参数设置
P 与 w 同时作用，δ 与 θ 由叠加原理求得。挠曲线为便于观察而放大显示。
计算结果
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由 P 引起的挠度 δ_P = PL³/(3EI)
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由 w 引起的挠度 δ_w = wL⁴/(8EI)
悬臂梁模型与挠曲线
左端=固定端 / 蓝色曲线=挠曲线（放大显示）/ 红色箭头=自由端集中荷载 P / 橙色箭头群=均布荷载 w
实弯矩 M(x) 与单位虚弯矩 m(x)
蓝实线=M(x)（由 P + w 引起的实弯矩）/ 黄虚线=m(x)=−(L−x)（由单位自由端荷载引起的虚弯矩）
理论与主要公式
单位荷载法在要求位移的点与方向上施加大小为 1 的虚拟荷载，将其弯矩与实弯矩相乘后沿整个梁积分。
自由端挠度 δ（以单位集中力作为虚拟荷载）：
$$\delta \;=\; \int_0^L \frac{M(x)\,m(x)}{EI}\,dx$$
悬臂梁・自由端集中荷载 P：实 $M = -P(L-x)$、虚 $m = -(L-x)$，由此
$$\delta_P \;=\; \frac{P L^3}{3 E I}$$
悬臂梁・均布荷载 w：实 $M = -\tfrac12 w(L-x)^2$，由此
$$\delta_w \;=\; \frac{w L^4}{8 E I}$$
自由端转角 θ 取虚弯矩 $m = -1$：
$$\theta \;=\; \frac{P L^2}{2 E I} + \frac{w L^3}{6 E I}$$
多个荷载同时作用时，各荷载所产生的 δ、θ 按叠加原理直接相加。
单位荷载法模拟器是什么
🙋
梁的挠度公式像 $PL^3/(3EI)$、$5wL^4/(384EI)$ 这些我都死记硬背了，但它们到底是从哪里来的？
🎓
其中一个来源就是「单位荷载法」，也叫莫尔积分。粗略地说，在你想知道挠度的位置和方向上，临时放一个大小为 1 的「假」荷载，把它产生的弯矩 $m(x)$ 与真实荷载的弯矩 $M(x)$ 相乘，对整个梁积分。式子写出来就是 $\delta = \int_0^L M\,m / (EI)\,dx$。在上方的模拟器里改变 P 和 w，就能直观感受这两个经典公式是如何从这个积分里浮出来的。
🙋
「假荷载」物理上到底是什么？说实话感觉有点别扭。
🎓
理解。这是利用「虚功原理」的一种计算技巧。这个荷载并不真的作用在结构上，只是为了把某个特定位移「乘出来」而临时造的「另一个因子」。想求自由端挠度就在自由端放单位集中力；想求转角就放单位力矩——只要放上与所求位移对应的虚拟荷载，就能干净地把那个位移积分出来。模拟器里的 $m(x) = -(L-x)$ 正是单位自由端集中力对应的虚弯矩。
🙋
默认值下 δ_total 居然有 321 mm，这么大现实吗？
🎓
问得好。EI = 1000 kN·m² 是教科书里「让数字好看」用的值，对真正的钢梁来说太小了。实际结构 3 m 跨度的 EI 通常是几万 kN·m² 以上，挠度只有几毫米。在模拟器里把 EI 滑块调大，挠度会立刻急剧减小——$\delta$ 与 $1/EI$ 成正比。
🙋
P 和 w 是分别计算再相加的，这样真的可以吗？
🎓
只要在线弹性范围内，「叠加原理」就允许这么做。$M(x)$ 里同时包含 P 项和 w 项，用同一个 $m(x)$ 相乘并积分，结果自然就是 $\delta_P + \delta_w$。工程上也是先分别求出自重、活荷载、地震荷载，最后再相加。但一旦材料屈服或进入大变形非线性范围，叠加原理就不再成立——所以这条法则要记得只在弹性范围内用。
常见问题
