随机数采用确定性的线性同余法（LCG）生成，相同 seed 下结果完全可复现。
红色＝与线相交的针／蓝色＝未相交的针（最多显示 200 根作为样本；统计使用全部 N 次投掷）
平行线间距 $d$，针的长度 $\ell$（$\ell \le d$）。设针中心到最近线的距离为 $y$，针与线的夹角为 $\theta$，二者为独立均匀分布。相交条件为：
$$y \le \tfrac{\ell}{2} \sin\theta$$
对相交概率积分得：
$$P = \frac{2\ell}{\pi d}$$
投掷 $N$ 根针中有 $m$ 根相交时，$m/N \approx P$，因此 π 的估计为：
$$\hat\pi = \frac{2\,\ell\,N}{d\,m}$$
由大数定律，$N \to \infty$ 时 $\hat\pi \to \pi$，误差按 $1/\sqrt{N}$ 减小。
布丰投针模拟器是什么
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大致来说，这是 18 世纪数学家布丰提出的古典实验。在地板上画出等间距的平行线，把长度 ℓ 的针真正随机地扔下来。针与线相交的概率竟然是 $P = 2\ell/(\pi d)$——π 出现在分母上。所以投 N 根针中有 m 根相交时，可以反推 $\pi \approx 2\ell N/(d m)$。上面点一下「重新投掷」，默认的 5000 根针通常会落到 3.14 附近。
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关键在这里：当针的角度 $\theta$ 均匀分布时，针的竖直投影是 $(\ell/2)\sin\theta$。把中心位置 $y$ 与角度都看作独立的均匀随机变量，对相交条件 $y \le (\ell/2)\sin\theta$ 做积分，会出现 $\sin\theta$ 在四分之一圆周上的积分（恰好等于 2）。再除以归一化的范围 $\pi/2$ 与 $d/2$ 之后，π 自然就锁在分母上。这是概率与几何相遇时非常漂亮的现象。
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N 越大精度就越好吗？为什么 seed 一变结果就跟着变？
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精度会变好，但提升得很慢。蒙特卡罗法的标准误差与 $1/\sqrt{N}$ 成正比，所以精度提高 10 倍要把样本量增加 100 倍。本工具采用「确定性线性同余法（LCG）」生成随机数，相同 seed 给出完全一致的结果。换 seed 等于换了一段「投针故事」，同样的 N 下 m 也会有所变化——这就是所谓的「抽样波动」。实务中需要可复现结果时，固定 seed 也是铁律。
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好问题。当 $\ell \le d$ 时，每根针最多只能与一条线相交，所以直接数相交数就能套上 $P = 2\ell/(\pi d)$。但一旦 $\ell > d$，针可能同时跨过两条以上的平行线，正确公式会变成「广义布丰公式」，含有 $\arccos$ 与额外的积分，复杂度跳了一大截。出于教学清晰度，本工具把范围限制在 $\ell \le d$，超出时显示警告并停止计算，避免给出误导性的估计。
常见问题
需要投多少根针才能得到可信的 π？
相对误差近似按 $1/\sqrt{N}$ 缩小。N=5,000 时误差通常在百分之几以内，N=100,000 时一般能压到 0.5% 左右。由于单次实验也存在抽样波动，建议改变 seed 多次运行，确认估计值是否稳定，这才是实务做法。
针长 ℓ 与线间距 d 改变后，结果会怎么变？
相交概率 $P = 2\ell/(\pi d)$，比值 ℓ/d 越大，相交的针越多。例如 ℓ=d 时 P ≈ 0.637，ℓ=d/2 时 P ≈ 0.318。相交数 m 越大，π 的估计越稳定，因此教学上常把 ℓ 取得接近 d。本工具默认 ℓ=5、d=10，对应 P ≈ 1/π ≈ 0.318。
这种实验能恰好等于真正的 π 吗？
几乎不可能。m 是整数，$\hat\pi = 2\ell N/(d m)$ 只取离散值，无法恰好等于无理数 π。但随着 N 增大，可能取到的值间距变小，分布会越来越集中在 π 附近——这就是这里所说的「收敛」。
随机数的质量对结果有多大影响？
有影响。本工具出于教学考虑使用线性同余法（LCG），对几千到几万次投掷足够。但当真正做百万级的蒙特卡罗时，LCG 的短周期与结构性偏差可能引入系统误差，应改用梅森旋转算法或 PCG 等现代伪随机数算法。LCG 在相同 seed 下完全可复现，这一点在教学和验证场景反而是优点。
实际应用
蒙特卡罗法最古典的入门示例： 布丰投针是用概率求确定性常数（π）的最早例子之一，至今仍然是讲解蒙特卡罗法时的标准入口。「用随机抽样估计困难的积分或常数」这一蒙特卡罗核心思想，通过投针这件事就能直观体会到。
CAE 中的概率分析： 当有限元分析（FEA）结合材料强度或尺寸的随机性进行可靠性分析（MC-FEA）时，底层逻辑与布丰相同——随机抽样后再做概率估计。桥梁与航空结构的破坏概率，常需要数千到上百万次随机化的 FEA 来评估。
金融工程与风险评估： 期权定价的蒙特卡罗法、投资组合 VaR（在险价值）估算等，都依赖随机抽样估计未知量。在布丰投针实验中观察到的「样本数与误差的关系」，可以直接用于规划 VaR 计算所需的模拟次数。
渲染（光线追踪）： 3DCG 的真实感渲染中，每个像素都要通过随机抽样光路来积分计算光强。增加每像素采样数后噪声减小、画面变平滑，本质上与投针越多 π 的估计越稳定是完全相同的现象。
常见误解与注意事项
最常见的误解是「样本数越多就一定单调地接近 π」 。实际上，估计值会一边波动一边接近，途中暂时远离 π 也很正常。可以把 seed 依次改成 1、2、3……，会发现同样的 N=5,000 下结果会有几个百分点的差异。不要寄希望于「一次实验就中」，要看多次独立实验的分布——这才是蒙特卡罗的正确用法。
其次是「针越长精度越高」 这种想当然。确实，把 ℓ 调大会让相交概率提升、相交数 m 增加，从而让单次计算更稳定。但一旦 $\ell > d$，布丰简单公式 $P = 2\ell/(\pi d)$ 就不再成立，必须改用考虑多线相交的广义公式。本工具在 $\ell > d$ 时直接报警停算，但网络上的某些教程会简单地说「把针调长就好」，要警惕这种说法。
最后一种是固定 seed 后单纯增加 N 来「研究采样波动」 。确定性随机数下，增加 N 只是延续了同一段随机序列，单次实验内的独立性是有的，但从外部看仍然只是一条样本路径。要严肃地研究统计波动，正确的做法是用不同 seed（1, 2, …, M）跑 M 次独立实验，取其均值与标准差。本工具的 seed 滑块正是为了让你方便地体验「换一次独立实验」这件事。