参数设置
N = 1024，使用基数-2 FFT 计算。信号模型为 5 个谐波加白噪声，基频自动扫描（滑块设置扫描中心）。
信号、谱和倒谱
上：时序 x[n]（蓝）／中：对数幅度谱 log|X[k]|（绿）／下：倒谱 c[n]（红，黄竖线＝峰值位置）
理论和主要公式
实倒谱是对信号对数幅度谱进行逆傅里叶变换的量。它能在时间（倒频率）轴上分离卷积结合的激励源和传输系统。
DFT。x[n] 是长度为 N 的输入信号，X[k] 是其频率分量：
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-j 2\pi k n / N}$$
实倒谱。对数幅度谱的逆 DFT（仅实部）：
$$c[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \log|X[k]|\,\cos\!\left(\frac{2\pi k n}{N}\right)$$
基本周期的倒频率与估计基频：
$$\tau_\text{pitch} = \frac{F_s}{f_0}, \qquad \hat{f}_0 = \frac{F_s}{\tau_\text{peak}}$$
在语音中，在 2～20 ms（500～50 Hz）范围内搜索倒谱峰值，并从其倒频率估计音高。
倒谱分析模拟器是什么
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倒谱不就是把"spectrum"的字母反过来拼写成"cepstrum"的名字吗？有什么用呢？
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观察得好。"spectrum"反向得到"cepstrum"，"frequency"反向得到"quefrency"。简单来说，倒谱就是对频谱再次进行傅里叶变换，然后在时间轴上提取信号中的"周期"。在上面的模拟器中，当 f_0=200Hz、F_s=8000Hz 时，看下面的倒谱，会在倒频率 40 样本处出现尖锐尖峰。40/8000=5ms，即 1/200 秒的周期。
🙋
但是普通的 FFT 应该也能找到基频吧，为什么要用两层呢？
🎓
很好的问题。在频谱上，基频和各个谐波是并排显示的，而且"基波的幅度比各谐波小"的情况很常见，比如人的声音，容易选错峰值。但倒谱能将等间距排列的谐波都集中到"倒频率=周期"的一点上。试试在模拟器中把 α 从 0 改到 0.8，频谱上谐波的幅度关系会改变，但倒谱的峰值位置始终不变。
🙋
确实，峰值位置纹丝不动。那取"对数"是为了什么呢？
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这就是倒谱的精妙之处。语音是"声带振动（激励）×声道滤波（传输系统）"的卷积产生的。频谱上是乘法关系，取对数后变成加法，再进行逆傅里叶变换，就能在时间（倒频率）轴上分离缓慢变化的声道成分（低倒频率）和有尖峰的音高成分（高倒频率）。通过"升举"技术分离这两部分，就能提取语音识别用的特征量。
🙋
我注意到在模拟器中增加噪声参数 σ 时，倒谱的峰值会逐渐降低。
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正是这样。噪声均匀分布在频谱上，取对数后会在倒频率轴上均匀铺散。但对应音高周期的 40 样本处的尖峰还是保留下来，这就是倒谱的优势。这对机械振动诊断特别有效。齿轮损伤产生的等间距侧带波会在倒谱上压缩成一个峰值，从而能在噪声中找到损伤周期。语音分析和回转机械诊断看似完全不同，但数学原理是相同的。
常见问题
这个范围对应人类语音的音高。20 ms 对应 50 Hz（成年男性低音的下限），2 ms 对应 500 Hz（女性和儿童高音的上限）。低倒频率侧有来自声道滤波的大幅度成分，限制搜索范围可以避免误识别为音高。在机械振动诊断中，搜索范围需要根据目标机器的转速进行调整。
实倒谱只使用对数幅度 log|X[k]|，舍弃了相位信息。本模拟器计算的就是这个，对音高检测和谐波结构分析已经足够。复倒谱使用复数对数 log X[k]，保留相位信息，可用于信号的完全重构（如最小相位分解）。但复数对数需要进行相位展开，实现比较复杂，应用范围也较局限。
本工具采用 log(|X[k]| + ε) 的方式，其中 ε=1e-10 是微小值。理论上由于噪声存在，|X[k]| 很难完全为 0，但对于某些合成信号如果确实出现零点，可能导致发散。实际应用中常见的方法是给信号加入微弱白噪声，或者用最大幅度的 1e-6 倍作为下限值。
对教学用途和 N=1024 这样的单次计算来说，直接 DFT 完全够用（O(N²)≈100万次运算，可实时计算）。但在实时处理、长信号处理或连续逐帧处理的应用中，FFT（O(N log N)）是必需的。WebAudio API 和 DSP 库中都有标准 FFT 实现，把本模拟器的计算逻辑直接替换成 FFT 不会改变结果。
实际应用
语音分析和语音识别：倒谱是语音处理的中心工具。基频估计、有声/无声判定、共振峰（声道共鸣）提取等都可以通过"升举"技术对倒谱的低倒频率和高倒频率部分进行分离来实现。MFCC（梅尔频率倒谱系数）是其发展形式，在语音识别、说话人识别、语音合成等所有场景中都是标准特征量。
机械振动诊断和旋转机械预兆保全：齿轮掉齿或滚动轴承损伤会在频谱上出现多个等间距的侧带波。直接读取这些侧带波很困难，但倒谱会把它们压缩成单一尖峰，使得损伤的有无和周期一目了然。在风力发电机、涡轮机、大功率电动机的状态监测中广泛应用，是物联网时代预兆保全的基础技术。
地震学和反射波分析：在地震波和反射地震勘探中，地下反射面产生的多重反射会使相同波形以固定延迟重复出现。倒谱会在对应延迟时间的倒频率处出现尖峰，用于地层结构推断。在声学回声分析中也用同样原理测量房间混响时间和反射面距离。
生物信号分析：心音、呼吸音、肌电信号等生理周期信号的分析中也应用倒谱。心音的 S1、S2 周期、心率变异中的隐藏周期成分、吞咽音的模式分类等，用时域或频域分析看不出的结构都可以用倒谱显示。临床诊断支持和穿戴式生命体征传感器信号处理中正在推进应用。
常见误解和注意事项
最常见的误解是把倒谱的横轴当成频率。横轴是"倒频率"（样本数或秒），具有时间维度，数值越大表示"周期越长的成分"，即对应越低的频率。在模拟器中把 f_0 从 200 Hz 增加到 400 Hz 时，倒谱的峰值不是向右移动，而是向左移动。这是因为周期 T_0=F_s/f_0 缩短了。"倒谱上向右=高频"这样的直觉在这里不适用，需要特别注意。
第二个常见错误是忽视峰值的整数倍。除了基本周期 T_0 对应的 n=T_0 处有峰值外，n=2T_0, 3T_0… 处也会出现较小的峰值。这不是基频的倍频，而是对数频谱的周期结构（基频的整数倍谐波排列）再次进行傅里叶变换时自然产生的现象。在模拟器中减小 α（强化谐波），可以看到倒谱的 2 倍、3 倍位置出现副峰。正确选择基峰而避免"倍音错误"是算法实现的重要课题。
最后，要明白倒谱不是通用的周期检测器。对于非平稳信号（基频随时间变化），用长分析窗会导致多个基频混合，峰值模糊。实际应用中通常用短窗（20～40 ms）分帧，逐帧计算倒谱来跟踪基频轨迹。对于无周期信号（爆破音、冲击响应），根本不会产生峰值。倒谱是对"周期性强的信号"有效的工具，需要在合适的场景下使用。