参数设置
针的长度 ℓ 超过了线间隔 d。布丰公式仅在 ℓ ≤ d 时成立。请调整 ℓ 或 d。
随机数由确定性线性同余法（LCG）生成，相同的seed将产生完全相同的结果。
落针动画（实时）
针逐根落下的实时动画。红色=与线相交的针 / 蓝色=未相交的针。随着 N 增加，π 估计值收敛于 3.14159。
理论和主要公式
平行线间隔 $d$，针的长度 $\ell$（$\ell \le d$）。针中心到最近线的距离 $y$ 和针与线的夹角 $\theta$ 作为独立均匀分布，针与线相交的条件为：
$$y \le \tfrac{\ell}{2} \sin\theta$$
通过积分求交叉概率：
$$P = \frac{2\ell}{\pi d}$$
投掷 $N$ 根针，其中 $m$ 根相交，则 $m/N \approx P$，所以π的估计值为：
$$\hat\pi = \frac{2\,\ell\,N}{d\,m}$$
根据大数定律，当 $N \to \infty$ 时 $\hat\pi \to \pi$。误差与 $1/\sqrt{N}$ 成正比递减。
什么是布丰针实验模拟器
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投掷针就能得出π？这听起来像魔术。真的可以吗？
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确实可以。这是18世纪数学家布丰设计的经典实验。在床面上以间隔 d 画出平行线，然后把长度为 ℓ 的针随机投掷下去。针与线相交的概率是 $P = 2\ell/(\pi d)$。π出现在分母中！投掷 N 根针，其中 m 根相交，就可以用 $\pi \approx 2\ell N / (d m)$ 反推出π。在上面的模拟器中，用默认的5000根针试试看。你会得到接近3.14的值。
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这是最妙的地方。当你随机选择针的角度 θ 时，针在竖直方向的投影是 $(\ell/2)\sin\theta$。将中心位置 $y$ 和角度 $\theta$ 作为独立的均匀随机数，对交叉条件 $y \le (\ell/2)\sin\theta$ 求概率的积分。在这个过程中，$\sin\theta$ 在 $[0, \pi/2]$ 上的积分（值为2）会出现，π就自然地进入了分母。这是概率和几何的一个优美交汇点。
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增加针的数量精度会一直提高吗？改变seed会改变结果吗？为什么？
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精度会提高，但速度很缓慢。蒙特卡罗方法的标准误差与 $1/\sqrt{N}$ 成正比，所以要使精度提高10倍，就得把针数增加100倍。这工具用的是"确定性线性同余法（LCG）"来生成随机数，所以相同的seed会给出完全相同的结果。改变seed就会得到另一套"投掷故事"，相同的N下m会略有不同。这就是"抽样波动"。
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好问题。公式 $P = 2\ell/(\pi d)$ 只在 $\ell \le d$ 时成立。此时针最多与1条线相交。但当 $\ell > d$ 时，针可能同时跨越2条或更多平行线。这时概率公式变成"广义布丰公式"，会涉及反三角函数和更复杂的积分。为了教学清晰，我们在 $\ell \le d$ 的范围内工作，所以在超出这个范围时就给出警告。
常见问题
从理论上讲，相对误差大约与 $1/\sqrt{N}$ 成正比。N=5,000时误差通常在几个百分点以内，N=100,000时约为0.5%。但由于每次试验都有波动，改变seed多试几次，看结果是否稳定，这是实际工作中的做法。
交叉概率 $P = 2\ell/(\pi d)$，所以 ℓ/d 比值越大，相交的针越多。例如 ℓ=d 时 P≈0.637，ℓ=d/2 时 P≈0.318。交叉数 m 越多，π估计值就越稳定。教学上ℓ接近d较好。本工具的初始值 ℓ=5、d=10 给出 P≈0.318（=1/π）。
不能精确一致。因为m是整数，$\hat\pi = 2\ell N/(d m)$ 只能取离散值，无法等于无理数π。但当N增加时，可取值的间隔变小，π可以任意近似。这就是"依分布收敛"的含义。
有影响。本工具为教学目的使用线性同余法（LCG），在数千到十万次试验中工作良好。但对于数百万次以上的严肃蒙特卡罗，LCG的短周期和偏差可能引入偏误，应该用梅森旋转或PCG等现代算法。相同seed完全再现结果的特性对教学和验证很有帮助。
实际应用
蒙特卡罗法的最古典入门：布丰针是利用概率求解确定常数（如π）的最早例子，也是学习蒙特卡罗方法时的常用入口。仅通过投掷针这一简单操作，就能体会蒙特卡罗法的核心思想："随机抽样来估计困难的积分和常数"。
CAE中的可靠性分析：在有限元分析（FEM）中进行信可度分析时（MC-FEM），根本思想就是"随机抽样→概率估计"，与布丰实验如出一辙。针对桥梁或飞机结构的失效概率，通过改变输入参数进行数千到数万次FEM计算来评估。
金融工程·风险评估：期权定价的蒙特卡罗评估和投资组合的风险价值（VaR）计算中都广泛应用随机抽样。布丰针中学到的"抽样数N与误差关系"直接适用于VaR计算的收敛评估。
计算机图形学（光线追踪）：逼真渲染中，每个像素用随机抽样的光线路径来计算光强。这本质上与布丰针相同（用随机的线来测量某个量），增加样本数降低噪声的过程完全对应π估计随N增加而趋稳的现象。
常见误区和注意
最普遍的误区是期待"针数越多就单调接近π"。实际上估计值会上下波动，逐渐靠近π。试试把seed改成1、2、3...，用相同的N=5000会看到几个百分点的波动。蒙特卡罗的正确用法是多次实验，观察分布，而不是期待一次命中。
其次是认为"针越长精度越高"。长针确实增加交叉数m，稳定性好，但 ℓ > d 就违反了简单公式 $P = 2\ell/(\pi d)$，需要更复杂的广义公式。本工具在 ℓ > d 时警告并停止，教科书若说"随意加长针"要特别注意。
最后是用同一seed增加N来"提升精度"的错误。确定性随机数下，相同seed只是继续原来的序列，不能产生新的独立样本。正确方法是用不同seed各做一次实验，然后取多次结果的平均值和标准差来评价。这也是本工具seed滑块的设计初衷。