{m}^2$（第一辐射常数）
- $C_2 = hc/k_B = 1.439 \times 10^{4} \ \mu\text{m} \cdot \text{K}$（第二辐射常数）
- $h$：普朗克常数，$c$：光速，$k_B$：玻尔兹曼常数
分母有 $\lambda^5$，所以在短波长侧急剧上升，在长波长侧平缓衰减。看图的话是钟形曲线吗？
是的。温度升高会发生两件事：(1) 整个曲线上移（总辐射能量增加），(2) 峰值位置向短波长侧移动。加热铁时从暗红色→橙色→白色发光，就是这个峰值移动的可见例子。
普朗克定律的极限与近似
- 短波长极限（维恩近似）：当 $\lambda T \ll C_2$ 时，$\exp(C_2/\lambda T) \gg 1$，所以 $E_{b\lambda} \approx C_1 \lambda^{-5} \exp(-C_2/\lambda T)$。在可见光区域的太阳辐射计算中有用。误差在 $\lambda T < 3000 \ \mu\text{m}\cdot\text{K}$ 时低于1%。
- 长波长极限（瑞利-金斯近似）：当 $\lambda T \gg C_2$ 时，$\exp(C_2/\lambda T) - 1 \approx C_2/\lambda T$，所以 $E_{b\lambda} \approx C_1 T / (C_2 \lambda^4)$。用于微波领域。若应用于短波长则会导致“紫外灾难”。
量纲分析与单位制
| 变量 | SI单位 | 注意点 |
|---|---|---|
| $E_{b\lambda}$ | W/(m$^2\cdot\mu$m) | 若波长取 nm 则值会变。务必统一单位制 |
| $\lambda$ | $\mu$m | 常数 $C_1$, $C_2$ 也要与μm系对齐 |
| $T$ | K（绝对温度） | 用摄氏度输入是致命错误。注意不要忘记加273.15 |
| $E_b = \sigma T^4$ | W/m$^2$ | 全波长积分的结果。$\sigma = 5.670 \times 10^{-8}$ W/(m$^2$K$^4$) |
维恩位移定律
您说温度升高峰值会向短波长侧移动，定量上是怎么样的呢？
将普朗克定律对 $\lambda$ 求导并令其为零，即可得到维恩位移定律：
哇，好简洁的公式！我想用具体温度计算看看。
我们来算几个例子。
| 对象 | 温度 T [K] | λmax [μm] | 波长区域 |
|---|---|---|---|
| 太阳表面 | 5778 | 0.50 | 可见光（绿） |
| 白炽灯泡灯丝 | 2800 | 1.04 | 近红外 |
| 熔融铁 | 1800 | 1.61 | 近红外 |
| 人体 | 310 | 9.35 | 远红外 |
| 室温墙壁 | 300 | 9.66 | 远红外 |
| 液氮 | 77 | 37.6 | 极远红外 |
白炽灯泡的灯丝（2800K）峰值在1μm附近的近红外区域。包含在可见光区域（0.4~0.7μm）的能量只占总能量的大约10%。所以白炽灯泡90%的电能都作为“热”浪费掉了——这正是它被LED取代的原因。
诶，白炽灯泡90%都是红外线啊！用维恩位移定律一想马上就明白了。人体发出约10μm的红外线，这也直接关联到热成像使用8~14μm波段传感器的原因呢。
没错。在工程设计时，会用维恩定律快速估算“对象是多少K→峰值波长是多少→需要哪个波段的传感器或材料”。这是光谱辐射分析的第一步。
带区发射率 F(0→λT)
想要求特定波长范围的能量时该怎么办？比如“仅0.4~0.7μm可见光波段的辐射能量”这种。
这时就要用到带区发射率（黑体辐射函数） $F(0 \to \lambda T)$。定义是：
$F$ 取0到1之间的值，作为 $\lambda T$ 的函数唯一确定。波长 $\lambda_1$ 到 $\lambda_2$ 的波段内包含的辐射能量比例为：
这个 $F$ 的值能解析地求出来吗？
没有解析的闭合形式，但令 $\xi = C_2/(\lambda T)$ 进行变量替换后，可以用无穷级数表示：
实际工作中，取级数的前几项（n=1~3左右）就能得到足够的精度。我们列一个代表值的表：
| $\lambda T$ [μm·K] | $F(0 \to \lambda T)$ | 用途示例 |
|---|---|---|
| 1000 | 0.000321 | 高温下的紫外区域评估 |
| 2000 | 0.0667 | 可见光下限（太阳T=5778K时对应0.35μm） |
| 2898 | 0.250 | 到峰值波长为止（整体的25%） |
| 4000 | 0.481 | 可见光上限（太阳T时对应0.69μm） |
| 6000 | 0.738 | 近红外区域评估 |
| 10000 | 0.914 | 到中红外区域为止 |
| 50000 | 0.9995 | 几乎全波长 |
