参数设置
BP 雷诺数假设管径 $D = 10$ mm、平均速度 $U = 1$ m/s，并以塑性粘度定义：$Re_{BP} = \rho U D / \mu_p$。宾汉数：$Bi = \tau_y / (\mu_p \dot{\gamma})$。
流动曲线 τ 对 γ̇
横轴＝剪切速率 $\dot{\gamma}$（1/s）／纵轴＝剪切应力 $\tau$（Pa）／黄线＝宾汉流体 $\tau = \tau_y + \mu_p \dot{\gamma}$（y 截距为 $\tau_y$）／青色虚线＝同 $\mu_p$ 牛顿流体 $\tau = \mu_p \dot{\gamma}$（经过原点）／黄●＝当前 $(\dot{\gamma},\tau)$。
圆管速度剖面 u(r)
轴对称圆管截面（半径 $R$）／中央阴影带＝塞流（刚性核心，$r < r_p$）／外侧＝粘性剪切区域。塞流半径比 $r_p / R$ 由屈服应力与壁面剪切应力之比决定，Bi 越大塞流越厚。黄线＝当前剖面。
理论与主要公式
宾汉塑性本构方程（$\tau_y$＝屈服应力 Pa、$\mu_p$＝塑性粘度 Pa·s、$\dot{\gamma}$＝剪切速率 1/s）：
$$\tau = \tau_y + \mu_p\,\dot{\gamma}\quad(\tau \ge \tau_y)$$
当 $\tau < \tau_y$ 时 $\dot{\gamma} = 0$（无流动，刚体行为）。表观粘度为 $\mu_{\text{app}} = \tau / \dot{\gamma}$：
$$\mu_{\text{app}} = \dfrac{\tau_y}{\dot{\gamma}} + \mu_p$$
宾汉数（屈服应力与粘性应力之比）与 BP 雷诺数（以 $\mu_p$ 定义）：
$$Bi = \dfrac{\tau_y}{\mu_p\,\dot{\gamma}},\qquad Re_{BP} = \dfrac{\rho\,U\,D}{\mu_p}$$
本工具默认值（$\tau_y = 20$ Pa、$\mu_p = 0.5$ Pa·s、$\dot{\gamma} = 10$ 1/s、$\rho = 1500$ kg/m³、$D = 10$ mm、$U = 1$ m/s）下得到 $\tau = 25.0$ Pa、$\mu_{\text{app}} = 2.50$ Pa·s、$Bi = 4.00$、$Re_{BP} = 30.0$。
什么是宾汉塑性流体
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流变学教材里经常出现「宾汉塑性流体」，它和牛顿流体或幂律流体到底有什么区别？
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关键区别在于「屈服应力 $\tau_y$」。牛顿流体对任意应力都会流动，幂律流体也一样。但宾汉塑性流体在 $\tau < \tau_y$ 时表现得像固体，根本不变形。只有当应力超过屈服应力时才开始流动，并满足线性关系 $\tau = \tau_y + \mu_p \dot{\gamma}$，其中 $\mu_p$ 称为塑性粘度。在本工具默认值（$\tau_y = 20$ Pa、$\mu_p = 0.5$ Pa·s、$\dot{\gamma} = 10$ 1/s）下，计算结果显示 $\tau = 25.0$ Pa、表观粘度 $\mu_{\text{app}} = 2.50$ Pa·s、宾汉数 $Bi = 4.00$、$Re_{BP} = 30.0$。
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最经典的例子是牙膏。它不会自己从管中流出来，必须挤压才行；挤出之后又能保持形状停留在牙刷上，这就是「具有屈服应力」的状态。此外，未搅拌的油漆、新鲜混凝土、钻井泥浆、蛋黄酱、部分番茄酱以及各种油脂都呈现类似行为。建筑工地上新鲜混凝土在自重下不会立刻坍塌，正是宾汉性的体现，坍落度试验本质上就是粗略测量 $\tau_y$ 的方法。
