参数设置
BP Reynolds 数基于管直径 $D = 10$ mm、平均速度 $U = 1$ m/s，用 $\mu_p$ 定义：$Re_{BP} = \rho U D / \mu_p$。宾汉数：$Bi = \tau_y / (\mu_p \dot{\gamma})$。
流动曲线 τ vs γ̇
横轴＝剪切速率 $\dot{\gamma}$（1/s）／纵轴＝剪切应力 $\tau$（Pa）／黄线＝宾汉流体 $\tau = \tau_y + \mu_p \dot{\gamma}$（y 截距为 $\tau_y$）／青色虚线＝相同 $\mu_p$ 的牛顿流体 $\tau = \mu_p \dot{\gamma}$（通过原点）／黄●＝当前 $(\dot{\gamma},\tau)$。
圆管内速度分布 u(r)
轴对称圆管截面（半径 $R$）／中央灰色带＝塞流（rigid core, $r < r_p$）／外侧＝粘性流动区域／$r_p / R$ 由壁面剪切应力对屈服应力的比值决定，Bi 越大塞流越宽。黄线＝当前速度分布。
理论与主要公式
宾汉塑性的本构方程（$\tau_y$＝屈服应力 Pa、$\mu_p$＝塑性粘度 Pa·s、$\dot{\gamma}$＝剪切速率 1/s）：
$$\tau = \tau_y + \mu_p\,\dot{\gamma}\quad(\tau \ge \tau_y)$$
当 $\tau < \tau_y$ 时 $\dot{\gamma} = 0$（无流动，刚体行为）。表观粘度为 $\mu_{\text{app}} = \tau / \dot{\gamma}$：
$$\mu_{\text{app}} = \dfrac{\tau_y}{\dot{\gamma}} + \mu_p$$
宾汉数（屈服应力 vs 粘性应力）和 BP Reynolds 数（用 $\mu_p$ 定义）：
$$Bi = \dfrac{\tau_y}{\mu_p\,\dot{\gamma}},\qquad Re_{BP} = \dfrac{\rho\,U\,D}{\mu_p}$$
本工具的默认值（$\tau_y = 20$ Pa、$\mu_p = 0.5$ Pa·s、$\dot{\gamma} = 10$ 1/s、$\rho = 1500$ kg/m³、$D = 10$ mm、$U = 1$ m/s）给出 $\tau = 25.0$ Pa、$\mu_{\text{app}} = 2.50$ Pa·s、$Bi = 4.00$、$Re_{BP} = 30.0$。
什么是宾汉塑性流体
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我在流变学书籍中看到"宾汉塑性流体"这个词，它和牛顿流体或幂律流体有什么区别呢？
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最大的区别是"具有屈服应力 $\tau_y$"。牛顿流体和幂律流体无论应力多小都会流动。但宾汉流体在 $\tau < \tau_y$ 时像刚体一样不变形。只有当应力超过屈服应力时才开始流动，之后遵循 $\tau = \tau_y + \mu_p \dot{\gamma}$ 的直线关系。$\mu_p$ 称为塑性粘度。这个工具的默认值（$\tau_y = 20$ Pa、$\mu_p = 0.5$ Pa·s、$\dot{\gamma} = 10$ 1/s）计算结果应该显示 $\tau = 25.0$ Pa、表观粘度 $\mu_{\text{app}} = 2.50$ Pa·s、宾汉数 $Bi = 4.00$、$Re_{BP} = 30.0$。
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最著名的例子是牙膏。不挤压的话牙膏不会自己流出，挤出来后又能保持形状。这就是"具有屈服应力"的表现。其他例子包括未搅拌的涂料、混凝土、钻井液、蛋黄酱、番茄酱、油脂等。建筑工地的混凝土之所以不会因自身重量而坍塌，正是因为具有宾汉塑性。坍落度试验就是粗略测量 $\tau_y$ 的方法。
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这叫"rigid core"（刚性核心）。圆管内的剪切应力分布为 $\tau(r) = (\Delta p / 2L)\, r$，在中心为 0，向壁面递增。在宾汉流体中，$\tau(r) < \tau_y$ 的中心区域无法满足流动条件，所以那部分作为一个整体一起运动，外侧才进行正常的剪切流动。下面画布中那个标记为"塞流 (rigid core)"的灰色带就是它。拖动 $\tau_y$ 滑块增大，或者降低 $\dot{\gamma}$，你会看到塞流宽度 $r_p/R$ 逐渐扩大。
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$Bi = \tau_y / (\mu_p \dot{\gamma})$ 是"屈服应力 vs 粘性应力"的比值。粗略地说，Bi < 1 时流体接近牛顿行为，$1 \le Bi \le 10$ 时是混合流动，$Bi > 10$ 时屈服应力占绝对主导。默认值的 $Bi = 4$ 是一个很典型的宾汉流体状态——中央塞流明显，但周围的剪切流动也清晰可见。在实际工艺设计中，根据过程的剪切速率估算 $Bi$，能快速判断流动的规模。
常见问题
这些都是具有屈服应力的模型，但屈服后的应力-应变速率关系不同。宾汉模型是线性的 $\tau = \tau_y + \mu_p \dot{\gamma}$，只有 2 个参数，最简单。Herschel-Bulkley 是幂律型 $\tau = \tau_y + K \dot{\gamma}^n$，有 3 个参数，适合涂料、钻井液、酸奶等屈服后仍有非线性性的流体。Casson 模型采用 $\sqrt{\tau} = \sqrt{\tau_y} + \sqrt{\mu_C \dot{\gamma}}$ 的形式，用于血液或印刷油墨等具有微弱结构的流体。要在宽广的剪切速率范围内用一个模型拟合，通常选择 Herschel-Bulkley。
