参数设置
材料预设（设定 k）
场景预设
默认值为钢块（h = 100 W/m²K 自然对流、k = 50 W/mK、L_c = 25 mm、α = 13 × 10⁻⁶ m²/s）。内部根据 ρc_p = k/α 计算。判定标准：Bi < 0.1（集中容量＝均匀）、0.1 ≤ Bi ≤ 10（分布分析＝内部梯度）、Bi > 10（表面集中近似）。左＝同一 τ 但强制 Bi<0.1 的均匀物体，右＝当前 Bi 的物体（高 Bi 时出现内部梯度）。
冷却温度图：均匀 vs 内部梯度
左＝同一 τ 下强制 Bi<0.1 的物体：整体保持单一颜色均匀冷却（集中容量＝无梯度）。右＝当前 Bi 的物体：表面变蓝（冷），中心仍红（热）＝可见的内部温度梯度。颜色＝红(热)→蓝(冷)。h（外周箭头）与 k（内部）之比即 Bi。
毕欧数区域图（Bi-响应）
横轴 = Bi（对数，0.001～100）/ 纵轴 = t=τ 时表面与中心的温差（梯度大小）/ 绿 = 集中容量区域（Bi<0.1，梯度近 0）/ 黄 = 分布分析区域（0.1<Bi<10）/ 红 = 表面集中区域（Bi>10）/ 黄纵线＋圆点 = 当前 Bi。跨过 Bi=0.1 后梯度开始上升。
理论与主要公式
在瞬态热传导中，通过毕欧数判定固体内部温度分布是否可视为均一。
毕欧数（内部与表面热阻的比）：
$$\mathrm{Bi} = \frac{h\,L_c}{k}$$
集中容量模型的时间常数（ρc_p = k/α）：
$$\tau = \frac{\rho c_p\,V}{h\,A_s} = \frac{\rho c_p\,L_c}{h} = \frac{k\,L_c}{h\,\alpha}$$
傅里叶数（无量纲时间）：
$$\mathrm{Fo} = \frac{\alpha\,t}{L_c^{\,2}}$$
集中容量模型的温度响应：
$$\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}=\exp(-\mathrm{Bi}\cdot\mathrm{Fo})=\exp\!\left(-\frac{t}{\tau}\right)$$
其中 $h$ 为对流传热系数 [W/m²·K]，$k$ 为固体热导率 [W/m·K]，$L_c=V/A_s$ 为特征长度 [m]，$\alpha=k/(\rho c_p)$ 为热扩散率 [m²/s]。判定标准：Bi < 0.1 适用集中容量、0.1 ≤ Bi ≤ 10 需分布分析、Bi > 10 采用表面集中近似。
毕欧数模拟器说明
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淬火传热计算中学到"如果 Bi 不超过 0.1，就可以用集中容量模型"，但 Bi 到底是什么的比值呢？
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简单说，Bi = hL_c/k 是"固体内部热传导阻力 L_c/k"与"表面对流阻力 1/h"的比。Bi 小意味着表面阻力占主导，表面成为热流的瓶颈，所以内部保持接近均一的温度。本工具的默认值是钢块（k=50、L_c=25mm）在自然对流（h=100）下冷却，得到 Bi=0.05，这是集中容量模型可以放心使用的范围。
🙋
显示的时间常数 τ 是 16.0 分钟，这表示多久会冷却完成吗？
🎓
τ 表示"初始温度差衰减到 1/e ≈ 36.8% 需要的时间"。当 t=τ 时，T/T_0 = exp(-1) = 0.368，当 t=3τ 时约 5%，t=5τ 时降至 1% 以下。实务中通常说"3τ 时实际冷却完成，5τ 时完全冷却"。对于 25mm 的钢块在空气自然对流中，大约需要 1 小时多才能 95% 冷却。
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右边的区域图中，当 Bi 变大时进入红色的"表面集中"区域，这里发生了什么？
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当 Bi > 10 时，表面对流阻力降至内部传导阻力的十分之一以下，表面瞬间与冷却流体达到热平衡。例如油淬火（h ≈ 1000）的铜块 100mm（k=400）虽然只有 Bi=0.25，但绝缘性高的陶瓷（k=2）在同样条件下 Bi=50，此时表面冷得快但中心滞后的现象很明显。用本工具设置 k=2、h=5000、L_c=200mm 会得到 Bi=500，完全进入表面集中的红色区域。
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L_c 通过滑块直接输入为毫米，如何根据自己的零件选择？
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标准定义是 L_c = V/A_s（体积除以表面积）。具体来说，无限平板是半厚 t/2，长圆柱是半径 r/2，球是 r/3。例如直径 30mm 的球，L_c = 5mm（=30/2/3），厚度 30mm 的板，L_c = 15mm。在相同材料和对流条件下，球的表面积/体积比更大，Bi 会约小 3 倍，所以集中容量近似更容易成立。本工具中 L_c 需要直接输入，所以要根据形状提前计算好 V/A_s。