例如，太阳光（5778K）的可见光波段（0.4~0.7μm）能量比例为 $F(0 \to 0.7 \times 5778) - F(0 \to 0.4 \times 5778) = F(0 \to 4045) - F(0 \to 2311)$ ≈ 0.491 − 0.124 = 0.367（约37%）。
太阳能量中可见光占不到四成啊。剩下的六成分散在紫外和红外中…有了这个表，手算也能估算了！
光谱发射率与实际表面
刚才说的都是黑体，实际材料是怎样的呢？
实际的表面用光谱发射率 $\varepsilon_\lambda(\lambda, T)$ 来表示：
涵盖全波长的总发射率 $\varepsilon(T)$ 是用光谱发射率加权平均得到的：
重要的是，总发射率会依赖于温度。即使光谱发射率 $\varepsilon_\lambda$ 本身不怎么随温度变化，但由于普朗克分布的峰值会随温度移动，总发射率也会随温度而变化。
举个具体例子。玻璃在可见光波段（0.4~0.7μm）$\varepsilon_\lambda \approx 0.05$（几乎透明），但在红外波段（5μm以上）则跃升至 $\varepsilon_\lambda \approx 0.95$。这就是温室效应的物理原因——太阳光（短波长）能透过玻璃，但室内物体辐射的红外线（长波长）被玻璃吸收并再辐射回室内。
基尔霍夫定律 $\varepsilon_\lambda = \alpha_\lambda$（光谱发射率=光谱吸收率）在这里也成立吗？
在热平衡状态下，对于每个波长、每个方向，$\varepsilon_\lambda = \alpha_\lambda$ 严格成立。但需要注意：全波长的总发射率与总吸收率相等（$\varepsilon = \alpha$）仅限于照射光谱与自身辐射光谱形状相同时。对于接受太阳光照射的表面，入射光谱是6000K的，而自身辐射是300K的，所以通常 $\varepsilon \neq \alpha_{\text{solar}}$。选择性吸收面的设计正是利用了这个不等式。
决定了太阳能电池极限的肖克利与奎塞尔
1961年，肖克利和奎塞尔利用光谱辐射理论推导出单结太阳能电池的理论最大效率为33.7%。带隙 $E_g$ 以下的光子因能量不足无法利用，而远大于 $E_g$ 的光子其多余能量会变成热。这种“双重损失”如果不理解光谱辐射就无法推导。多结叠层型电池中，各层负责不同带隙的设计（GaInP/GaAs/Ge三结效率超46%），本质上也是带区发射率 $F(0 \to \lambda T)$ 的最优分割问题。
数值解法与实现
波长带域分割法（Band Model）
在CAE中实际求解光谱辐射时，是连续地处理波长吗？
连续光谱的严格处理计算成本巨大，所以实际工作中使用波长带域分割法（Band Model）。将光谱分割成 $N$ 个带域（波段），并假设每个带域内的辐射特性恒定。
带域数量 $N$ 取多少合适呢？越多精度越高我明白，但是…
如果目标物的光谱发射率 $\varepsilon_\lambda(\lambda)$ 平滑，N=5~10左右就足够了。如果存在发射率急剧变化的边界（例如：选择性吸收面的截止波长附近），则在那里对齐带域边界，取20个带域左右。Ansys Fluent的DO法最多支持20个带域。
带域分割的技巧是：
- 发射率变化大的波长区域细分
- 辐射能量集中的波长区域（普朗克分布峰值附近）细分
- 几乎没有辐射能量的波长区域可以粗略划分，或者省略
加权和灰气体模型（WSGGM）
气体的辐射（CO$_2$、H$_2$O等）也需要按波长考虑对吧？气体的光谱是线状光谱，看起来很复杂…
没错。气体的光谱由数万条吸收线构成，所以逐线求解的Line-by-Line法计算成本是天文数字。因此实际工作中使用加权和灰气体模型（WSGG: Weighted Sum of Gray Gases）。
思路是将实际气体近似为假想的“灰气体混合物”。每个灰气体 $j$ 具有吸收系数 $\kappa_j$ 和权重 $a_j(T)$：
其中 $p$ 是气体分压，$s$ 是光程长度。$j=0$ 对应透明窗口（$\kappa_0=0$）。
权重 $a_j(T)$ 是怎么确定的呢？
基于HITRAN或HITEMP等高精度光谱数据库进行Line-by-Line计算，然后对结果进行多项式拟合来确定系数。Smith等人的WSGGM（1982年）以及Johansson和Lallemant的改进版被广泛使用。针对温度范围及$\text{CO}_2/\text{H}_2\text{O}$混合比的系数表已公开，并且已内置在Fluent或STAR-CCM+中。
与蒙特卡洛法的组合
气体的辐射（CO$_2$、H$_2$O等）也需要按波长考虑对吧？气体的光谱是线状光谱，看起来很复杂…
なった
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