参数设置
P和w同时作用，通过叠加原理求解δ和θ。挠度曲线为显示目的而放大。
悬臂梁模型与挠度曲线
左端=固定端／蓝曲线=挠度曲线（放大显示）／红箭头=先端集中荷载P／橙色箭头群=等分布荷载w
实弯矩M(x)与单位虚拟弯矩m(x)
蓝实线=M(x)（P+w引起的实弯矩）／黄虚线=m(x)=−(L−x)（单位先端荷载引起的虚拟弯矩）
理论与主要公式
单位荷载法是在要求的点和方向施加大小为1的虚拟荷载，将其虚拟弯矩与实弯矩的乘积在整根梁上积分来求变位的方法。
先端挠度δ（以单位集中荷载作为虚拟荷载）：
$$\delta \;=\; \int_0^L \frac{M(x)\,m(x)}{EI}\,dx$$
悬臂梁·先端集中荷载P：实$M = -P(L-x)$，虚拟$m = -(L-x)$，得
$$\delta_P \;=\; \frac{P L^3}{3 E I}$$
悬臂梁·等分布荷载w：实$M = -\tfrac12 w(L-x)^2$，得
$$\delta_w \;=\; \frac{w L^4}{8 E I}$$
先端转角θ使用虚拟力矩$m = -1$：
$$\theta \;=\; \frac{P L^2}{2 E I} + \frac{w L^3}{6 E I}$$
多个荷载同时作用时，各荷载引起的δ、θ进行叠加得到合计值。
单位荷载法模拟器是什么
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梁的挠度公式比如$PL^3/(3EI)$和$5wL^4/(384EI)$，我都是死记硬背的。这些公式到底从哪里来的？
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其中一个来源就是"单位荷载法"，也叫Mohr积分。简单说就是，在你想知道挠度的地方和方向上，假设施加大小为1的"假荷载"，算出此时梁上的弯矩m(x)，再乘以真实荷载的弯矩M(x)，对整根梁积分。公式就是δ = ∫₀ᴸ M·m/(EI) dx。在模拟器中改变P和w，你会直观感受到这两个公式都是从这个积分推导出来的。
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我理解你的疑惑。那其实是"虚功原理"在计算中的技巧。不是真的在梁上加荷载，而是制造一个"乘法伙伴"来取出变位。想知道先端挠度就用先端单位集中力，想知道转角就用单位力矩——根据需要的变位类型来选择虚拟荷载，这样就能用积分把那一个变位漂亮地提取出来。模拟器里的m(x) = −(L−x)，就正好是先端单位集中力对应的虚拟弯矩。
🙋
我注意到默认参数下，δ_total约321mm，这挺大的。现实中这是合理的吗？
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你观察得很仔细！EI = 1000 kN·m²其实是教科书为了数字漂亮而设的例子，对实际钢梁来说太小了。真实的梁，跨度3m的话EI应该在几万kN·m²以上，挠度只有几mm才正常。试试把EI滑块调大——你会看到挠度急剧减小，因为δ和1/EI成反比。
🙋
P和w分别计算然后相加，为什么不能混在一起算？
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在弹性范围内可以用"叠加原理"，没问题。M(x)里同时包含P的项和w的项，两者乘以同一个m(x)再积分，结果自然就是δ_P + δ_w。实务设计中也是这么干的——自重、活荷载、地震荷载分别解然后相加。但是注意，这只在弹性范围内成立。一旦钢材开始屈服或梁发生大变形，就违反了线性假设，不能随意叠加了。
常见问题
简支梁（两端铰支）可以直接用。比如中点集中荷载P的中点挠度，实弯矩是三角形，虚拟弯矩（中点单位荷载）也是三角形，两者相乘后从0到L积分就得到PL³/(48EI)。双端固定梁是超静定的，需要先用力法求出多余反力，然后再用单位荷载法。
可以。广义的单位荷载法可以写成δ = ∫(Mm/EI + Vv/GA_s + Nn/EA)dx 的形式，把弯曲、剪切、轴力的项都加上。对于细长梁（跨深比≥10）来说，弯曲项占绝对主导，剪切和轴力可以忽略。如果是短梁、Timoshenko梁或桁架，就不能忽视这些项了。
两个都属于能量法，但观点不同。Castigliano第二定理是说：应变能对荷载求偏导等于该荷载作用点的变位，即δ = ∂U/∂P。单位荷载法来自虚功原理，用积分形式δ = ∫Mm/EI dx。两者在数学上等价，对悬臂梁的手算往往会得到相同的公式，但针对不同问题选用适合的会更简便。
商用FEM软件在内部直接求解刚度方程[K]{u}={F}，用户不需要手工应用单位荷载法。但"单位荷载法的思想"深藏在影响线计算、灵敏度分析、结构优化的伴随法等现代解析方法中。而且在验证FEM结果的合理性时，手算对照仍是最可靠的手段之一。
实际应用
桥梁与建筑结构的手计算验证：桥梁主梁、建筑梁柱、框架结构的变位计算在设计实务中经常需要手算验证。单位荷载法可以直接处理自重、活荷载、地震荷载的叠加，用来求任意点的挠度和转角，对比FEM结果特别有用。挠度限值（如跨度的1/300）确认时也是标准手段。
超静定结构的内力分析：连续梁、框架、桁架桥等超静定结构要用力法（应力法）配合单位荷载法来解。设余约束力为未知数，用单位荷载法列出适应条件方程（该点变位为零），建立连立方程后求反力和断面力。计算机普及前这是结构设计的主流，今天铁路桥、公路桥的教科书中仍是核心内容。
影响线的作成：移动荷载作用下的桥梁设计需要"影响线"来判断哪个荷载位置会产生最大应力。单位荷载在桥上移动时产生的断面力和变位变化，正是影响线本身。这个理论基础就是单位荷载法，铁路桥、起重机梁等设计中今天仍不可或缺。
结构力学教育中的核心地位：大学结构力学和材料力学课程中，单位荷载法作为能量法的代表必学。虚功原理→单位荷载法→Castigliano定理→矩阵位移法的学习脉络，最终连接到有限元法的理论基础。手算中透彻理解原理，可以防止FEM变成黑箱。
常见误区与注意点
最常见的误解就是以为"单位荷载法是只能算悬臂梁先端挠度的专用公式"。其实只要在所求点和方向上放置"对应的虚拟荷载"，就能算任何静定结构的任意点的变位、转角、相对变位。梁中点挠度就在中点放单位集中力，梁端转角就在梁端放单位力矩——仅此而已。模拟器为了说明简洁只展示了先端变位，但原理的通用性远超这个。
第二常见的是觉得"δ_total太大了，计算一定有问题"。默认条件下δ_total ≈ 321mm，对L=3m的梁来说是10%以上的挠度，现实结构中完全不能接受。但计算本身没错——问题在于EI = 1000 kN·m²极其之小，那是教科书为了数字好看而设的。真实的钢梁H-400等的EI通常在几万～十几万kN·m²，同一荷载下挠度会小一个数量级。把EI改成10000，δ就变成原来的1/10，一下子就合理了。
最后一个常见陷阱是搞错m(x)的符号。实弯矩M和虚拟弯矩m必须用统一的符号规约——比如都以"下侧拉伸为正"。悬臂梁先端下向集中力的情况下，M = −P(L−x)和m = −(L−x)都是负的，但乘积M·m = +P(L−x)²是正的，积分结果也是正的下挠。要是中途换了符号规约，结果就反号了，得出"向上挠曲"这种荒唐结果。开始确定的符号规约要始终坚持。