常见问题
Bi = hL_c/k 表示"固体内部热传导阻力"和"表面对流传热阻力"的比。当 Bi < 0.1 时，内部阻力不超过表面阻力的十分之一，内部温度差控制在外部温度差的 5% 以下。这个阈值来自球的严格解，代表"表面与中心温度差 ≤ 5%"的实用标准，自 20 世纪 50 年代起被教科书采纳，ASME 等传热手册也采用了这个标准值。在本工具中改变 L_c 跨越 Bi=0.1 时，可以看到固体截面的色梯度（中心和表面的温度差）显著变化。
在集中容量模型中，τ = ρc_p L_c/h 表示"固体整体从空气冷却的时间尺度"（对流冷却时间）。而 L_c²/α 表示"热在内部扩散的时间"，两者由毕欧数关联（τ_diff/τ = Bi）。当 Bi=0.05 时，扩散时间仅为对流时间的 5%，内部瞬间平衡 → 集中容量模型适用。当 Bi=10 时，扩散时间长 10 倍，表面虽然冷却但中心滞后 → 需要分布分析。默认钢块（L_c=25mm）中 τ ≈ 16 分钟。
Bi > 10 表示表面对流阻力不超过内部阻力的十分之一，即表面瞬间到达流体温度的极限情况。固体内部退化为以表面温度为边界条件的纯热传导问题，对流系数 h 从计算式中消失。典型例子是淬火（油冷，h ≈ 1000 W/m²K）的钢块，表面立即冷却到油温后，内部冷却仅由 α·L_c² 决定。在本工具中设置 h=5000、L_c=200mm 时，Bi=20，在区域图中进入红色表面集中区域。
标准定义是 L_c = V/A_s（体积/表面积），对于无限平板为半厚 t/2，长圆柱为半径 r/2，球为 r/3。这样无论形状如何，毕欧数都能用一个数表示"内部阻力对表面阻力"的比。例如直径 30mm 的球和厚度 30mm 的平板在相同 h、k 下，毕欧数相差约 1/3 倍，平板更易超出集中容量近似范围。本工具中 L_c 通过滑块直接输入，需要事先计算自己情况的 V/A_s。
现实应用
金属热处理（淬火、回火）的冷却设计：SUS304 圆柱（k=15 W/mK）油冷（h ≈ 1000 W/m²K）时，L_c=10mm 的 Bi=0.67 需要分布分析，L_c=2mm 的小件 Bi=0.13 处于边界，L_c=0.5mm 的细线 Bi=0.033 可用集中容量模型。本工具输入自己零件的尺寸，可立即判断是否能用简易模型还是需要 CAE（有限元）分析。错误使用 Bi=1 的集中容量会导致中心温度预测误差超过 30%，直接影响淬火硬度的均匀性。
电子部件和 LED 散热分析：硅芯片（k=130 W/mK）的 1×1×0.5mm 晶粒，L_c ≈ 0.17mm，空气对流（h=10）时 Bi=1.3×10⁻⁵，强制风冷（h=100）时 Bi=1.3×10⁻⁴，都远小于 0.1，集全容量模型完全适用。但散热片本体（铝，k=200，L_c=10mm）在风扇冷却（h=50）下 Bi=0.0025 仍然成立，而廉价塑料外壳（k=0.3，L_c=20mm）同条件下 Bi=3.3 剧增，外壳内部的温度梯度不能忽略。
食品和药品的热处理：豆腐（k≈0.5、L_c=20mm）在 100℃ 热水（h=300）中灭菌时，Bi=12 处于表面集中近似区 — 中心达到灭菌温度需要很长时间。这正是为什么罐头食品的加热时间惊人的长。相比之下，薄火腿（L_c=2mm）Bi=1.2 处于分布分析，培根（L_c=0.5mm）Bi=0.3 接近边界。HACCP（食品卫生管理）的灭菌温度和时间规定就是基于这种传热分析确定的。
地球科学和建筑热流：地表岩石（k=2.5、α=1e-6）被日光加热时，表层 L_c=10cm 的岩石，夜间辐射冷却（h=10）下 Bi=0.4 处于分布分析区。表面和 10cm 深处的温度差约占日变化幅度的 30～50%，与现场测量相符。在建筑中，绝缘材料（k=0.04）厚度 100mm 的墙，室内侧（h=8）下 Bi=20 完全表面集中，绝缘层内的温度梯度线性分配外气温和室温之差（稳态的典型例子）。
常见误解和注意事项
最常见的误解是"Bi 小就冷却快"。Bi 只是"内部均一性的指标"，不代表冷却速度。决定冷却速度的是时间常数 τ = ρc_p L_c/h，增大 h 会使 τ 减小（冷却快），但 Bi 反而增大。本工具中把 h 从 100 改为 1000 时，τ 从 16 分钟变到 1.6 分钟（快 10 倍），但 Bi 从 0.05 跳到 0.5（从集中容量跳到分布分析）。这两个量是独立的，不要混淆。
第二常见的错误是"Bi 公式中的 k 是流体热导率"。k 是固体的热导率，h 是表面对流传热系数，两者完全不同。用流体的 k 值（如水的 k=0.6）会导致 Bi 大幅偏离。滑块明确标注"固体热导率 k"，所以要输入对象固体（钢、铜、绝缘材料等）的值，而不是空气或水的值。
最后，不要过度依赖"Bi=0.1 恰好就能用集中容量"这个边界值。实际上 Bi=0.1 时表面和中心的温度差约 5%，有些精密热处理需要 ≤1% 的差异。本工具的色梯度在 Bi=0.1 时已能看到轻微的非均一性。安全做法是把 Bi=0.01～0.05 当作"放心使用集中容量的区域"，Bi=0.05～0.2 作"条件判断"，Bi>0.2 就"强烈建议分布分析"，这样分级判断更符合工程实务。