默认值为 n=1.00 mol、x_1=0.50、x_2=0.30（即 x_3=0.20）、T=298 K。第三组分摩尔分数按 x_3 = 1 − x_1 − x_2 计算。若 x_3 为负则弹出警告并跳过计算。R = 8.314 J/(mol·K)。
x_3 = 1 − x_1 − x_2 为负值。请将滑块调至 x_1 + x_2 < 1。
红色＝组分 1（x_1 比率）／绿色＝组分 2（x_2 比率）／蓝色＝组分 3（x_3 比率）。各色粒子数与 n 和 x_i 成正比，总数约归一化为 300 个粒子。
三角形各顶点为纯组分（x_i=1），中心为等量混合点（x_1=x_2=x_3=1/3，最大熵）。黄色圆点＝当前 (x_1, x_2, x_3)。背景为等熵线着色。
三组分理想气体的混合熵由各组分摩尔分数的对数和给出：
$$\Delta S_{\text{mix}} = -n\,R\,\sum_i x_i\,\ln x_i$$
$n$ 为总摩尔数（mol），$x_i$ 为第 $i$ 组分的摩尔分数（$\sum_i x_i = 1$），$R = 8.314$ J/(mol·K)。理想气体中分子间相互作用为零，因此 $\Delta H_{\text{mix}} = 0$，自由能变化为：
$$\Delta G_{\text{mix}} = -T\,\Delta S_{\text{mix}}$$
$T > 0$ 时 $\Delta G_{\text{mix}} < 0$ 恒成立（混合自发进行）。最大熵在等量混合（$x_1 = x_2 = x_3 = 1/3$）时取得：
$$\Delta S_{\text{max}} = n\,R\,\ln 3 \approx 9.13\ n\ \text{J/K}$$
微观上由 Boltzmann 关系 $S = k_B \ln W$ 结合 Stirling 近似可导出 $-N k_B \sum x_i \ln x_i$，与宏观公式完全等价。
混合熵模拟器是什么
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化学课本说"把两种气体混在一起熵会增加"，但如果两侧温度和压强都相同，仅仅抽掉隔板似乎什么都没变。为什么熵会增加呢？
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直觉很好。能量确实没变（理想气体 ΔH_mix = 0），变的是"分子可分辨排布的数目"。抽掉隔板的瞬间，A 分子从"被限制在左侧"变为"可以遍历整个空间"，B 分子也是如此。Boltzmann 公式 S = k ln W 中 W 爆炸式增大，熵因此上升。本工具默认值（n=1 mol、x_1=0.50, x_2=0.30, x_3=0.20, T=298 K）下 ΔS_mix ≈ 8.56 J/K、ΔG_mix ≈ −2.55 kJ，混合自发进行。
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如果让 x_1 增大使某一组分占主导，熵会如何变化？
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试着拉动 x_1 滑块。当 x_1=0.98（几乎纯组分 1）时 ΔS_mix 变小；当 x_1=x_2=x_3=1/3 时取得最大，ΔS_max = nR ln 3 ≈ 9.13 J/K。本工具同时显示 ΔS/ΔS_max 比值，可一眼看出当前混合达成了"最大随机度的百分之多少"。默认值（0.50, 0.30, 0.20）约为 93.7 %，已可视为"近似等量混合"。三角相图中的黄色圆点越接近中心（红圈）比值越高。
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问得好。公式 ΔS_mix = −nR Σ x_i ln x_i 中不含 T，因此在理想气体近似下温度变化并不会改变 ΔS_mix 本身。改变的是 ΔG_mix = −T·ΔS_mix。T 升高时 |ΔG_mix| 增大，混合驱动力增强。本工具将 T=298 K → 1000 K 时 ΔG_mix ≈ −2.55 kJ → −8.56 kJ，增大约 3.4 倍。实际气体或液体中分子间相互作用随温度变化，ΔH_mix(T) ≠ 0，本工具仅采用理想气体近似。
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背景颜色表示熵值（−Σ x_i ln x_i 以 ln 3 归一化）。中心最亮（最大熵=1），越靠近顶点越暗（纯组分=0）。把它视为"等高线"即可直观把握混合程度。例如某一组分占主导（x_1=0.9, x_2=0.05, x_3=0.05）时黄圆点位于顶点附近的暗区，越接近等量混合越进入中心的亮区。运行 x_1 扫描时可以看到黄圆点沿顶点（x_1=1）和底边 x_2/x_3 平衡点之间移动，描绘出熵的地形图。
常见问题
什么是混合熵？
理想气体的混合熵 ΔS_mix 是将原本分隔的纯组分混入同一容器后增加的熵，公式为 ΔS_mix = −nR Σ x_i ln x_i。其中 x_i 为各组分摩尔分数（Σ x_i = 1），n 为总摩尔数，R = 8.314 J/(mol·K) 为气体常数。理想气体中 ΔH_mix = 0，因此 ΔG_mix = −T·ΔS_mix 必为负值（混合自发进行）。本工具默认值（n=1 mol、x_1=0.50, x_2=0.30, x_3=0.20, T=298 K）下 ΔS_mix ≈ 8.56 J/K、ΔG_mix ≈ −2.55 kJ、最大 ΔS_max ≈ 9.13 J/K、比 ≈ 93.7 %。
