参数设置
默认软钢相当（σ_0=100 MPa，k_H=600 MPa·√μm），中等晶粒 d=25 μm，高强度目标 σ_target=500 MPa。晶粒尺寸 d 取平均直径；霍尔-佩奇在 d ≥ 100 nm 范围内成立，纳米级晶粒注意逆霍尔-佩奇软化。
多晶结构示意图
用不规则多边形单元表示多晶。晶粒尺寸 d 越小晶粒数越多，d 越大晶粒越少。红色为晶界（位错运动的障碍），晶粒数随 d 自动调整。
霍尔-佩奇直线（σ_y vs 1/√d）
横轴 1/√d (×10⁻¹ /√μm)，纵轴 σ_y (MPa)。直线 y 截距为 σ_0、斜率为 k_H。黄点为当前工作点 (1/√d, σ_y)，红虚线为 σ_target，橙点对应 d_req。
理论与主要公式
多晶金属的屈服应力可分解为摩擦应力与晶界强化项之和。
霍尔-佩奇方程：
$$\sigma_{y} = \sigma_{0} + \frac{k_{H}}{\sqrt{d}}$$
达到目标屈服应力所需的晶粒尺寸：
$$d_{\mathrm{req}} = \left(\frac{k_{H}}{\sigma_{\mathrm{target}} - \sigma_{0}}\right)^{2}$$
晶粒缩小到 1/n 时的强化倍率：
$$\frac{\sigma_{y}(d/n)}{\sigma_{y}(d)} = \frac{\sigma_{0} + \sqrt{n}\,k_{H}/\sqrt{d}}{\sigma_{0} + k_{H}/\sqrt{d}}$$
$\sigma_{0}$ 为摩擦应力（Peierls-Nabarro 应力）[MPa]，$k_{H}$ 为霍尔-佩奇系数 [MPa·√μm]，$d$ 为平均晶粒尺寸 [μm]。$\sigma_{0}$ 对应单晶基底强度，$k_{H}/\sqrt{d}$ 反映晶界阻碍位错堆积的贡献。在 d ≥ 100 nm 区域成立良好；更小晶粒会出现反霍尔-佩奇软化。
霍尔-佩奇方程模拟器是什么
🙋
默认 σ_y=220 MPa 大概是软钢的水平。为什么只输入晶粒尺寸就能确定屈服应力？
🎓
这是个好问题。霍尔-佩奇方程 σ_y = σ_0 + k_H/√d 把多晶金属的屈服应力分解为「单晶基底强度 σ_0」与「晶界强化项 k_H/√d」之和。晶界处晶体取向骤变，位错无法直接穿过、只能堆积（pile-up）。晶粒越小，位错排队越短，把队头位错挤到下一个晶粒所需的应力越高。默认 σ_0=100、k_H=600、d=25 μm 时 σ_y=100+600/√25=100+120=220 MPa，正好是软钢的屈服点。
🙋
把 d 缩小到 d/10，σ_y 从 220 跳到 480 MPa。仅仅把晶粒缩小 10 倍就能让强度翻倍以上吗？
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对，这就是晶粒细化强化的威力。把 d 缩小到 1/10 时，1/√d 增大 √10≈3.16 倍，强化项 k_H/√d 从 120 升到 380 MPa。基底成分 σ_0=100 不变，合计 480 MPa，强化倍率 2.18 倍。实际上 ECAP（等通道角挤压）和 HPT（高压扭转）能把纯铜晶粒从 25 μm 缩小到 250 nm，屈服应力从 70 MPa 跳到 400 MPa 以上，无需添加合金元素就能大幅强化。
🙋
d_req=2.25 μm 显示出来了。是说要达到 σ_target=500 MPa 必须细化到这个粒径吗？
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没错。d_req=(k_H/(σ_target−σ_0))²=(600/400)²=1.5²=2.25 μm。这正是 TMCP（热机械控制轧制+加速冷却）能得到的典型晶粒范围，是 SM490、X70 管线钢等仅靠晶界强化达到目标强度的指标。实际工程还会叠加析出强化与位错强化，但本工具特意把晶粒尺寸效应单独切出来。把 σ_target 设到 σ_0 以下时 d_req 就不显示了，因为不需要晶界强化也能达到。