单跨简支梁可以直接使用。例如跨中集中荷载 P 下的跨中挠度，实弯矩与虚弯矩（跨中单位荷载产生）都是三角形，二者相乘后从 0 积分到 L，得到经典的 $PL^3/(48EI)$。两端固定梁是超静定的，需要先用力法求出多余反力，再用单位荷载法求位移。
可以。广义的单位荷载法写为 $\delta = \int (Mm/EI + Vv/(GA_s) + Nn/(EA))\,dx$，把弯曲、剪切、轴向各项相加。对于细长梁（跨高比大于 10）弯曲项占主导，因此像模拟器一样只考虑弯曲就足够。处理桁架、短梁或铁摩辛柯梁时，其他各项就不能忽略。
两者都属于能量法，但视角不同。卡氏第二定理说「应变能对某个荷载的偏导等于该荷载作用点的位移」，即 $\delta = \partial U/\partial P$。单位荷载法由虚功原理导出，写成积分形式 $\delta = \int Mm/(EI)\,dx$。二者在数学上等价，悬臂梁手算时往往导出相同的公式。具体选哪个，看哪种对当前问题更方便。
商用 FEM 内部直接求解刚度方程 $[K]\{u\} = \{F\}$，用户不会再手动跑一个单位荷载法积分。但「单位荷载法的思想」贯穿在影响线计算、灵敏度分析、结构优化用的伴随法等现代分析手段背后。作为对 FEM 结果合理性的检验，与手算结果对照仍然是最可靠的方法之一。
实际应用
桥梁、建筑结构的手算复核：桥梁主梁、建筑梁柱、刚架的位移计算在设计实务中常常需要手算复核。单位荷载法可以把自重、活荷载、地震荷载叠加起来，直接得到任意点的位移与转角，非常适合与 FEM 结果对照。在挠度限值（如跨度 / 300）的核查中也是标准手段。
超静定结构的内力分析：连续梁、刚架、桁架桥等超静定结构，用力法与单位荷载法组合求解。以多余力为未知数，用单位荷载法列出其作用点的位移协调方程，联立求解得到反力与截面内力。在计算机普及前，这是结构设计的主流方法，至今仍是铁路桥、公路桥设计教材的核心。
影响线的绘制：承受移动荷载的桥梁设计中，要画「影响线」来确定使各点产生最大应力的荷载位置。单位荷载在桥面上移动时，截面内力或位移的变化本身就是影响线，其理论依据正是单位荷载法。直到今天，铁路桥、吊车梁的设计都离不开这个概念。
结构力学教学的核心：大学结构力学、材料力学课程中，单位荷载法是能量法的代表内容。虚功原理→单位荷载法→卡氏定理→矩阵位移法，这条主线自然过渡到有限元法的理论基础。先用手算把握物理含义，可以避免把 FEM 当作黑盒。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为「单位荷载法只是悬臂梁自由端挠度的专用公式」。实际上只要在所求位移的点和方向上放对应的虚拟荷载，任何静定结构的任意点的位移、转角、相对位移都可以求出来。例如「跨中挠度」就在跨中放单位集中力；「梁端转角」就在梁端放单位力矩——仅此而已。模拟器为简洁起见只显示自由端位移，但其原理远比这要一般。
第二个常见的反应是觉得「δ_total 太大、计算肯定错了」。默认值下 δ_total ≈ 321 mm，相对于 $L = 3$ m 已经超过 10%，对真实结构来说是灾难性的。但计算本身没错，原因是 EI = 1000 kN·m² 故意取得很小——这是教科书为让数字直观而采用的值。真实钢梁（如 H 形钢 H-400）的 EI 在几万到几十万 kN·m²，同样荷载下的挠度要小得多。把 EI 滑块调到 10000，可以看到 $\delta$ 立刻变为 1/10。
最后是$m(x)$ 符号弄错的常见陷阱。实弯矩 $M$ 和虚弯矩 $m$ 必须使用同一套符号约定（例如「下侧受拉为正」）。对于自由端向下集中力作用的悬臂梁，$M = -P(L-x)$ 与 $m = -(L-x)$ 都是负的，但乘积 $M\cdot m = +P(L-x)^2$ 为正，积分结果也为正（向下挠度）。如果中途更换符号约定，符号会反转，得到「向上挠曲」的不可能结果。务必把一开始定的约定贯彻到底。