库仑定律模拟器 返回
电磁学模拟器

库仑定律模拟器 — 点电荷之间的电力

实时计算两个点电荷之间的库仑力 F = k·q_1·q_2 / (ε_r·r²)。同时给出电场 E、势能 U 与作用方向(吸引/排斥),并用电场线与 |F|-r 双对数曲线直观展示平方反比律。

参数设置
电荷 1 q_1
μC
电荷 2 q_2
μC
距离 r
cm
相对介电常数 ε_r

库仑常数 k = 1/(4πε_0) ≈ 8.988×10⁹ N·m²/C²。电荷单位 μC = 10⁻⁶ C,距离 cm = 10⁻² m。将 ε_r 设为 80(水)时,力会变成原来的 1/80。

计算结果
库仑力 |F|
q_1 产生的电场 E
势能 U
作用方向

符号判定:

点电荷与电场线

两点电荷以距离 r 分置。红色=正电荷、蓝色=负电荷。电场线在同号时显示排斥、异号时显示吸引;箭头给出库仑力 F 的方向与大小。

|F| 随 r 的双对数曲线

横轴=距离 r (cm)、纵轴=|F| (N),均为对数轴。F ∝ 1/r²,曲线为斜率 -2 的直线。黄点标记当前 (r, |F|)。

理论与主要公式

库仑定律给出两个点电荷之间的静电力,与距离的平方成反比。

库仑力($k = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 8.988\times10^{9}$ N·m²/C²):

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\,\varepsilon_r}\,\frac{q_1\,q_2}{r^{2}} = k\,\frac{q_1\,q_2}{\varepsilon_r\,r^{2}}$$

$q_1$ 在距离 $r$ 处产生的电场与两电荷系统的势能:

$$E = \frac{k\,|q_1|}{\varepsilon_r\,r^{2}},\quad U = \frac{k\,q_1\,q_2}{\varepsilon_r\,r}$$

$F > 0$(同号)为排斥,$F < 0$(异号)为吸引。$U$ 以 $r \to \infty$ 为零点参考。

库仑定律模拟器是什么

🙋
库仑定律就是 F = kq₁q₂/r² 吧。电荷越大力越强,与距离平方成反比。默认值(q₁=+5μC、q₂=+3μC、r=10cm)算出 13.48 N,是不是有点大?
🎓
是的,这正是静电的「惊喜」。μC(微库仑)听上去很小,但 k = 9×10⁹ 这个巨大的比例常数让 5 μC 在 10 cm 距离也能产生约 13 N(约 1.3 kgf)。这与小磁铁吸在冰箱上的力相当。梳头时头发竖起来、塑料尺吸纸屑,都是这个超大前因子在起作用。
🙋
按下扫描按钮后,|F| 与 r 在双对数坐标下是一条直线,斜率 -2 应该怎么读?
🎓
log F = log k|q₁q₂| − 2 log r。距离每翻 10 倍(log r 加 1),力降为 1/100(log F 减 2)。10 cm → 1 m,13.48 N 变成 0.135 N。任何从「点源」放射出去的量都符合这种平方反比形式 — 牛顿引力、光强(高斯定理)也都一样。
🙋
把其中一个电荷设为负,箭头就变成相互吸引,势能 U 也变成负值。这是不是「束缚能」?
🎓
观察非常准确。U 为负即说明系统能量低于无穷远参考 (U = 0),处于束缚态。要把两电荷拉开需要外界做 |U| 大小的功,这就是束缚能。氢原子里电子被质子束缚、NaCl 晶体中 Na⁺ 与 Cl⁻ 相吸,都是同样的库仑势阱。在工具中把 ε_r 设为 80(水),力与势能都立即变为原来的 1/80 — 这正是「盐溶于水」的物理。
🙋
电场 E 显示 4.49 MV/m 看起来非常大,这意味着什么?
🎓
E = kq₁/r² 表示在距 q₁ 10 cm 处放一个单位正电荷所受的力。4.49 MV/m 已超过空气击穿强度(约 3 MV/m)。点电荷在 r → 0 时 E 会发散到无穷大 — 这正是为何高压设备总把电极做成圆角,以分散电场避免电晕放电。