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右图横轴是 1/√d 时直线很整齐。为什么这个坐标下 σ_y 是直线，有什么用？
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非常实用。实验上把若干样品的 σ_y 与 1/√d 画在一张图上，如果点列成直线就证实了霍尔-佩奇成立，y 截距读 σ_0、斜率读 k_H。如果直线在大 1/√d 处弯下，很可能进入了 100 nm 以下的「逆霍尔-佩奇」（晶界滑动导致软化）。研究者把这种图称为 Hall-Petch plot，是分析合金强化机制的标准工具。本工具把 k_H 从 50 调到 1500，可以快速对比 HCP 镁、BCC 钼、FCC 铜等不同晶体结构的差别。
物理模型与主要公式
霍尔-佩奇方程是 E. O. Hall（1951）与 N. J. Petch（1953）独立的实验经验式。
$$\sigma_{y} = \sigma_{0} + \frac{k_{H}}{\sqrt{d}}$$
$\sigma_{0}$ 为摩擦应力（Peierls-Nabarro 应力），即使在单晶中也存在；$k_{H}$ 为霍尔-佩奇系数，反映晶界阻碍位错的强度。典型值：纯铁 σ_0 ≈ 50 MPa、k_H ≈ 700 MPa·√μm；低碳钢 σ_0 ≈ 100 MPa、k_H ≈ 600 MPa·√μm；纯铜 σ_0 ≈ 25 MPa、k_H ≈ 110 MPa·√μm。该系数取决于晶体结构（BCC 最大，FCC 中等，HCP 大小皆有）与位错堆积几何。
$d$ 为平均晶粒尺寸，常用线截距法（intercept method）或 Heyn 法测量。粒径分布较宽时也用对数平均径或面积加权平均径。本工具假定均匀晶粒，d 直接输入。
达到目标屈服应力 σ_target 所需的晶粒尺寸为反解 $d_{\mathrm{req}} = (k_{H}/(\sigma_{\mathrm{target}}-\sigma_{0}))^2$，是合金与工艺设计的基本式。当 σ_target ≤ σ_0 时无需晶界强化即可达到，故 d_req 未定义。
实际应用
TMCP 钢（造船、桥梁、管线）：热机械控制轧制+加速冷却的 TMCP 工艺把钢的晶粒尺寸从 30〜50 μm 细化到 5〜10 μm，把屈服应力从 250 MPa 提升到 450〜500 MPa。在本工具中输入 σ_0=100 MPa、k_H=600 MPa·√μm，把 d 从 25 μm 改到 5 μm，σ_y 会从 220 MPa 升到 368 MPa。这是 LNG 运输船、海洋平台、X70/X80 管线钢实现高强度化的基本原理，不增加合金元素即可强化，对成本与焊接性都有利。
ECAP/HPT 制备的超细晶材料：等通道角挤压（ECAP）与高压扭转（HPT）等剧烈塑性加工（SPD）能把纯铜、纯钛、铝合金的晶粒细化到 100〜500 nm。在本工具下限 0.1 μm（=100 nm）附近观察 σ_y，可以看到仅靠晶界强化就能让屈服应力提高 5〜10 倍。航空航天用 Ti-6Al-4V 在常规 20 μm 晶粒下 σ_y ≈ 900 MPa，SPD 处理到 200 nm 后可达到 1500 MPa 级，兼顾轻量化与高强度。
HSLA 钢的合金设计：高强度低合金（HSLA）钢（如 API 5L X70）通过添加 Nb、V、Ti 等微量元素，以析出物（NbC、VC、TiN）抑制晶粒长大，把最终晶粒控制在 5〜10 μm。在本工具中保持 k_H 不变、把 d 从 25 缩到 5 μm，σ_y 提升约 1.7 倍，正是管线钢经济地实现高强度化的核心。仅添加 0.05% 的 Nb 就能显著降低晶粒控制的成本，适合大规模生产。
