参数设置
点击「梁长扫描」，L 从 0.5→10 m 往复变化，观察挠度随 L 的 4 次方增长。
悬臂梁、荷载与变形
左=固定端 / 右=自由端 / 黄色箭头=先端集中荷载 P / 上方短箭头群=均布荷载 w / 虚线=变形后（放大显示）
贡献的叠加（δ_P 和 δ_w）
蓝色=P 贡献 / 橙色=w 贡献 / 合计等于 δ_total
理论·主要公式
卡斯蒂利亚诺第二法则：弹性应变能 U 对所关注荷载 P 的偏微分，得到该荷载作用点和方向的位移。
$$\delta = \frac{\partial U}{\partial P}, \qquad U = \int_0^L \frac{M(x)^2}{2EI}\,dx$$
悬臂梁先端集中荷载 P 的挠度：
$$\delta_P = \frac{P L^3}{3 E I}$$
悬臂梁均布荷载 w 的挠度：
$$\delta_w = \frac{w L^4}{8 E I}$$
叠加与固定端最大弯矩：
$$\delta_{\text{total}} = \delta_P + \delta_w, \qquad M_{\max} = P L + \frac{w L^2}{2}$$
δ 与 L 的 3 次或 4 次方成正比，与刚度 EI 成反比。当 L 加倍时，挠度增长 8～16 倍。
卡斯蒂利亚诺定理 模拟器简介
🙋
听说过「卡斯蒂利亚诺定理」这个名字，但不太明白它的本质。与普通的挠度公式有什么区别吗？
🎓
很好的问题。简单说，卡斯蒂利亚诺用能量的角度来处理。梁弯曲时会存储应变能 U。将 U 对「想知道位移方向的荷载 P」偏微分，就直接得到该点的位移 δ。公式是 $\delta = \partial U/\partial P$。以模拟器的默认值（L=2 m, EI=1000 kN·m², P=10 kN）为例，计算出来的 $\delta_P = PL^3/(3EI) = 26.67$ mm，这个结果与用卡斯蒂利亚诺推导的完全一致。
🙋
原来答案是一样的啊。那为什么要费力用能量法呢？
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与直接积分法相比，能量法在复杂结构上更简洁。比如桁架或弯曲+扭转+轴力混合的框架，直接写出变形曲线太困难了。但用能量法，各内力的贡献可以相加——分别计算 $U_M, U_V, U_N$，然后求和就行。看模拟器的「贡献叠加」图表，$\delta_P$ 和 $\delta_w$ 各自独立显示，合计等于 $\delta_{\text{total}}$，这就是叠加原理的威力。
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确实，默认参数下 P 贡献 26.67 mm，w 贡献 10.00 mm，加起来 36.67 mm！把 P 改成 0 就只剩 w 的贡献，很直观。这在实际工程中也会用到吗？
🎓
会的，而且用得很广。桥梁、飞机、配管、治具——凡是需要预测变形的地方，卡斯蒂利亚诺都是首选。尤其是「只要某一点的挠度」的情况下特别方便，不用求整条梁的变形曲线。工程实务中常用虚拟荷载法（卡斯蒂利亚诺的应用）来计算支架的转角或配管系统因热膨胀产生的反力。如果你能通过本工具体会到 $\delta_P + \delta_w$ 的简单叠加，那就已经入门了。
常见问题
本工具中 P 直接作用在先端，所以那个点和方向的挠度可以用 $\delta=\partial U/\partial P$ 直接求。但如果想求荷载不作用的点的位移，或不同方向的位移，就需要引入大小为 $Q$ 的虚拟荷载，计算 $\delta=\partial U/\partial Q$，然后让 $Q\to 0$。比如要求梁中点的挠度，就在中点加一个虚拟荷载 $Q$，最后令 $Q=0$ 就能单独得到中点的挠度。
第一法则以位移为自变量，写成 $P_i=\partial U/\partial \delta_i$（对位移偏微分得荷载）。第二法则以荷载为自变量，是本工具用的方法，$\delta_i=\partial U/\partial P_i$。实务中「已知荷载求位移」的情况远多于反过来，所以第二法则应用更广。它也是位移法（矩阵法）的理论基础。
对于细长梁（跨高比 > 10），弯曲引起的挠度占绝对优势，剪力和轴力贡献一般 < 5%。本工具只计算弯曲贡献。但对于深梁或短梁（跨高比 < 5）以及低剪力刚度的材料（如FRP、木材），剪力贡献可能达 10～30%，需要用 Timoshenko 梁理论处理。实际设计时要先检查梁的「细长比」。
完全可以。将冗余反力设为未知数 $X_i$，在该点位移为零的条件下写出 $\partial U/\partial X_i=0$，就能列出求解冗余反力的方程组（最小功原理）。斜率偏转法、矩阵位移法等都是这个思想的拓展。本工具只涉及静定悬臂梁，但同样的方法可推广到连续梁、框架等超静定结构。
实际应用
飞机结构设计：机翼梁、机身框架等复杂结构的局部挠度预测离不开能量法。多种荷载工况（升力分布、燃油重量、着陆冲击）下各点位移的贡献分离，帮助工程师找出刚度不足的部位。本工具「分离 P 和 w 的贡献」的思路在实际中可扩展到数十种荷载组合。
配管和压力容器的热应力：运行中配管因温升而膨胀，会在连接点（法兰、支座）产生反力矩。热膨胀可看作「虚拟位移」，用卡斯蒂利亚诺反演出反力（柔性矩阵法），这是 Caesar 等配管分析软件的核心算法。
机械精密部件的变形预测：测量夹具、传感器悬臂、光学支架等要求严格位移精度的部件，用卡斯蒂利亚诺单点求挠度很高效。例如测量臂的自重挠度 $\delta_w=wL^4/(8EI)$ 加上被测物重量引起的 $\delta_P=PL^3/(3EI)$，验证总变形在公差内。
有限元法的理论基础：有限元（FEM）的位移法推导正是从卡斯蒂利亚诺第二法则（最小功原理）出发。刚度矩阵 $[K]$ 与荷载向量 $\{F\}$ 的关系 $\{F\}=[K]\{u\}$ 就是能量泛函停留条件的结果。能量法是经典结构力学与现代CAE的桥梁。
常见误区与注意事项
最常见的误解是「没有荷载作用的点无法用卡斯蒂利亚诺求位移」。实际上只要引入虚拟荷载 Q，计算 $\partial U/\partial Q$，再令 Q=0，就能求出任意点的位移。本工具中先端有实荷 P 作用，所以不需虚拟荷载。但这个拓展能力正是能量法的巨大优势。
另一个常见错误是「非线性材料和大变形也能直接用卡斯蒂利亚诺」。卡斯蒂利亚诺定理的前提是线性弹性（遵循 Hooke 定律）和微小变形。塑性变形、屈曲后、接触问题的能量守恒形式都不同，本定理不适用。实务中要在弹性范围内用线性叠加，接近屈服时切换到非线性分析。
最后，容易被忽略的是「低剪力刚度材料和短梁的剪力贡献」。一般细长梁（L/h > 10）弯曲主导，剪力贡献 < 5%。但短梁（L/h < 5）或复合材料、木材等低 GA 的材料，剪力项 $\delta_V=\int kV^2/(2GA)dx$ 可能占 10～30%。本工具只计了弯曲，应用于极端情况时需补充剪力修正。模拟器的数值是「细长梁、弯曲主导」的参考，不是绝对真值。