形态系数的计算
理论：一个面能“看到”另一个面多少
概述
做辐射热分析时，一开始的角系数计算特别耗时。它到底在算什么？
就是一个表面发出的辐射中直接到达另一个表面的比例。它与温度和发射率无关，只由形状和相对位置决定。所以算一次就能在不同温度下反复使用；但有 $n$ 个面就有 $n^2$ 种组合，面多的模型计算量会急剧增加。
定义
$\theta_1$、$\theta_2$ 为连接两个微元面的直线与各自法线的夹角，$R$ 为两者距离。假设为漫射面（向各方向辐射强度相同）。
互易关系与完整性关系
利用这两个关系，很多角系数无需积分就能求出。例如封闭球内表面之间，从任何位置到任何面元的角系数都等于面积比。检查数值结果是否满足完整性关系，也是判断计算正确与否的简便方法。
照明和辐射做的是同一种计算
角系数的思想很早就在照明领域用于“照度计算”。20世纪80年代，这一计算被应用到计算机图形学中，产生了“辐射度方法（Radiosity）”，能够绘制光线在房间墙面之间多次反射形成的柔和阴影。它与热辐射分析中用联立方程求解面与面之间换热的方法本质上几乎相同，是同一套数学跨领域使用的好例子。
算例：解析式与数值方法比较
相对的正方形
边长 $a$ 的两块正方形平行相对、相距 $L$ 时的角系数（解析式）：
| a/L | 角系数 | 说明 |
|---|---|---|
| 0.5 | 0.069 | 距离远，看起来小 |
| 1 | 0.200 | 1 m 见方、相距1 m |
| 2 | 0.415 | — |
| 5 | 0.690 | — |
| 10 | 0.827 | 间隙很窄的平行板 |
两块1 m² 的黑体面分别为500 K 和300 K，相距1 m 相对时，交换约616 W。间隙变窄时角系数趋近于1，接近无限大平行平板的值。
蒙特卡洛法（光线追踪）的误差
从表面上的随机点，按余弦加权的随机方向发射光线，统计打到对方表面的比例。由于每条光线只有命中或未命中两种结果，离散度可用下式估算。$a = L$ 的正方形（$F = 0.200$），自编计算的结果与之基本一致。
| 光线数 | 离散度（标准差） |
|---|---|
| 1,000 | ±6.3 % |
| 10,000 | ±2.0 % |
| 100,000 | ±0.63 % |
| 1,000,000 | ±0.20 % |
面积离散数值积分的误差
把定义的二重积分用每个面分成 $n \times n$ 块、按中心点求和的方法近似，在共边且相互垂直的正方形（精确值0.2000）上试算：
| 细分 | 角系数 | 误差 |
|---|---|---|
| 2 × 2 | 0.264 | +32 % |
| 4 × 4 | 0.233 | +16.5 % |
| 8 × 8 | 0.217 | +8.4 % |
| 16 × 16 | 0.208 | +4.2 % |
| 32 × 32 | 0.204 | +2.1 % |
细分加倍，误差也只减半。
因为在共边附近距离 $R$ 趋于零，被积函数急剧增大。相隔较远的面，少量细分就能达到精度；但在表面相接的地方——机箱内角、翅片根部等——误差容易残留。商业软件会对相近的面对加密细分或解析积分，但视设置也可能按粗网格计算，要注意。
在热分析中的应用
设置要点
- 遮挡：两个面之间有其他零件时角系数会减小。关闭遮挡判断计算会更快，但在复杂几何中会高估换热。
- 完整性检查：封闭空间中，确认各面角系数之和为1。明显偏离的面，要么细分或光线数不足，要么辐射从缝隙泄漏。
- 对外辐射：开放空间中，要设置代表环境（天空、室内墙面）的虚拟面，或以向环境温度辐射作为边界条件。
- 面的粗化：辐射通常不需要细的热分析网格。可以使用为辐射合并面片、减少角系数计算量的功能。
计算方法的选择
| 方法 | 擅长场合 | 注意事项 |
|---|---|---|
| 解析式（表格） | 简单形状、验证 | 形状有限 |
| 面积离散数值积分 | 相隔较远的面、结果平滑 | 相接面附近有误差 |
| 蒙特卡洛法 | 复杂几何、遮挡、镜面反射 | 统计离散，需足够光线数 |
先怀疑角系数，再怀疑发射率
含辐射的热分析与实测对不上时，人们首先想调整发射率。但表面处理的样本值往往偏差不大，原因常常在角系数一方——辐射从缝隙泄漏、关闭了遮挡判断、省略了附近零件等。在拟合发射率之前，先用完整性关系和简单形状的解析式确认角系数计算正确，结果往往是捷径。
常见错误
错误与对策
| 错误 | 后果 | 对策 |
|---|---|---|
| 忽略互易关系只用单向 | 面积不等时换热量出错 | 用 $A_1F_{12} = A_2F_{21}$ 验证 |
| 关闭遮挡判断 | 复杂几何中高估换热 | 开启遮挡计算并比较差异 |
| 相接面粗略细分 | 高估角系数 | 角部加密或解析积分 |
| 光线数保持默认值 | 小面上离散大 | 按关键面所需精度反算光线数 |
| 开放空间不设置环境 | 辐射无处可去，温度出错 | 设置虚拟环境面或环境温度 |
我想换些形状试试角系数。