晶粒尺寸测量与无损评价：晶粒尺寸通常用 EBSD（电子背散射衍射）或光学显微镜的线截距法测量，但也可由超声波衰减系数推断。电厂管道老化评价中，通过「衰减系数 → 晶粒尺寸 → 霍尔-佩奇」反算剩余强度的方法已被实际采用，本工具的 σ_y vs 1/√d 直线就是现场剩余寿命诊断的常用工具。
常见误解与注意事项
最常见的误解是「晶粒越小越强、可无限细化」。当晶粒尺寸小于 10〜30 nm 时，位错机制被晶界滑动（grain boundary sliding）和三联点处的 Coble 蠕变取代，σ_y 反而下降，称为「逆霍尔-佩奇」。本工具下限 0.1 μm 对应常规塑性加工的最小晶粒范围；纳米晶（10 nm 以下）需要分子动力学或复合模型评估。100 nm 以上的亚微米晶粒下经典霍尔-佩奇仍然适用。
其次容易误以为「k_H 是材料固有常数」。实际同一材料的 k_H 会随温度、应变速率、合金组成、固溶元素浓度变化。例如 BCC 铁低温下 k_H ≈ 700 MPa·√μm，室温纯铜约 110；只要固溶 0.01% 的 N 或 C，k_H 就可能提高 1.5 倍。引用文献值时务必核对测定温度、组成与前处理。本工具把 k_H 范围设到 50〜1500，便于对比各种材料。
最后要警惕「仅靠霍尔-佩奇就能预测 σ_y」的想法。实际钢与合金中除了晶界强化，还有固溶强化（σ_ss = K·c^n）、析出强化（Orowan 机制）、位错强化（σ_d = αGb√ρ）、相变强化（马氏体）等贡献。工程合金通常用各贡献叠加的复合模型，霍尔-佩奇单独适用范围限于纯金属或竞争机制较弱的简单合金。本工具应理解为「专门切分晶粒效应」的分析工具。
常见问题
σ_y = σ_0 + k_H/√d 表示多晶金属的屈服应力 σ_y 等于摩擦应力 σ_0（即使在单晶中也存在的 Peierls-Nabarro 基底成分）与晶界强化项 k_H/√d 之和。σ_0 对应单晶基底强度，k_H 是霍尔-佩奇系数，反映晶界阻碍位错运动的强度。晶粒尺寸 d 越小，1/√d 越大，屈服应力单调增加。在本工具默认值（σ_0=100 MPa、k_H=600 MPa√μm、d=25 μm）下得到 σ_y=220 MPa，正好落在纯铁与软钢的典型屈服应力范围内。
金属的塑性变形由位错运动承担，但晶界处晶体取向突变，位错无法直接穿过，要么激活相邻晶粒的滑移系，要么在晶界处堆积（pile-up）。晶粒越小，每个晶粒内的堆积长度越短，把位错推送到下一个晶粒所需的应力就越高，这就是 k_H/√d 项的物理来源。在本工具中将 d 从 25 μm 缩小到 2.5 μm，σ_y 从 220 MPa 升至 480 MPa，即约 2.18 倍。这正是 ECAP（等通道角挤压）等剧烈塑性加工在纯铜上得到的强化幅度。
当晶粒尺寸大致小于 10〜30 nm 时，会出现称为反霍尔-佩奇（inverse Hall-Petch）的软化现象，σ_y 反而下降。原因是晶界滑动（grain boundary sliding）和三联点处的 Coble 蠕变开始主导，位错机制失效。实际上 100 nm 以上的亚微米晶粒下经典霍尔-佩奇定律仍然适用，本工具的晶粒尺寸范围（0.1〜500 μm）正处于该有效区间。低于 100 nm 时通常需要原子论模拟或专门的蠕变模型。
d_req = (k_H/(σ_target − σ_0))² 是实现 σ_y = σ_target 所需的平均晶粒尺寸，是新合金或新工艺设计时的基本公式。例如对 σ_0=100 MPa、k_H=600 MPa√μm 的钢，要达到 σ_target=500 MPa，本工具默认值给出 d_req=2.25 μm，恰好处于 TMCP（热机械控制轧制+加速冷却）典型晶粒尺寸范围，是高强度低合金（HSLA）钢合金设计的基本指标。若 σ_target ≤ σ_0 则不需要晶界强化即可达到，d_req 不显示。