常见问题

两者都符合平方反比,但有三处根本差异:①符号:电荷有正负,力可以是吸引也可以是排斥;质量恒为正,引力只有吸引。②强度:电子与质子之间的库仑力约为引力的 10³⁹ 倍。③屏蔽:电力可被介质或导体屏蔽,引力则无法屏蔽(广义相对论里它甚至不是「力」,而是时空弯曲)。原子、分子和物质的结构都由库仑力主导;引力只有在行星、恒星与星系尺度上才占主导。
因为库仑常数 k = 8.988×10⁹ N·m²/C² 实在太大。两个 1 C 电荷相距 1 m 时力 F = 9×10⁹ N,约相当于几百万架波音 747 的重量。实际可累积的静电荷一般只有 μC(10⁻⁶ C)或 nC(10⁻⁹ C)级。电路中虽有大量库仑/秒通过(电流),但正负电荷彼此中和,宏观上不产生库仑力。
NaCl 晶体里 Na⁺ 与 Cl⁻ 通过库仑引力紧密结合,键能为几个 eV,远大于室温的热运动能 (~0.025 eV),所以真空中晶体很稳定。但水中 ε_r ≈ 80 让所有库仑力变为原来的 1/80,键能降到与 kT 同量级;且水分子的偶极子环绕 Na⁺ 与 Cl⁻ 形成「水合」,使溶解态在能量上更有利。在本工具中把 ε_r 设为 80,即可看到力与势能瞬间降为真空值的 1/80。
通用:Ansys Maxwell(电气机械、电机)、COMSOL Multiphysics(多物理场)、JMAG(日本制,专攻电机)、CST Studio Suite(高频、EMC)。它们在有限元网格上求解 Laplace/Poisson 方程 ∇²φ = -ρ/ε,得到三维电场、电位、力、电容与击穿风险。库仑定律是最基础的点电荷叠加模型,也是 BEM(边界元)与自由空间格林函数的根基。MEMS 静电致动器、ESD 分析、高压绝缘设计、半导体工艺仿真都离不开它。

实际应用

静电放电(ESD)防护:半导体芯片在几十伏静电下就可能损坏,因此生产与组装线使用 ESD 垫、防静电手环、离子风扇等措施泄放电荷。基于库仑定律可估算人体典型电荷(数 μC)与对地电容(100~1000 pF)下的放电能量 E = Q²/(2C),从而确定 TVS 二极管、ESD 抑制器的设计余量。把 q = 1 μC、r = 1 mm(指尖到 IC 引脚)输入本工具,可立即看到约 9 N 的局部力和极强电场。

MEMS 静电致动器:微镜(DLP 投影机、车载 LiDAR)、加速度计、射频 MEMS 开关使用平行板间库仑引力 F = ε₀A·V²/(2d²) 作为驱动原理。微米量级的电极间隙使得几伏电压即可产生 μN~mN 力,且静态几乎无功耗。把 q 视为电极累积电荷、r 视为间隙,本工具就能快速估算「电压 → 力」灵敏度。

高压设备绝缘设计:输电线、变压器、避雷器、GIS(气体绝缘开关设备)通过电极外形与介质(空气、SF₆、油、环氧)组合避免电场集中。空气击穿强度 3 MV/m、SF₆ 9 MV/m、变压器油 15 MV/m。若库仑场超过击穿值的 1/3,便会出现电晕放电并长期使绝缘老化。工业上常用 Ansys Maxwell 或 COMSOL 进行 3D 电场分析,绘制场强图并优化电极形状,将局部峰值降到最低。

原子与分子的稳定性:氢原子电子在玻尔半径 5.29×10⁻¹¹ m 处受到约 8.2×10⁻⁸ N 的库仑引力,结合能为 13.6 eV(里德伯能)。化学键、范德华力、氢键、离子键的起源都是库仑相互作用。生物分子(蛋白质、DNA)的立体结构由水中(ε_r ≈ 80)的库仑相互作用与热运动平衡决定,DFT 与分子动力学等计算化学工具正是高速求解这些相互作用。

常见误解与注意事项

最常见的误解是认为「点电荷在 r → 0 时 F 发散,所以定律不切实际」。数学上确有发散,但这只表示「点电荷」理想化在该尺度失效。真实的电子(电荷半径 ~10⁻¹⁵ m)与质子受量子电动力学(QED)和强相互作用支配,经典库仑定律不再成立。在本工具中将 r 从 10 cm 降到 1 cm,|F| 增大 100 倍是正确的经典极限。CAE 实务中也要在电极尖端用极细网格和积分形式(虚位移法)求力,以处理奇点。

第二个陷阱是把 ε_r 当作纯粹的衰减系数。实际上介质会发生「微观极化」 — 外场使分子偶极子取向,反过来削弱外场,是个自洽过程。低频段 ε_r 近似为常数(水中 80),但在 GHz~THz 高频段,偶极子跟不上场的变化,ε_r 急剧下降(这就是微波加热的原理)。BaTiO₃ 等铁电体的 ε_r 与温度、电场历史相关,线性近似失效。CAE 中需引入 Debye/Cole-Cole 模型表示频率相关介电常数。

最后请不要认为「电场线可以交叉或在空间中消失」。电场在每一点都是单值矢量,电场线交叉将意味着两个方向,矛盾。根据高斯定理,电场线只能始于正电荷、终于负电荷(或无穷远),不会在真空中突然终止。本工具图中显示了同号发散、异号汇合的典型形式,但当电荷数 ≥ 3 或存在导体边界时,必须用 FEM、BEM 数值方法求解,单纯的库仑公式不再足够。