默认值为 n=1.00 mol、x_1=0.50、x_2=0.30（因此 x_3=0.20）、T=298 K。第3成分的摩尔分率由 x_3 = 1 − x_1 − x_2 计算。当 x_3 为负时显示警告，跳过混合计算。R = 8.314 J/(mol·K)。
x_3 = 1 − x_1 − x_2 为负值。请调整参数使 x_1 + x_2 < 1。
红=成分1（x_1比例）/ 绿=成分2（x_2比例）/ 蓝=成分3（x_3比例）。各色粒子数与 n 和 x_i 成正比，总数约300粒子，已标准化绘制。
三角形各顶点为纯成分（x_i=1），中心为等量混合点（x_1=x_2=x_3=1/3、最大熵）。黄色圆点=当前的 (x_1, x_2, x_3)。背景显示等熵曲线。
理想气体3成分混合的熵由各成分摩尔分率的对数和给出：
$$\Delta S_{\text{mix}} = -n\,R\,\sum_i x_i\,\ln x_i$$
$n$ 为总摩尔数（mol），$x_i$ 为成分 $i$ 的摩尔分率（$\sum_i x_i = 1$），$R = 8.314$ J/(mol·K)。理想气体中分子间相互作用忽略不计，故 $\Delta H_{\text{mix}} = 0$，自由能变化为：
$$\Delta G_{\text{mix}} = -T\,\Delta S_{\text{mix}}$$
当 $T > 0$ 时，$\Delta G_{\text{mix}} < 0$（混合自发）。最大熵出现在等量混合（$x_1 = x_2 = x_3 = 1/3$）：
$$\Delta S_{\text{max}} = n\,R\,\ln 3 \approx 9.13\ n\ \text{J/K}$$
微观上，由Boltzmann关系 $S = k_B \ln W$ 和Stirling近似可导出 $-Nk_B\sum x_i \ln x_i$，与宏观公式完全等价。
混合熵模拟器简介
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化学课本说"混合气体时熵会增加"，但如果容器只是用隔板分开，温度和压力都一样，似乎什么都没变。为什么熵会增加呢？
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很好的直觉。能量确实不变（理想气体的 ΔH_mix = 0），但改变的是"分子排列的方式数"。拉开隔板后，A分子从"只能在左边"变成"可以在整个空间"，B分子也一样。根据Boltzmann的 S = k ln W，W（微观态数）爆炸性增长，所以熵增加。本工具的默认值（n=1 mol、x_1=0.50、x_2=0.30、x_3=0.20、T=298 K）中，ΔS_mix ≈ 8.56 J/K，ΔG_mix ≈ −2.55 kJ，混合自发进行。
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用滑块调整 x_1 试试。当 x_1=0.98（几乎纯成分1）时，ΔS_mix 会减小。反过来，x_1=x_2=x_3=1/3 时最大，ΔS_max = nR ln 3 ≈ 9.13 J/K。本工具显示 ΔS/ΔS_max 的比值，可以一眼看出"现在达到了最大熵的百分之几"。默认值（0.50, 0.30, 0.20）约为93.7%，说是"接近等量混合"。三角相图上黄色圆点离中心（红圆）越近，比值越高。
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很敏锐。ΔS_mix = −nR Σ x_i ln x_i 里没有 T，所以温度改变不影响 ΔS_mix 本身（理想气体假设）。但会改变 ΔG_mix = −T·ΔS_mix。T升高时，|ΔG_mix| 增大，混合驱动力增强。本工具中从 T=298 K 改到 1000 K，ΔG_mix 从 ≈−2.55 kJ 变到 ≈−8.56 kJ，增加3.4倍。实际气体或液体中，分子间相互作用随温度变化，ΔH_mix(T) 也会出现，但本工具仅处理理想气体近似。
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背景按熵值（−Σ x_i ln x_i 除以 ln 3 的正规化）用颜色表示。中心最亮（最大熵＝1），靠近顶点越暗（纯成分＝0）。把它看作"等高线"，混合程度一目了然。比如一个成分占绝对优势（x_1=0.9, x_2=0.05, x_3=0.05）时，黄色圆点在顶点附近的暗区，等量时进入中心的亮区。开始 x_1 扫描，可看到黄点在顶点和底边之间移动。
常见问题
什么是混合熵？
理想气体的混合熵 ΔS_mix 是将分别存在的纯成分混入一个容器时增加的熵，由 ΔS_mix = −nR Σ x_i ln x_i 给出。其中 x_i 是各成分的摩尔分率（Σ x_i = 1），n 是总摩尔数，R = 8.314 J/(mol·K) 是气体常数。理想气体中 ΔH_mix = 0，因此 ΔG_mix = −T·ΔS_mix 总是负值（混合自发）。本工具默认值（n=1 mol、x_1=0.50、x_2=0.30、x_3=0.20、T=298 K）下，ΔS_mix ≈ 8.56 J/K，ΔG_mix ≈ −2.55 kJ，最大 ΔS_max ≈ 9.13 J/K，比值 ≈ 93.7%。