为什么等量混合（x_1=x_2=x_3=1/3）时熵最大？
在约束 Σ x_i = 1 下最大化 −Σ x_i ln x_i 与 Shannon 信息熵的最大化是同一问题。Lagrange 乘子法给出驻点 x_1 = x_2 = x_3 = 1/3，此时 −Σ(1/3)ln(1/3) = ln 3，从而 ΔS_max/n = R ln 3 ≈ 9.13 J/(mol·K)。本工具默认值（0.50, 0.30, 0.20）已为略偏离等量的混合，ΔS/ΔS_max ≈ 93.7 %。设 x_1=0.34, x_2=0.33 时比值接近 100 %。
为什么理想气体的 ΔH_mix = 0？
理想气体假设忽略分子间引力与斥力，因此原本分隔的气体扩散到同一容器中时分子间势能不变，混合焓变 ΔH_mix = 0，故 ΔG_mix = ΔH_mix − T·ΔS_mix = −T·ΔS_mix。只要 T > 0，ΔG_mix 始终为负，混合自发进行。实际气体或液体中分子间相互作用使 ΔH_mix ≠ 0：乙醇−水体系 ΔH_mix < 0（放热），己烷−丁醇体系 ΔH_mix > 0（吸热）。本工具仅采用理想气体近似。
与 Boltzmann 公式 S = k ln W 有什么关系？
微观熵定义 S = k_B ln W（W 为微观态数）与宏观混合熵 ΔS_mix = −nR Σ x_i ln x_i 表达同一事物。将 N 个粒子分配到三组分的方式数为 W = N!/(N_1! N_2! N_3!)，使用 Stirling 近似 ln N! ≈ N ln N − N 得到 ln W = −N Σ x_i ln x_i，两端乘以 k_B 并以 N·k_B = n·R 即恢复 ΔS_mix = −nR Σ x_i ln x_i。等量混合时 W 最大，纯组分时 W=1, ln W=0。信息论 Shannon 熵 H = −Σ p_i log p_i 同形。
真实世界中的应用
大气组成与大气物理： 地球大气主要由 N₂（约 78 %）、O₂（约 21 %）、Ar（约 1 %）三组分混合而成，与纯气体状态相比每摩尔大约多出 ΔS_mix ≈ 4.32 J/(mol·K) 的熵。这意味着将空气"分离"回到纯组分至少需要相当于此熵的功（T·ΔS = 298×4.32 ≈ 1.29 kJ/mol）。空气分离装置（深冷蒸馏、PSA、膜分离）的理论最小能耗即由此混合熵计算。本工具中输入 x_1=0.78, x_2=0.21 并确认 x_3=0.01 即可再现此值。
燃烧气与排气处理： 汽车发动机与发电厂锅炉排出的尾气是 CO₂、H₂O（水蒸气）、N₂、O₂ 等多组分混合物。以典型柴油尾气主要 3 组分（CO₂ 约 0.13、H₂O 约 0.07、N₂ 约 0.75）输入本工具可得 ΔS/ΔS_max ≈ 64 %。CCS（碳捕集与封存）工艺要从尾气中回收纯 CO₂，需要逆向消耗此混合熵的功；CO₂ 分率越低（10 % 以下）成本越苛刻。
合金设计与高熵合金： 近年备受关注的高熵合金（HEA，如 CoCrFeMnNi）通过将 5 种以上元素以等原子比混合，最大化配置熵以提升固溶体的热力学稳定性。3 组分时 ΔS_config = R ln 3 ≈ 9.13 J/(mol·K)，5 组分时 R ln 5 ≈ 13.4 J/(mol·K)，使 ΔG = ΔH − T·ΔS_config 在高温下更显著地变负。本工具的三角相图仅限于 3 组分体系，但顶点附近视为"准固溶体"、中心视为"高熵组成"即可应用于合金设计指导。
液−液萃取与 Gibbs 能： 化学工程中的液−液萃取（如炼油的芳烃萃取、有价金属的溶剂萃取）是在三组分（溶质、萃取剂、原溶剂）三角相图上规避"混溶间隙"并设计萃取路径的过程。理想混合时 ΔG_mix 恒为负且混合自发，实际体系则用 van Laar / NRTL / UNIQUAC 模型修正非理想性（活度系数）。本工具采用理想气体近似，但三角相图的读法与混合熵的几何意义可直接应用于液−液萃取。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"混合熵与粒子动能有关" 。混合熵 ΔS_mix 是位置（构型）熵，与动能无直接关系。理想气体在恒温下混合前后动能分布不变，变化的只是"哪个粒子位于何处"的组合数。Boltzmann 公式 S = k ln W 中 W 表示位置的组合数，混合后 W 爆炸式增长因而熵增加。常有人误以为"升温会增大 ΔS_mix"，但本工具显示改变 T 并不改变 ΔS_mix（变化的是 ΔG_mix = −T·ΔS_mix）。
其次是"同种粒子混合也会增熵" 的 Gibbs 佯谬。按 Boltzmann 经典计数将粒子区分对待时抽掉隔板会增熵，但量子力学中同种粒子不可区分，故"混合"本身无法定义，S 不变。这是 Gibbs 佯谬的解决，因此本工具的"3 组分"必须是可区分的不同气体（H₂、O₂、N₂ 等）。把同一种气体分成三份输入 x_1=0.5, x_2=0.3, x_3=0.2 在物理上是无意义的，ΔS_mix 实际为零。
最后是"实际气体与液体也可使用本公式" 的扩展限制。本工具基于理想气体近似 ΔH_mix = 0；实际体系中分子间相互作用导致超额自由能 G^E ≠ 0。乙醇−水等氢键体系 ΔH_mix < 0 （混合放热），己烷−丁醇 ΔH_mix > 0（吸热），氟系溶剂组合甚至出现混溶间隙（部分混合）。实际体系的精密设计需使用 NRTL、UNIQUAC、PC-SAFT 等活度系数模型或状态方程，本工具应视为对照的"理想基线"。