分布参数
μ ± 1σ
68.27%
μ ± 2σ
95.45%
μ ± 3σ
99.73%
理论·主要公式
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$
$\mu$：平均值, $\sigma$：标准差, $\sigma^2$：方差
累积分布函数（CDF）和误差函数
$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$
z得分和偏差值
z得分: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ 偏差值: $T = 10z + 50$
正态分布由围绕平均值μ对称的钟形概率密度函数(PDF) \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \) 表示。本模拟器用滑块操作μ和标准差σ，即时观察分布形状的变化。例如σ变小时曲线尖峭，σ变大时扁平。累积分布函数(CDF)定义为 \( F(a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) dx \)，用于计算指定区间的概率。置信区间基于68-95-99.7法则，约68%的数据在μ±σ内，95%在μ±2σ内，99.7%在μ±3σ内，可视化验证。z得分由 \( z = \frac{x-\mu}{\sigma} \) 计算，便于不同正态分布间的比较。偏差值是转换为平均50、标准差10的值，由z得分经 \( T = 50 + 10z \) 计算。通过动态改变参数，实时观察概率密度和累积概率，能直观掌握统计推论的基础。
$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
产业实际应用案例（汽车行业）
丰田汽车的发动机零部件制造线使用与本工具类似的正态分布模型进行活塞环外径尺寸管理。平均μ=50.00mm、标准差σ=0.02mm的工艺能力指数（Cp/Cpk）实时监控，从z得分即时计算超过规格上限50.05mm的不良发生概率。通过统计预测切削刀具磨损进程，优化预防更换周期。年度不良品削减率提升约30%。
研究·教育应用
东京大学统计学基础实习中，用本工具视觉化学习「偏差值60以上的学生占比」。在μ=50、σ=10的正态分布上确认z得分=1.0对应的CDF值为84.13%，动态体验68-95-99.7法则。药学部用本工具对治验数据的血液浓度分布建模，让学生自主计算有效血液浓度范围内的概率，培养统计思维能力。
CAE分析的结合与实务位置
汽车碰撞分析（LS-DYNA）中，假定钢板屈服强度服从正态分布（μ=350MPa、σ=15MPa）。将CAE得到的应力分布与本工具设定的99.7%置信区间（μ±3σ）比对，判断是否满足安全系数1.2的设计要求。在产品开发上游工程实现「考虑离散的稳健设计」，减少试制次数并提供品质保证依据。
「标准差越大数据离散越大」这点是正确的，但容易误认为「服从正态分布的数据中平均值±1σ范围必然含约68%」。实际上这只是理论值，样本量小或数据与完全正态分布有偏离时，实测值可能与68%有较大差异。特别是实务中常因异常值和测量误差导致分布尾部延伸，不应过信68-95-99.7法则，需与实际数据分布相结合解释。
同样，「偏差值50为平均，60则排名上位约16%」是正确的，但易误认为「偏差值越高越优秀」。实际上偏差值只显示该集团内的相对位置，不同考试间的偏差值不可直接比较。例如考生层级不同的两个考试中，相同偏差值60的实际学力水准可能完全不同，需注意这一点。