齿轮类型
外啮合
内啮合
基本参数
材料
钢 (AGMA Gr.1: σFlim=230MPa)
铸铁 (σFlim=70MPa)
工程塑料 (σFlim=40MPa)
计算结果
设计公式
重合度:
$$\varepsilon_\alpha = \frac{\sqrt{r_{a1}^2-r_{b1}^2}+\sqrt{r_{a2}^2-r_{b2}^2}-C\sin\varphi}{\pi m \cos\varphi}$$
Lewis弯曲应力:
$$\sigma_F = \frac{F_t}{b \cdot m}\cdot \frac{K_A}{Y_J}$$
渐开线齿形图（蓝: 主动轮，红: 从动轮，虚线: 分度圆）
弯曲应力 σF 随模数变化 — 当前 z₁, z₂, b 条件
什么是齿轮设计
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齿轮上那个弯弯的齿形是什么？为什么一定要做成那个形状？
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简单来说，那个弯弯的形状叫“渐开线”。你可以想象一根绳子紧绷着从一个圆盘（基圆）上解开，绳头画出的轨迹就是渐开线。它最大的好处是，即使两个齿轮安装得没那么精准，中心距有点变化，它们的传动速度比也依然稳定，不会卡顿。你试着在模拟器里把模数调大，就能看到齿形整体变“胖”，齿根更厚实；调小则变“瘦”。
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诶，真的吗？那旁边计算出来的“重合度”又是什么意思？数字越大越好吗？
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在实际工程中，重合度就像接力赛跑。比如重合度是1.6，就意味着平均有1.6对牙齿在同时传递力量，有60%的时间是两对牙齿一起干活，40%的时间是一对。数字越大，传动越平稳，噪音越小。你试试把主动轮和从动轮的齿数都增加，比如都调到30以上，看看重合度是不是变大了？
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原来是这样！那下面算出来的“弯曲应力”和“接触应力”，哪个更危险？我们设计时要看哪个？
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这是个好问题！简单来说，弯曲应力怕“断齿”，就像用力折一根筷子；接触应力怕“点蚀”，就像两个钢球对压，表面被压出麻点。对于硬齿面齿轮，接触应力往往是主要矛盾。你可以在模拟器里把压力角从20度调到25度看看，齿根会变厚，弯曲应力通常会下降，但接触应力变化又是另一回事了。工程现场常见的是两者都要校核。
物理模型与关键公式
重合度是衡量齿轮传动平稳性的核心指标，它表示平均有多少对轮齿同时参与啮合。其计算基于几何关系，涉及两个齿轮的齿顶圆、基圆和中心距。
$$\varepsilon_\alpha = \frac{\sqrt{r_{a1}^2-r_{b1}^2}+\sqrt{r_{a2}^2-r_{b2}^2}-C\sin\varphi}{\pi m \cos\varphi}$$
其中，$r_a$为齿顶圆半径，$r_b$为基圆半径，$C$为中心距，$\varphi$为压力角，$m$为模数。$\varepsilon_\alpha$大于1是连续传动的必要条件，通常希望其大于1.2。
Lewis弯曲应力公式是估算齿根弯曲强度的经典方法，它将复杂的齿形简化为一个悬臂梁模型，用于初步判断齿是否会因弯矩而断裂。
$$\sigma_F = \frac{F_t}{b \cdot m}\cdot \frac{K_A}{Y_J}$$
其中，$F_t$为作用在分度圆上的切向力（N），$b$为齿宽（mm），$m$为模数（mm），$K_A$为使用系数（考虑外部动载荷），$Y_J$为Lewis齿形系数（与齿数和压力角有关，反映齿形对弯曲的抵抗能力）。
现实世界中的应用
汽车变速箱： 齿轮设计直接关系到换挡平顺性、噪音和燃油经济性。工程师利用此类工具快速迭代模数、齿数，在满足强度（高接触应力）的前提下优化重合度以降低啸叫。
工业减速机： 在重载的矿山或冶金设备减速箱中，齿宽和模数是关键参数。通过计算确保弯曲应力（防止断齿）和接触应力（防止点蚀）在材料许用范围内，是设计可靠性的基础。
风电齿轮箱： 由于载荷波动大且维护困难，对齿轮可靠性要求极高。设计时需重点校核在极端风载下的弯曲与接触应力，并追求高重合度以平稳传递巨大的扭矩。
精密仪器与机器人关节： 这类应用更关注传动的精确性与回差。通过优化压力角和齿形，在保证强度的同时，实现微小位移的精确传递，减少振动和定位误差。
常见误解与注意事项
首先，“重合度越高越好”是一种误解 。虽然高重合度确实能使传动更平稳，但超过2.0的过高值会对制造误差和装配误差的影响变得敏感，反而可能成为噪音和振动的原因。在实际工程中，1.2到1.6左右是稳定运行的参考范围。其次，通过刘易斯公式计算出的应力仅是“参考值” 。该公式假设了载荷集中在齿顶一点的极限情况。实际应力分布若通过有限元法（FEM）分析，通常会在齿根圆角（R）区域出现应力集中，其值往往远高于刘易斯公式的计算结果。例如，即使模数3、齿宽30mm计算出的应力为100MPa，FEM分析结果可能达到150MPa以上。最后，模数与齿数的组合并非可以任意选择 。虽然在工具中可设置“齿数5”等极端值，但实际会出现“根切”现象，导致齿根被削弱、强度急剧下降。例如压力角20°时，齿数少于17的小齿轮就会出现此问题。建议养成通过工具仔细观察齿形、确认齿根是否被过度切削的习惯。
相关工程领域
本工具涉及的计算可作为更广泛工程领域的基础。首先是振动与声学工程 。齿轮的“啮合冲击”是噪音的主要成因。这与计算由重合度及齿形误差引起的传动误差波动，并预测其产生何种频率成分的振动噪音的领域直接相关。其次是材料力学与疲劳强度分析 。齿根弯曲应力是评估循环载荷下“疲劳破坏”的起点。实际工程中需结合材料的S-N曲线（应力-循环次数曲线）来预测齿轮寿命。此外，评估齿面点蚀的接触强度计算，正是接触力学（赫兹接触应力） 的应用实例。例如，其理论基础是计算两个圆柱接触时局部产生极高应力的模型。更进一步，还可延伸至探索最优齿形的设计优化 ，以及考虑制造误差的可靠性工程 。一对齿轮的计算，实际上是支撑机械系统性能、可靠性与静音性的多角度分析的起点。
进阶学习建议
第一步建议查阅“JIS B 1704”等标准规范 。在本工具的基础公式旁，列出了实际工程中使用的各种修正系数（速度系数$K_v$、齿向载荷分布系数$K_H\beta$等）。理解这些系数的必要性（例如：为考虑轴挠度或热膨胀的影响），便能看清设计计算的全貌。在数学背景方面，理解渐开线曲线的导数及啮合原理“齿形法线恒通过节点”的定理 ，能使齿轮运动在几何上变得清晰。工具中绘制齿形所用的正是渐开线函数 $ x = r_b(\cos\theta + \theta\sin\theta), y = r_b(\sin\theta - \theta\cos\theta) $。若想深入学习，可进一步研究斜齿轮与锥齿轮 。直齿轮的理解是重要基础。斜齿轮会涉及“端面模数”与“法向模数”的区别、轴向力的计算等新要素。最终，理想的学习闭环是通过FEM软件进行齿轮详细应力分析 的实践。只有结合理论计算、标准规范与CAE分析这三要素，才能形成真正“可用的齿轮设计知识体系”。