默认值（λ=45°，φ=45°，σ=200 MPa，τcrss=50 MPa）下显示 m = 0.500、分解剪应力 τr = 100 MPa、降伏应力 σy = 100 MPa、安全系数 SF = σy/σ = 0.50。SF < 1 表示已发生滑移。当 λ 或 φ 接近 0°/90° 时，m 缩小，σy 急剧上升。
蓝色箭头：拉伸轴 σ（垂直方向） / 半透明蓝色平面：晶体内的滑移面 / 绿色箭头：滑移方向 / 红色箭头：滑移面法线 / 黄色弧：λ（拉伸轴-滑移方向夹角） / 紫色弧：φ（拉伸轴-法线夹角）。当滑移面倾斜 45° 时 λ=φ=45°，施密德因子达到最大值 0.5。当面与拉伸轴垂直或平行时，滑移方向或法线之一与轴正交，m=0。
横轴：λ（deg, 0〜90） / 纵轴：施密德因子 m / 蓝色实线：固定 φ=45° 时的 m(λ) = cos(λ) × cos(45°) 余弦曲线 / 黄色标记：当前 λ 工作点 / 绿色虚线：m_max = 0.5 理论最大值。φ=45° 时曲线给出 m = 0.7071 cos(λ)，即 λ=45° 时 m=0.5，λ=90° 时 m=0。曲面 m = cos(λ)cos(φ) 的绝对最大值 0.5 仅在 λ=φ=45° 处达到。
施密德因子（Schmid factor）：
$$m = \cos\lambda \, \cos\phi$$
分解剪应力与施密德定律的滑移启动条件：
$$\tau_r = \sigma\,m, \qquad \tau_r \geq \tau_{\mathrm{crss}}\;\Rightarrow\;\text{滑移启动}$$
单晶体降伏应力与安全系数：
$$\sigma_y = \frac{\tau_{\mathrm{crss}}}{m}, \qquad \mathrm{SF} = \frac{\sigma_y}{\sigma}$$
$\lambda$ 为拉伸轴与滑移方向的夹角，$\phi$ 为拉伸轴与滑移面法线的夹角，$\sigma$ 为施加应力（MPa），$\tau_{\mathrm{crss}}$ 为临界分解剪应力（MPa）。物理约束为 $0 \leq m \leq 0.5$，最大值 $m=0.5$ 在 $\lambda=\phi=45°$ 时达成。
什么是施密德因子模拟器
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它是预测单晶体金属沿任一方向被拉伸时降伏难易程度的几何因子，由德国物理学家 Erich Schmid 在 1924 年提出。公式是 m = cosλ cosφ，其中 λ 是拉伸轴与滑移方向的夹角，φ 是拉伸轴与滑移面法线的夹角。本工具默认值（λ=45°，φ=45°，σ=200 MPa，τcrss=50 MPa）下，你会看到 m=0.500、分解剪应力 τr=100 MPa、降伏应力 σy=100 MPa、安全系数 SF=0.50。SF=0.5 表示施加应力是降伏应力的 2 倍，也就是"已经发生滑移"的状态。
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好问题。从 Mohr 圆中你会记得，单轴拉伸试验中平面上的最大剪应力为 σ/2，发生在与加载轴成 45° 的平面上。施密德因子也是同样的原理：当滑移面与滑移方向都倾斜 45° 时（λ=φ=45°），cos(45°)×cos(45°) = 0.7071×0.7071 = 0.500。如果面与拉伸方向垂直或平行，滑移方向或法线之一就与轴正交，余弦为零，m=0，因此不发生滑移。在右侧 m(λ) 曲线上，把 λ 从 0 滑到 90°，可以看到对称的钟形余弦曲线。
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在晶体示意图里有蓝色、绿色、红色箭头和半透明的蓝色平面。各代表什么？
