参数设置
点击"扫描梁长"后 L 在 0.5 至 10 m 之间往返，可观察挠度随 L 的四次方增长。
悬臂梁与荷载、变形
左=固定端 / 右=自由端 / 黄色箭头=端部集中荷载 P / 顶部短箭头=均布荷载 w / 虚线=变形后（夸张显示）
贡献叠加（δ_P 与 δ_w）
蓝色=P 的贡献 / 橙色=w 的贡献 / 总和等于 δ_total
理论与主要公式
卡斯蒂利亚诺第二定理：弹性应变能 U 对某荷载求偏导，即得到该荷载作用点与作用方向的位移。
$$\delta = \frac{\partial U}{\partial P}, \qquad U = \int_0^L \frac{M(x)^2}{2EI}\,dx$$
悬臂梁端部集中荷载 P 引起的挠度：
$$\delta_P = \frac{P L^3}{3 E I}$$
悬臂梁均布荷载 w 引起的挠度：
$$\delta_w = \frac{w L^4}{8 E I}$$
叠加与固定端最大弯矩：
$$\delta_{\text{total}} = \delta_P + \delta_w, \qquad M_{\max} = P L + \frac{w L^2}{2}$$
δ 与 L 的三次方或四次方成正比，与刚度 EI 成反比。在滑块上将 L 加倍，挠度即跃增 8 至 16 倍。
什么是卡斯蒂利亚诺定理模拟器
🙋
"卡斯蒂利亚诺定理"听过名字，但它到底在做什么？跟普通的挠度公式有什么区别？
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好问题。简单说，是用能量来攻克。梁弯曲时会储存应变能 U，把 U 对"想知道位移方向上作用的荷载 P"求偏导，对应点的位移 δ 就出来了，公式是 $\delta = \partial U/\partial P$。用模拟器默认值（L=2 m, EI=1000 kN·m², P=10 kN）算，$\delta_P = PL^3/(3EI) = 26.67$ mm，恰好与卡斯蒂利亚诺推出的结果完全一致。
🙋
原来如此！结果跟普通公式一样。可为什么要专门走能量这条路？
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和直接积分相比，复杂结构更省事。比如桁架、或弯曲＋剪切＋轴力混合的框架，写出挠度曲线非常麻烦。但能量贡献可加，所以可对各内力分别算 $U_M, U_V, U_N$ 再相加。看模拟器的"贡献叠加"图：$\delta_P$ 与 $\delta_w$ 各自独立伫立，总和正好是 $\delta_{\text{total}}$。这就是叠加可加性的威力。
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默认情况下 P 贡献是 26.67 mm、w 贡献是 10.00 mm，合计 36.67 mm！把 P 设为 0 只剩 w 贡献，也很容易理解。这种方法在工程现场也用吗？
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非常常用。需要预测桥梁、飞机、配管、夹具等的变形时，都是首选。尤其当只关心"某一点的挠度"时尤为方便，因为不需要求出整条挠度曲线。实务中，单位荷载法（卡斯蒂利亚诺的应用）用于求支架转角、配管热伸长引起的喷嘴反力等。在本工具中只要能感受 $\delta_P + \delta_w$ 的相加，便算迈出了第一步。
常见问题
本工具中 P 直接作用于端部，因此该作用点与方向的挠度可由 $\delta=\partial U/\partial P$ 直接得到。若需求未施加荷载的位置或其他方向的位移，则在该处引入大小为 Q 的虚荷载，计算 $\delta=\partial U/\partial Q$ 后取 $Q\to 0$ 的极限。例如求梁中点挠度时，在中点放置虚集中荷载 Q，最后令 Q=0 即可单独提取该点挠度。
第一定理以位移为自变量：$P_i=\partial U/\partial \delta_i$（对位移求导得到对应荷载）。本工具采用的第二定理以荷载为自变量：$\delta_i=\partial U/\partial P_i$。实务中以"由荷载求位移"的第二定理使用最频繁，也是位移法（矩阵法）的理论基础。
细长梁（跨度/截面高度 大于约 10）以弯曲挠度为主，剪切与轴向贡献在数 % 以内可忽略。本工具仅计算弯曲贡献。深梁或短悬臂（跨度/截面高度 小于约 5）的剪切挠度 $\delta_V=\int kV^2/(2GA)\,dx$ 不可忽略，需用 Timoshenko 梁理论。设计中应首先确认细长比。
可以。将超静定结构的多余反力作为未知量，并在该点施加位移为零的条件 $\partial U/\partial X_i=0$，即可由方程组求出未知反力 $X_i$（最小功原理）。挠度法与矩阵位移法都是其拓展。本工具针对静定的悬臂梁，但思路同样适用于连续梁与刚架结构。
实际应用
飞机结构设计：预测翼梁、机身框等复杂结构的局部挠度时，能量法不可或缺。针对多种荷载工况（升力分布、燃料重量、着陆荷载）分离评估各点的位移贡献，识别刚度不足之处。本工具的"P 与 w 贡献分离"思路与之相同，只是现场要处理几十个荷载分量。
配管与压力容器的热应力：配管系统在运行温度下产生热伸长，引起喷嘴反力。常用柔度矩阵法（卡斯蒂利亚诺的应用）将热伸长视为虚位移并反推反力矩。CAESAR 等配管分析软件的内部计算也基于此思想。
机械零部件的位移预测：对夹具、支架、悬臂式传感器等要求特定点位移精度的零部件，使用卡斯蒂利亚诺评估局部挠度。例如测量机的悬臂端部挠度，分别考虑自重 w 引起的 $\delta_w=wL^4/(8EI)$ 与被测物 P 的贡献，确认总和在公差范围内。
有限元法的理论基础：有限元法的位移法形式由最小功原理（卡斯蒂利亚诺第二定理的拓展）推导而来。刚度矩阵 $[K]$ 与荷载向量 $\{F\}$ 的关系 $\{F\}=[K]\{u\}$ 正是能量泛函的稳定条件。能量法是连接经典结构力学与现代 CAE 的桥梁。
常见误区与注意事项
最常见的误解是认为"卡斯蒂利亚诺只适用于已经有荷载作用的位置"。其实通过引入虚荷载 Q，先算 $\partial U/\partial Q$ 再取 Q=0，即可求出未受荷点的位移。本工具中 P 直接作用于端部，因此无需虚荷载，但能量法的真正威力正在于这一拓展。
其次是误以为可直接套用于非线性材料与大变形。卡斯蒂利亚诺定理建立在线弹性（虎克定律）与小变形假设上。塑性变形、屈曲后行为、接触问题中，能量守恒形式发生变化，定理不再适用。实务上是在弹性范围内利用线性叠加，接近屈服时切换为非线性分析。
最后是低估剪切挠度的陷阱。一般细长梁仅考虑弯曲贡献即可，但短悬臂（L/h 小于 5）或高剪切材料（FRP、木材）中剪切贡献可达 10〜30%。本工具仅处理弯曲，因此对极短梁或低剪切刚度材料应另行考虑剪切修正。模拟器值仅适用于"以弯曲为主的细长梁"作为参考。