滑轮模拟器 — 复滑轮组的机械效率

复滑轮（block and tackle）是由两个滑轮组（每组包含一个或多个轮槽即 sheave）和一根连续的绳构成的简单机械。上方的滑轮组（fixed block，定滑轮组）固定在天花板或横梁上，下方的滑轮组（moving block，动滑轮组）挂在载荷上。绳子在两个滑轮组之间来回穿梭，一端固定在其中一个滑轮组上，另一端（自由端）由人或卷扬机拉动。

载荷受重力 $W = mg$ 向下作用。动滑轮组由 $N$ 根绳段支撑。在理想（无摩擦）情况下，整根绳子的张力相同，所以每段绳分担 $W/N$ 的力，人需要的拉力也是 $F_{\mathrm{input}} = W/N$，得到理想机械效率 $\mathrm{MA}_{\mathrm{ideal}} = N$。

考虑摩擦、绳子刚度与滑轮轴承损耗后引入实际效率 $\eta$ ($\le 1$)，

$$\mathrm{MA} = N\,\eta, \qquad F_{\mathrm{input}} = \frac{W}{\mathrm{MA}} = \frac{m\,g}{N\,\eta}.$$

要把载荷提升高度 $h$，支撑动滑轮的 $N$ 根绳段每根都要缩短 $h$，因此人必须拉出

$$d = N\,h$$

长度的绳。这就是贯穿所有简单机械（杠杆、斜面、螺旋、齿轮组）的「力-距离权衡」。功的收支为：输入功 $W_{\mathrm{in}} = F_{\mathrm{input}}\,d$、输出功 $W_{\mathrm{out}} = m\,g\,h$、摩擦损失 $\Delta E = W_{\mathrm{in}} - W_{\mathrm{out}} = m\,g\,h\,(1/\eta - 1)$。能量守恒要求 $W_{\mathrm{in}} \ge W_{\mathrm{out}}$，等号仅在 $\eta = 1$ 时成立。

工具默认值 $m = 100\ \text{kg},\ N = 4,\ \eta = 0.95,\ h = 5.0\ \text{m},\ g = 9.81\ \text{m/s}^2$ 下，$W = 981\ \text{N},\ \mathrm{MA} = 3.80,\ F_{\mathrm{input}} = 258\ \text{N},\ d = 20\ \text{m},\ W_{\mathrm{in}} = 5164\ \text{J},\ W_{\mathrm{out}} = 4905\ \text{J},\ \Delta E = 259\ \text{J}$。

建筑起重机的吊钩组：塔式起重机或移动式起重机的吊钩几乎都是多滑轮结构。例如 100 吨吊重的起重机采用 N=8 的复滑轮组，钢丝绳上承受的最大张力只需 100/8 ≈ 12.5 吨即可，绳径与电机扭矩都可大幅缩减。在工具中输入 m=10000 kg、N=8，应该会看到输入力约 1.29 吨（12.6 kN），这正是卷筒电机需要处理的张力。代价是提升速度仅为绳速的 1/8，需要与齿轮减速比配合设计。

帆船的主帆绳系统（mainsheet）：大三角帆受强风作用承受几百到几千牛的力，但主帆绳通过多滑轮组让水手能单手操作。普通巡航艇常用 4:1 或 6:1 配置，竞赛艇则达 12:1 或 16:1，所有这些都由相同的 $F = W/(N\eta)$ 公式描述。船员把滑轮叫「block」、绳叫「line」，但物理原理完全一致。现代高性能球轴承滑轮的 η > 0.96，是工程美学的杰作，允许使用极高的 N 而不至于让摩擦失控。

登山救援与冰川提升（Z 装置 / 复合装置）：当登山者掉进冰川裂缝时，标准的自救方法是「Z 装置」（Z-pulley system, 3:1）—— 用攀登绳、两个安全扣和一个抓结组成的简易复滑轮。一人即可拉出受伤伙伴的体重。复合装置（compound system）把 Z 装置再嵌套 Z 装置，可达 5:1 或 9:1。在工具中 N=3、η=0.80（安全扣的摩擦较大）时，提升 80 kg 体重约需 33 kgf 的拉力，与实际救援操作相符。

剧场舞台飞行系统：剧场舞台上方有「网格层」（grid），藏着数十到数百个滑轮组用于升降布景、灯具、幕布。配合对重平衡，5:1 或 10:1 的复滑轮让单个工作人员就能手动操作几百公斤的布景。即使是电动化的现代剧场，仍保留手动系统作为停电备份，其 N 与绳径的设计正是用本工具的公式来确定的。

最常见的误解是 「用复滑轮可以白得能量」。其实正相反，复滑轮组是用减小力为代价换取距离增加的装置，输入功 $W_{\mathrm{in}}$ 永远不少于输出功 $W_{\mathrm{out}}$（有摩擦时严格大于）。能量守恒永远成立。简单机械「让操作变轻」减少的只是峰值力，不是总能量。曾有人想用巧妙的滑轮设计制造永动机，物理上完全不可能。

第二个误区是 「绳子根数 N 怎么数」的混淆。机械效率公式中的 N 是支撑动滑轮（moving block）的绳段数。若自由端从动滑轮组出来则也计入 N；若从定滑轮组出来则不计入。例如绳子在两个滑轮组间往返 2 次，支撑动滑轮的可能是 4 根（自由端从定滑轮组出来）或 5 根（自由端从动滑轮组出来），具体取决于配置。本工具假设的是「自由端从定滑轮组出来」的常规配置，因此默认 N=4 对应两次往返。

第三个误区是 「η 是装置的固有常数」。实际上 η 取决于滑轮数（约为 N/2）、轴承类型（滑动 vs 球轴承）、绳子种类（棉、尼龙、迪尼玛）、绳径与轮槽径比、润滑状态、温度与载荷。一般经验法则是每个滑轮的效率 $\eta_{\mathrm{sheave}} \approx 0.92$ 到 $0.96$，整体 η 是它们的乘积。例如个别 η=0.95 时，N=10 的总 $\eta = 0.95^{10} \approx 0.60$。本工具把 η 作为独立滑块控制是教学上的简化 —— 实际设计中需要指定单滑轮效率，让 N 自然传播损耗。