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「塞流」就是速度剖面中央变成方头的那种现象吗？为什么会出现？
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没错，就是中央作为「刚性核心」整体一起运动。圆管内的应力分布 $\tau(r) = (\Delta p / 2L)\, r$ 中心为零、壁面最大，中心区域满足 $\tau(r) < \tau_y$ 时无法满足屈服条件，因此整块以同一速度运动，外侧才进行普通的剪切流动。下方画布中标注「塞流 (刚性核心)」的阴影带就是这个区域。把 $\tau_y$ 调高或把 $\dot{\gamma}$ 调低，可以看到塞流半径 $r_p / R$ 逐渐变粗；当 $Bi \to \infty$ 时整个管道完全锁死不流动。
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怎么直观理解宾汉数 $Bi$？数字感觉还不太到位……
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$Bi = \tau_y / (\mu_p \dot{\gamma})$ 是「屈服应力 vs 粘性应力」的比值。粗略地说 $Bi < 1$ 接近牛顿流体，$1 \le Bi \le 10$ 为混合塞流区，$Bi > 10$ 时屈服应力主导。默认值 $Bi = 4$ 正好是典型的宾汉行为：中心有明显的塞流，但壁面附近仍有清楚的剪切流动。工艺设计中常根据搅拌、输送、挤出的特征剪切速率估算 $Bi$，以判断属于哪种尺度的流动。
常见问题
三者均描述具有屈服应力的流体，但屈服后的应力—剪切速率关系不同。宾汉为线性 $\tau = \tau_y + \mu_p \dot{\gamma}$，仅 2 个参数，最简单。Herschel-Bulkley 为幂律 $\tau = \tau_y + K \dot{\gamma}^n$，3 个参数，适合屈服后仍有非线性的流体（油漆、钻井泥浆、酸奶等）。Casson 形式为 $\sqrt{\tau} = \sqrt{\tau_y} + \sqrt{\mu_C \dot{\gamma}}$，常用于血液和某些印刷油墨等结构较弱的流体。在较宽剪切速率范围内拟合时，Herschel-Bulkley 是标准的升级选项。
常用三种方法：第一是应力扫描，逐级提高应力，找到剪切速率突然跳升的临界点即为 $\tau_y$；第二是剪切速率—应力曲线低 $\dot{\gamma}$ 段的直线外推，y 截距即 $\tau_y$；第三是静态法（如叶轮流变仪或坍落度试验），直接测量材料开始移动所需应力。同种材料用不同方法得到的值可能相差 20% 至 30%，对应「动态屈服应力」与「静态屈服应力」的区别。报告时务必注明所用定义。
严格的宾汉模型在 $\dot{\gamma} \to 0$ 处粘度发散，朴素求解器很容易失败。工业 CFD 通常使用 Papanastasiou 正则化 $\mu_{\text{eff}} = \mu_p + \tau_y (1 - e^{-m \dot{\gamma}}) / \dot{\gamma}$，$m$ 取 100 到 1000 s，把不连续替换为光滑粘度。OpenFOAM 的 BinghamPlastic 类与 ANSYS Fluent 的 Bingham 选项均提供此类方案。$m$ 过大会引起数值振荡，过小则物理失真，推荐先从 $m = 500$ s 开始并监视残差。
本工具显示的 $Re_{BP} = \rho U D / \mu_p$ 是最简单的雷诺数定义，适合层流的概略估算。预测湍流过渡需要结合 Hedstrom 数 $He = \rho D^2 \tau_y / \mu_p^2$ 以及 Hanks 相关式 $Re_c = 4 \alpha (1 - 4\alpha/3 + (4\alpha/3)^4/3)$（其中 $\alpha$ 是 $He$ 的函数）。$He$ 越大临界雷诺数越高，因此屈服应力越强的流体在更高流速下仍能维持层流状态。
