参数设置
采用原子单位制（atomic units）。改变 n 会同时改变能级与节点数。
计算结果
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经典转折点 x_c = √((2n+1)ℏ/mω)
波函数 ψ_n(x) 与概率密度 |ψ_n(x)|²
上：抛物线势能 V(x)=½mω²x²（蓝）与离散能级 E_0..E_n（黑色水平线）。下：ψ_n(x)（绿）与 |ψ_n(x)|²（红），虚线为经典转折点 ±x_c。
理论与主要公式
一维量子谐振子薛定谔方程的解可写成 Hermite 多项式 $H_n(\xi)$ 与高斯函数的乘积。
归一化本征函数（$\xi = x\sqrt{m\omega/\hbar}$）：
$$\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} H_n(\xi)\,e^{-\xi^2/2}$$
Hermite 多项式递推关系：
$$H_{n+1}(\xi) = 2\xi\,H_n(\xi) - 2n\,H_{n-1}(\xi),\quad H_0=1,\;H_1=2\xi$$
能级与经典转折点：
$$E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right),\qquad x_c = \sqrt{\frac{(2n+1)\hbar}{m\omega}}$$
能量是离散的，间距恒为 ℏω；基态仍保留零点能 ℏω/2。波函数会指数衰减地"渗透"到经典转折点之外。
量子谐振子波函数模拟器是什么
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量子谐振子说白了就是"弹簧上挂个小球"的量子版本吧？和经典弹簧到底有什么不同呢？
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大致来说，最大的区别就是能量不再是连续的，而是"一格一格"的离散值。$E_n = \hbar\omega(n+1/2)$，n=0,1,2,… 按等间距排列。在上面的模拟器里把量子数 n 调高，能看到上图中的黑色水平线每次都向上跳一个 ℏω。用默认参数（n=3, m=ω=ℏ=1）算出来的 E_3 = 3.5。
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对，这就是著名的"零点能"。即使是基态也保留 E_0 = ℏω/2。经典上弹簧可以静止不动且能量为零，但量子中由于不确定性原理，位置与动量不能同时为零。所以即便绝对零度晶格里的原子也在小幅振动。这正是低温热容与热传导出现量子修正的起点。
🙋
看绿色波函数曲线，n=3 时正好在 3 处变号，这是巧合吗？
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绝不是巧合——量子数 n 的波函数必然有 n 个节点（过零点），因为 Hermite 多项式 $H_n$ 恰好有 n 个实根。n=0 没有节点（纯高斯），n=1 在中心有一个节点，n=3 有三个。模拟器中的"节点数"卡片就反映这一点。这是教科书里"节点越多能量越高"的经典示例。
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经典转折点 ±x_c 的虚线外面也漏出一点波函数？
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看得很仔细。经典上粒子绝不可能跑到 ±x_c 之外（动能会变成负数）。但量子中波函数以指数衰减"渗透"到禁区。这就是隧穿效应的原型——半导体量子阱激光器、扫描隧道显微镜（STM）、α 衰变等等，根本上都是这种"在禁区里的微小存在概率"在起作用。你改变 n 时也能看到渗透宽度随之变化。
常见问题
因为谐振子势 V(x) = ½mω²x² 是高度对称的抛物线。代数上，用产生算符 a^† 与湮灭算符 a 表达，a^† 把状态"升高一级"，而每升一级所增加的能量恒为 ℏω，因此能级等间距。这与氢原子那种 1/r 势中能级间距越来越窄形成鲜明对比。
可以，这就是"对应原理"。n 越大，概率密度 |ψ_n(x)|² 的包络越接近经典振子的存在概率分布（在转折点附近大、在中心小）。在模拟器中将 n 设为 10 再看红色 |ψ|² 曲线，虽然剧烈振荡，但包络呈 U 形，正对应经典的概率分布。
量子力学中波函数能以指数衰减的形式进入经典禁区（E < V 的区域）。这是因为只要势能不无穷大，薛定谔方程要求波函数处处连续。这种"渗透"正是隧穿效应的来源，是 α 衰变与扫描隧道显微镜（STM）等现象的工作原理。
可以。用有限差分法或 Numerov 法离散薛定谔方程，化为矩阵的特征值问题即可数值求出能级与波函数。谐振子有解析解（Hermite 多项式），便于作为基准检验；但对于更一般的势能（Morse 型、非谐性、井+势垒），数值方法是必需的。
实际应用
分子振动光谱：双原子分子（H₂、CO、HCl 等）的伸缩振动，由于平衡键长附近的势能可近似为抛物线，因此谐振子模型可直接套用。红外（IR）光谱与拉曼光谱中观测到的吸收/散射线的位置正是 ℏω 的体现，能直接反映化学键的强度。更精细的情形可用 Morse 型势能进行修正。
固体物理中的声子：晶体中原子的格子振动可视为一组耦合的弹簧。化为简正模式之后，每个模式都是独立的谐振子，其量子化的能量量子就是"声子"。比热的 Einstein/Debye 模型、热导率、超导中的电子-声子耦合等固体物理核心问题皆建立于此。
量子光学与激光：电磁场的每一个模式本身就是一个谐振子，对应的能量量子就是"光子"。相干态 |α⟩ 描述激光光场，压缩态则用于降低量子噪声以实现精密测量（如引力波探测器）。在本模拟器中改变 n，实际上就是在浏览单模光场的 Fock 态 |n⟩ 的波函数。
量子计算与量子信息：在离子阱量子计算机中，被捕获的离子共享的谐振模式被用作传递信息的"总线"。超导量子比特也建立在 LC 电路的量子化（即电磁场的谐振子量子化）之上。理解本模型，就是理解量子硬件的基础。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为"波函数 ψ 本身就是可观测量"。实际上可观测的是概率密度 |ψ|²，波函数的相位或符号本身没有物理意义（只有发生干涉时相对相位才可观测）。在模拟器中绿色 ψ 会改变符号上下振荡，而红色 |ψ|² 始终非负，正是"粒子在该位置的概率密度"。把波函数整体乘以 −1 描述的是完全相同的物理态。
第二种常见错误是把经典转折点 x_c 当成"粒子永远无法越过的墙"。经典上确实如此，但量子上波函数会以指数衰减形式渗透进去。看模拟器中虚线之外的部分：绿色 ψ 与红色 |ψ|² 都没有归零，而是带着小幅度的尾巴。这种"渗透"正是量子隧穿的原型，是 α 衰变、STM、半导体器件的根本原理。"禁区"是经典的概念，量子里概率虽小但永远不为零。
最后要警惕把谐振子模型当作"永远成立的近似"。这一模型只是平衡点附近的二阶泰勒展开，当振幅变大时四阶及更高阶的非谐性修正会变得不可忽略。真实分子的振动在量子数升高时能级间距会逐渐变小，最终分子会发生解离（由 Morse 型势能描述）。本模拟器是纯谐振子模型，处理真实系统时务必意识到非谐性修正的必要性。