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垂直的蓝色箭头是拉伸轴 σ，半透明蓝色平面是晶体内的滑移面，绿色箭头沿着平面是滑移方向，红色箭头垂直平面是滑移面法线 n。λ 是蓝色箭头与绿色箭头的夹角，φ 是蓝色箭头与红色箭头的夹角。把 φ 滑到 0°，平面变得水平、法线与轴平行；把 φ 滑到 90°，平面变得垂直、法线变水平。在真实的 FCC 晶体（如 Cu、Al）中，(111) 滑移面族与 [110] 滑移方向构成 12 个滑移系，每个有不同的 m，施密德定律告诉我们滑移从给定取向下 m 最大的滑移系开始。
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τcrss 是什么？请演示一下滑块如何改变 σy。
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τcrss 是临界分解剪应力（Critical Resolved Shear Stress），是滑移系开始滑移所需的最小剪应力。它是材料属性：纯铜退火态约 0.5 MPa，加工硬化后可达 50 MPa；BCC 铁约 30〜100 MPa；HCP 镁底面滑移仅 0.5〜2 MPa。施密德定律 σm = τcrss 反解为 σy = τcrss / m。本工具默认 τcrss=50 MPa、m=0.5，所以 σy=100 MPa。把 τcrss 加倍至 100 MPa，σy 也加倍至 200 MPa；减半至 25 MPa，σy 也减半至 50 MPa。实务中加工硬化、析出强化和晶粒细化都通过提高 τcrss 来强化材料。
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右图标注 λ=45° 时 m=0.5。安全系数 SF=0.50 该如何解读？
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SF = σy / σ 是降伏应力与施加应力之比。SF > 1 表示仍处于弹性，SF = 1 表示恰好达到降伏，SF < 1 表示已经塑性变形。本工具默认 σy=100 MPa、σ=200 MPa，所以 SF=0.50，即施加载荷是降伏的 2 倍。把 σ 降到 100 MPa，SF 升到 1.00；降到 50 MPa，SF 变 2.00（双倍安全余量）。或将 λ 旋转到 60°（保持 φ=45°），m=0.354 → σy=141 MPa → SF=0.71，强度仅因取向变化而改变，这正是晶体塑性的本质。
常见问题
什么是施密德因子？
施密德因子 m 是描述单晶体拉伸试验中轴向应力 σ 在滑移面上分解为剪应力比例的几何因子，定义为 m = cosλ cosφ。λ 为拉伸轴与滑移方向的夹角，φ 为拉伸轴与滑移面法线的夹角。物理上 m 取值在 0 到 0.5 之间，最大值 0.5 在 λ = φ = 45° 时获得。本工具默认值（λ=45°，φ=45°，σ=200 MPa，τcrss=50 MPa）下显示 m=0.500，τr=100 MPa，σy=100 MPa，安全系数=0.50，即施加应力等于降伏应力、滑移正好开始的临界状态。
为什么施密德因子的最大值是 0.5？
m = cosλ cosφ 的最大值出现在 λ 与 φ 同时为 45° 时，由 cos(45°) ≈ 0.7071 得到 m_max = 0.7071 × 0.7071 = 0.500。这与 Mohr 圆得到的经典结果完全一致：单轴拉伸试验中，与加载轴成 45° 的平面上剪应力最大。在多晶金属中，塑性变形通常从最活跃滑移系的施密德因子接近 0.5 的晶粒开始，称为软取向。
什么是临界分解剪应力 τcrss？
临界分解剪应力（Critical Resolved Shear Stress, τcrss）是滑移系开始滑移所需的最小剪应力，依赖于材料、温度和位错密度。FCC 纯铜典型值约 0.5 MPa，加工硬化后可达 50 MPa；BCC 铁约 30〜100 MPa；HCP 镁底面滑移仅 0.5〜2 MPa。施密德定律指出，当施加应力下的分解剪应力 τr = σm 达到 τcrss 时，该滑移系开始滑移。本工具通过滑块在 5〜300 MPa 范围内调整 τcrss，观察对降伏应力的影响。