实际应用
新鲜混凝土流变：新鲜混凝土由水泥、水、骨料与添加剂组成，典型参数为 $\tau_y = 100$ 到 $2000$ Pa、$\mu_p = 10$ 到 $200$ Pa·s。可泵性、模板填充与坍落流动基本由这两个参数决定，坍落度与屈服应力直接相关。自密实混凝土（SCC）的设计追求低 $\tau_y$ 以保证流动性，同时避免离析。在本工具中把 $\tau_y$ 在 100 到 500 Pa 之间扫一遍，可以看到塞流半径与表观粘度发生显著变化。
钻井液与油田流体：膨润土基钻井泥浆典型 $\tau_y = 5$ 到 $50$ Pa、$\mu_p = 0.01$ 到 $0.1$ Pa·s。携带钻屑要求停泵时屈服应力足够大以防钻屑沉降，循环时又要兼顾泵功率（由 $\mu_p$ 决定），两者平衡是现场常规优化课题。在本工具中提高 $\tau_y$、降低 $\dot{\gamma}$ 后，可以看到塞流核心增厚、携屑能力提升的过程，同时压损也相应增加。
牙膏、化妆品与食品酱料：牙膏典型 $\tau_y = 100$ 到 $300$ Pa、$\mu_p = 1$ 到 $10$ Pa·s。挤压才出料、刷头保形、口腔中遇唾液变稀，均源于屈服应力。蛋黄酱、番茄酱、面霜、口红的设计原则也类似：$\tau_y$ 过低会在容器内坍流，过高则使用体验不佳。产品流变学与感官评价高度相关，是配方研发的核心指标之一。
血液粘弹性与生物力学：血液具有非常微弱的屈服应力（$\tau_y \approx 0.005$ 到 $0.05$ Pa），更精确的描述是 Casson 模型，但在简化分析中也会使用宾汉近似。毛细血管的低剪切区域中，红细胞聚集（缗钱状结构）会带来等效屈服应力，增加流动停滞的风险。动脉瘤和狭窄的 CFD 在引入屈服应力后，壁面剪切应力分布与实验更吻合。将 $\tau_y$ 设为 0.1 Pa 并改变 $\dot{\gamma}$，可观察表观粘度的变化范围。
常见误解与注意事项
最常见的误解是「屈服应力以下流体是完全的固体」。真实材料始终存在微小的「蠕变」，即使 $\tau < \tau_y$ 也会在长时间尺度上缓慢变形。牙膏在管内长期不会固化、新鲜混凝土浇筑后会微微平整，原因都在此。CFD 中若强行作刚体处理，往往导致求解失败，因此生产代码使用 Papanastasiou 或 Bercovier-Engelman 正则化，把未屈服区视为「高粘度流体」处理。本工具采用同样的教学性简化，并未严格再现极低剪切区域的物理。
第二个常见误解是「塑性粘度 $\mu_p$ 与牛顿粘度等价」。$\mu_p$ 是「扣除屈服应力之后的应力—剪切速率关系斜率」，与牛顿粘性并不相同。表观粘度为 $\mu_{\text{app}} = \tau_y / \dot{\gamma} + \mu_p$，随剪切速率降低而显著增大。本工具默认值下 $\mu_p = 0.5$ Pa·s，而 $\mu_{\text{app}} = 2.5$ Pa·s，两者相差 5 倍。在管道压损计算中直接用 $\mu_p$ 会严重低估损失，应使用工艺剪切速率下的 $\mu_{\text{app}}$ 或直接求解 Buckingham-Reiner 方程。
最后是「宾汉模型可以描述所有屈服应力流体」。真实的油漆、钻井泥浆、酸奶等在屈服后仍呈现剪切变稀，线性宾汉模型在高 $\dot{\gamma}$ 区会高估应力。剪切速率范围较宽时，应升级到 Herschel-Bulkley 模型 $\tau = \tau_y + K \dot{\gamma}^n$。只有当工艺剪切速率窗口较窄或仅作初步估算时，宾汉模型才合适。点击扫描按钮变化 $\dot{\gamma}$，可以直观看到本工具假定的「线性」与真实材料的曲线之间的差异。