主要有三种方法。第一种是应力扫描：逐步升高应力，观察剪切速率突然上升的点，该点应力就是 $\tau_y$。第二种是对低剪切速率的数据进行直线拟合，y 轴截距就是 $\tau_y$。第三种是静态法，用 vane 流变计或坍落度试验直接测量开始流动的应力。同一材料用不同方法测定会得到相差 20% ~ 30% 的值，这对应"动态屈服应力"和"静态屈服应力"的区别。报告结果时必须说明用了哪种定义。
严格的宾汉模型在 $\dot{\gamma} \to 0$ 时粘度发散，直接数值计算几乎不可行。实务中使用 Papanastasiou 正则化：$\mu_{\text{eff}} = \mu_p + \tau_y (1 - e^{-m \dot{\gamma}}) / \dot{\gamma}$，其中 $m = 100 \sim 1000$ s。OpenFOAM 的 BinghamPlastic、ANSYS Fluent 的 Bingham 选项都内置了这种正则化。注意 $m$ 不能设太大（易振荡）也不能太小（不符合物理），通常从 $m = 500$ s 开始，根据收敛历史调整。
本工具显示的 $Re_{BP} = \rho U D / \mu_p$ 是以 $\mu_p$ 为分母的最简单定义，对层流阶段的粗估计足够，但没有考虑屈服应力的影响。如要精确预测乱流遷移，需要同时考虑 Hedstrom 数 $He = \rho D^2 \tau_y / \mu_p^2$，用 Hanks 判定式 $Re_c = 4 \alpha (1 - 4\alpha/3 + (4\alpha/3)^4/3)$（其中 $\alpha$ 由 $He$ 决定）来求临界 Reynolds 数。$He$ 越大，层流区越宽。$\tau_y$ 大的流体更不易转入乱流。
实际应用
混凝土的流动特性：混凝土由水泥、水、骨料和添加剂组成，典型参数为 $\tau_y = 100 \sim 2000$ Pa、$\mu_p = 10 \sim 200$ Pa·s。泵送、浇筑、坍落度都能用这两个参数解释。坍落度值与屈服应力直接相关，自密实混凝土（SCC）的设计需要降低 $\tau_y$ 以提高流动性，同时防止材料分离。用本工具在 $\tau_y = 100 \sim 500$ Pa 范围内调整参数，可看到塞流半径和表观粘度的大幅变化。
钻井液与油田流体：石油和地热钻井用的钻井液是膨润土悬浊液，典型值 $\tau_y = 5 \sim 50$ Pa、$\mu_p = 0.01 \sim 0.1$ Pa·s。在停止循环时，$\tau_y$ 要足够高以防钻屑沉降；在循环中，$\mu_p$ 决定泵的动力消耗。两者的平衡是现场优化的关键。本工具中增大 $\tau_y$ 同时降低 $\dot{\gamma}$，可以看到塞流扩大、运输效率提升的过程。
牙膏、化妆品、食品酱料：牙膏的典型参数为 $\tau_y = 100 \sim 300$ Pa、$\mu_p = 1 \sim 10$ Pa·s。只有在挤压时才流出，挤出后形状保持，进入口腔后与唾液混合粘度下降——这一系列复杂行为都由屈服应力解释。蛋黄酱、番茄酱、脸霜、口红等的设计理念相同：$\tau_y$ 太低则容器内液化，太高则使用感差。产品流变学与官能评估直接挂钩。
血液的粘弹性与生物力学：血液是具有微弱屈服应力（$\tau_y \approx 0.005 \sim 0.05$ Pa）的 Casson 型流体，也可简化为宾汉模型。在毛细血管等低剪切区，红细胞聚集（Rouleaux 形成）会产生实效屈服应力，流动停止风险增加。动脉瘤和狭窄部分的 CFD，考虑屈服应力的模型比牛顿近似更接近实测的壁面剪切应力分布。用本工具设置小的 $\tau_y$（如 0.1 Pa），改变 $\dot{\gamma}$ 观察表观粘度变化范围。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为"只要有屈服应力，应力低于屈服值时流体就完全是固体"。实际上所有实材料都存在"蠕变"，即使 $\tau < \tau_y$ 也会在长时间尺度上缓慢变形。牙膏不会在管内永远固化，混凝土浇筑后仍会微微水平，原因都在此。CFD 中完全刚体处理会导致计算失败，标准做法是用 Papanastasiou 或 Bercovier-Engelman 正则化把它当作"极高粘度流体"。本工具为教学目的采用简化模型，没有精确再现极低剪切速率的物理。
次常见的误解是"塑性粘度 $\mu_p$ 等同于牛顿流体的粘度系数"。$\mu_p$ 实际上是"扣除屈服应力后的应力-速率关系斜率"，是两个不同的概念。表观粘度为 $\mu_{\text{app}} = \tau_y / \dot{\gamma} + \mu_p$，剪切速率越低越大。本工具默认值中，$\mu_p = 0.5$ Pa·s 但 $\mu_{\text{app}} = 2.5$ Pa·s，相差 5 倍。用管道压降计算时若直接用 $\mu_p$，会严重低估阻力。必须用对应实际 $\dot{\gamma}$ 的 $\mu_{\text{app}}$，或直接求解 Buckingham-Reiner 方程。
最后一个常见误解是"宾汉塑性可以表示所有屈服应力流体"。实际的牙膏和涂料在屈服后还具有非线性性（剪切变稀），单纯的线性宾汉模型往往拟合不好。宽剪切速率范围的数据应该用 Herschel-Bulkley（$\tau = \tau_y + K \dot{\gamma}^n$）拟合。宾汉模型只在剪切速率范围有限的场合或作为初步估计时适用。拖动本工具的扫描按钮，能直观看到模型假设的是"直线"，而真实材料通常是缓和的曲线。