如何计算单晶体降伏应力 σy？
由施密德定律 σm = τcrss 直接反解得到 σy = τcrss / m。施密德因子越大（取向越接近 45°），单晶体在越低的施加应力下降伏。本工具默认值（λ=45°，φ=45°，τcrss=50 MPa）下 σy = 50 / 0.5 = 100 MPa。当 λ 或 φ 接近 0° 或 90° 时，m 趋于零，σy 发散至无穷大，称为硬取向（hard orientation），这正是晶粒塑性变形的难易程度强烈依赖于晶体取向的原因。
实际应用
镍基单晶体涡轮叶片： 喷气发动机高压涡轮叶片所用的 CMSX-4 或 René N5 单晶体叶片，其晶体生长方向（通常 [001]）需精密对准翼面主应力方向。FCC {111}<110> 滑移系对 [001] 拉伸的最大施密德因子仅为 0.408，比多晶等效取向（m≈0.5）高约 20% 的降伏应力。本工具通过调整 λ、φ 直观感受这种各向异性强化，理解实机晶体取向控制的重要性。
硅单晶体晶圆的位错控制： 半导体制造所用的 CZ 法、FZ 法 Si 单晶体晶圆，在引上时受热应力作用容易在 {111}<110> 滑移系引入位错，劣化器件特性。工程师计算主应力方向 [100] 上的施密德因子分布，识别最易激活的滑移系，并优化引上参数（温度梯度、引上速度）。本工具是该分析的入门，将取向与 m 的对应关系直观化。
镁合金板材的各向异性预测： 用于轻量化的 Mg-Al-Zn 系（AZ31, AZ91）HCP 结构中，底面 (0001) 滑移的 τcrss 仅 0.5〜2 MPa，而非底面（角锥面、柱面）滑移的 τcrss 高达 30〜80 MPa，存在巨大各向异性。结合轧制板材的集合组织（texture）与拉伸方向的夹角分布计算每个滑移系的施密德因子，可预测降伏点伸长率与各向异性指数 r 值。在工具中拨动滑块，可体验 HCP 金属中取向微小变化导致 σy 数量级波动的特有行为。
晶体塑性有限元（CPFEM）的入门教材： 近年来的高级 CAE，如基于 ABAQUS UMAT 或 DAMASK 的晶体塑性 FEM（CPFEM），在每个积分点上分配多个滑移系，显式求解施密德因子、分解剪应力与位错密度演化。本工具实时可视化 CPFEM 计算最基础的"单一滑移系的施密德因子与分解剪应力"，作为讲授和自学教材，帮助理解 CPFEM 的物理基础。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"施密德定律可直接用于多晶材料" 。它本质上是单晶体、单一滑移系的定律。在多晶中每个晶粒取向不同，且必须满足与邻晶的变形协调条件，因此需要 Taylor 多晶模型（典型 M=3.06）或 von Mises 五滑移系准则。只有把单晶体估算值乘以 M 后，工具才对多晶材料具有预测能力：σ_polycrystal ≈ M × τcrss。完整多晶分析请使用专门的晶体塑性 FEM 工具。
第二个误解是"λ + φ 总是等于 90°" 。λ 是滑移方向与轴的夹角，φ 是面法线与轴的夹角。滑移方向位于面内，法线垂直于面，因此二者相互垂直，但 cos(λ) 与 cos(φ) 是球面三角法描述的独立变量；一般情况下 λ 与 φ 相互独立，仅满足 λ + φ ≥ 90°（Schwarz 不等式）。本工具未在视觉上强制此约束，因此可输入物理上不可能的极端组合（如 λ=10°, φ=10°），请仅作为感度分析教学使用。
最后的误解是"m 大 = 材料弱" 。正确的解读是：m 大的取向能在较小的轴向应力下达到 τcrss，因此该取向的单晶体 σy 较低。这并非"材料本身弱"，只是"晶体处于易于变形的软取向"。实务中除几何效应外，加工硬化（位错纠缠）、析出强化（粒子钉扎位错）、晶粒细化（Hall-Petch）等都直接提高 τcrss。本工具固定 τcrss，仅显示取向效应，请注意实际强化是几何与微观结构两者的综合。