为什么等量混合（x_1=x_2=x_3=1/3）时熵最大？
在约束 Σ x_i = 1 下最大化 −Σ x_i ln x_i，与信息论的Shannon熵问题相同。使用Lagrange乘数法得 x_1 = x_2 = x_3 = 1/3 为驻点。此时 −Σ(1/3)ln(1/3) = ln 3，所以 ΔS_max/n = R ln 3 ≈ 9.13 J/(mol·K)。本工具默认值（0.50, 0.30, 0.20）略微偏离，ΔS/ΔS_max ≈ 93.7%，滑块调至 x_1=0.34、x_2=0.33 时比值接近 100%。
理想气体为什么 ΔH_mix = 0？
理想气体假设忽略分子间吸引与排斥。将分开容器的气体混到一个容器，分子间势能不变，混合的焓变为零 ΔH_mix = 0。故 ΔG_mix = ΔH_mix − T·ΔS_mix = −T·ΔS_mix。温度为正时，ΔG_mix < 0，混合自发。实际气体或液体有分子间相互作用，ΔH_mix ≠ 0。例如乙醇−水系 ΔH_mix < 0（放热），己烷−丁醇系 ΔH_mix > 0（吸热）。本工具仅处理理想气体近似。
与Boltzmann熵公式 S = k ln W 的关系？
微观熵定义 S = k_B ln W（W为微观状态数）与宏观混合熵 ΔS_mix = −nR Σ x_i ln x_i 表示同一事物。将N个粒子分配到3个成分的方式数为 W = N!/(N_1! N_2! N_3!)。用Stirling近似 ln N! ≈ N ln N − N 得 ln W = −N Σ x_i ln x_i，两边乘 k_B 并用 N·k_B = n·R 可重现 ΔS_mix = −nR Σ x_i ln x_i。信息论的Shannon熵 H = −Σ p_i log p_i 形式完全相同。
实际应用
空气成分与大气物理： 地球大气是N₂（约78%）、O₂（约21%）、Ar（约1%）的3成分混合，与纯气体相比每摩尔多出 ΔS_mix ≈ 4.32 J/(mol·K) 的熵。这意味着要将大气"分离"成纯成分，至少需要热力学工作量 T·ΔS ≈ 298×4.32 ≈ 1.29 kJ/mol。空气分离装置（极低温蒸馏、PSA、膜分离）的理论最小能耗由混合熵计算。本工具输入 x_1=0.78、x_2=0.21 可确认 x_3=0.01 时重现该值。
排气和污染物处理： 汽车发动机或锅炉排放的废气是CO₂、H₂O（水蒸气）、N₂、O₂等多成分混合物。典型柴油排气（CO₂约0.13、H₂O约0.07、N₂约0.75、其余为O₂）的主要3成分用本工具计算，摩尔分率比的 ΔS/ΔS_max 约为64%。从排气中回收纯CO₂的CCS（碳捕获与贮存）过程需要克服这个混合熵的逆向功，低分率CO₂（10%以下）回收成本高。
合金设计与高熵合金： 近来备受关注的高熵合金（HEA、CoCrFeMnNi等）通过等原子比混合5个或更多成分，最大化配置熵，提高固溶体的热力学稳定性。3成分时 ΔS_config = R ln 3 ≈ 9.13 J/(mol·K)，5成分时 R ln 5 ≈ 13.4 J/(mol·K)。在 ΔG = ΔH − T·ΔS_config 中，高温下右侧变大幅负值。本工具的三角相图虽限于3成分，但顶点附近作"准固溶体"、中心作"高熵组成"来读，可指导合金设计。
液−液萃取与Gibbs能： 化学工程的液−液萃取（如石油精馏的芳烃萃取、贵金属溶剂萃取）在3成分系（溶质、萃取溶媒、原溶媒）的三角相图上避开"混和间隙"规划萃取路线。理想混合中 ΔG_mix 总负，混合自发，但实际系中需用van Laar/NRTL/UNIQUAC等活量系数模型补正非理想性。本工具是理想气体近似，但三角相图读法和混合熵的几何理解直接应用于液−液萃取。
常见误区与注意事项
最常见的误解是"混合熵与粒子运动能量有关" 。混合熵 ΔS_mix 是位置（配置）的熵，与动能无关。理想气体中混合前后温度恒定，运动能分布不变，变的是"哪个粒子在哪个位置"的组合数。Boltzmann的 S = k ln W 中 W 指配置方式数，混合时W爆炸性增长，故熵增。常误以为"升温使 ΔS_mix 增加"，但本工具改T时 ΔS_mix 不变，改变的是 ΔG_mix = −T·ΔS_mix。
其次常见"同种粒子混合也熵增" 的Gibbs悖论。Boltzmann流派认为拉开隔板瞬间S增，但量子力学中同种粒子不可区分，根本不存在"混合"定义，S不变。解决Gibbs悖论需区分全同粒子。本工具的"3成分"仅指可区分的异种气体（H₂、O₂、N₂等），若把同一气体分3份按 x_1=0.5、x_2=0.3、x_3=0.2 放入，物理上熵不增。
最后注意"实际气体液体能用本工具公式" 的风险。本工具基于理想气体近似（ΔH_mix = 0），实际系统中分子相互作用产生超额自由能 G^E ≠ 0。乙醇−水类氢键系 ΔH_mix < 0 放热，己烷−丁醇类 ΔH_mix > 0 吸热，某些氟化溶剂组合甚至出现相分离（部分混合）。精密工程设计需用NRTL、UNIQUAC、PC-SAFT等活量模型或状态方程，本工具仅作"理想基准"。