理论与主要公式
$V = k\sum_i \dfrac{q_i}{r_i}$
$k = 9\times10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$
電場 & 电位的関係：
$\mathbf{E} = -\nabla V$
$E_x = -\dfrac{\partial V}{\partial x},\quad E_y = -\dfrac{\partial V}{\partial y}$
赤: V > 0（正）/ 青: V < 0（負）
💬 电场与电位 — 解读“看不见的力”的地形图
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电位是什么？我学过电场是力的方向，但电位是什么的“位”呢？
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电位用“高度”来想象最容易理解。就像山的地形图上海拔越高“势能越大”一样，电位高的地方正电荷难以移动（=将其移到那里需要做功）。电场是电位的“梯度”，山越陡则坡度（倾斜）越大=电场越强。彩色图中的红色区域是“山顶”，蓝色区域是“谷底”。
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等电位线就像等高线对吧？但为什么电场矢量一定垂直于等电位线呢？
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电场是 $\mathbf{E} = -\nabla V$，即电位梯度的反方向。而梯度矢量总是垂直于等高线（等电位线）——这是微分几何的基本性质。爬山时，最陡的下坡方向垂直于等高线，对吧？同样，电力线（电场方向）总是垂直于等电位线。
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偶极子的电位分布不对称吧？正电荷侧是红色，负电荷侧是蓝色。
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没错。偶极子是 +q 和 -q 靠近，+q 附近 V > 0（红），-q 附近 V < 0（蓝），连接两电荷的直线的垂直平分面上 V = 0。这个 V = 0 的面位于等电位面的中心。远离时电位比 1/r 衰减更快——单极子按 1/r 衰减，偶极子按 1/r² 衰减，这是关键。
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同号电荷（+q 和 +q）的情况下，中间似乎有一个特殊的点？
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这个“特殊点”是电场为零的点——称为“鞍点”。两个正电荷的中点处，彼此的库仑力恰好抵消，电场 $\mathbf{E} = 0$。但电位不为零（甚至在该点也为正）。电位不为零但电场可以为零——这意味着“电位梯度为零 = 电位平坦”，正好对应山顶或鞍部（山与山之间的低洼处）。
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电位计算广泛应用于电容器设计、静电屏蔽、MRI设备的磁场设计等。在CAE（计算机辅助工程）中，使用有限元法（FEM）求解泊松方程 $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$ 来获得电位分布。电场“集中”会导致绝缘击穿（放电）的危险，因此在设计时检查电场分布是电气设计的基本要求。例如，电容器边缘处电场突然升高的“边缘效应”，用这个工具通过两电荷模型也能直观理解。
常见问题
电位和电场的区别是什么？
电位 $V$ 是标量（单位: V），是将单位正电荷从无穷远移到该点所需的功。电场 $\mathbf{E}$ 是矢量（单位: V/m），表示正电荷所受力的方向和大小。两者关系为 $\mathbf{E} = -\nabla V$，电场从高电位指向低电位。先计算标量电位再导出矢量电场是实用的步骤。
等电位线和电力线为什么正交？
电场是电位的梯度（$\mathbf{E} = -\nabla V$）。数学上，梯度矢量垂直于等值线（等电位线）。沿等电位线移动时电位不变，因此该方向的电位变化率为零，即电场分量为零——这等价于电场垂直于等电位线。实验也证实了这一点，是电磁学最基本的性质之一。
偶极子和单极子的电位距离依赖性有何不同？
单极子（一个点电荷）的电位 $V \propto 1/r$（距离的倒数）。偶极子（+q 和 -q 对）在远处的电位 $V \propto 1/r^2$（距离平方的倒数）。这是因为正负贡献部分抵消。四极子为 $1/r^3$，一般 $2^n$ 极子为 $1/r^{n+1}$。随着距离增加，偶极子的影响比单极子衰减得更快。
两个同号电荷时，电场为零的点在哪里？
两个正电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 相距 $d$ 时，电场为零的点位于连接两电荷的直线上。位置为 $x = d \cdot \sqrt{q_1} / (\sqrt{q_1} + \sqrt{q_2})$（从 $q_1$ 侧算起）。等量时为中点。该点也称为“平衡点”，放置测试电荷时不受力，但属于不稳定平衡（稍有偏移就会受到较大力）。
CAE中电场计算为什么需要有限元法？
点电荷模型在真空中可求得解析解，但实际设计中常涉及复杂形状的电极、电介质和导体。此时利用电位满足泊松方程 $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon$，采用有限元法（FEM）进行数值求解。COMSOL Multiphysics 和 ANSYS Maxwell 等工具是典型代表，根据形状生成网格进行计算。
什么是电场与等势面模拟器？
电场与等势面模拟器是CAE和应用物理中的重要基础课题。本交互式模拟器允许您直接调节参数并观察实时结果，从而理解关键规律和变量之间的关系。
通过将数值计算与可视化反馈相结合，本模拟器有效地弥合了抽象理论与物理直觉之间的鸿沟，既是学生的高效学习工具，也是工程师进行快速验算的实用手段。
物理模型与关键公式
本模拟器基于电场与等势面模拟器的核心控制方程构建。理解这些方程有助于正确解读计算结果，并判断参数变化对系统行为的影响。
方程中的每个参数都对应控制面板中的一个滑块。移动滑块时，方程的解会实时更新，帮助您直观建立数学表达式与物理行为之间的对应关系。
实际应用场景
工程设计：电场与等势面模拟器相关概念可用于工程初步估算、参数灵敏度分析和教学演示。在开展更完整的CAE分析之前，可借助本工具快速把握主要物理量级与趋势。
教育与科研：在工程教学中，本工具可将理论与数值计算有效结合。在科研阶段，也可作为假设验证的第一步工具使用。
CAE工作流集成：在运行有限元（FEM）或计算流体力学（CFD）仿真之前，工程师通常先用简化模型评估物理量级、识别主导参数，并确定合理的边界条件，本工具正是为此目的而设计。
常见误解与注意事项
模型假设：本模拟器所用数学模型基于线性、均质、各向同性等简化假设。在将计算结果直接用于设计决策之前，务必确认实际系统是否满足这些假设。
单位与量纲：许多计算错误源于单位换算错误或数量级判断失误。请时刻注意各参数输入框旁标注的单位。
结果验证：始终将模拟器输出结果与物理直觉或手算结果进行核对。若结果出乎意料，请检查输入参数或采用独立方法进行验证。