符号规约：凸前面 R1 ＞0、凸后面 R2 ＜0。默认值为冕牌玻璃（n=1.50）的双凸透镜。
改变折射率 n 和曲率半径 R1 ,R2 ，透镜截面形状和焦距 f 会实时变化（曲率越急、n 越大，焦点越近）。
薄透镜的焦距由透镜材料的折射率 n 和两面的曲率半径 R1 , R2 决定（透镜制造商方程式）：
$$\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$
物体距离 s 和像距 s' 由高斯成像公式（薄透镜公式）联系：
$$\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f}$$
横放大率 M。为负表示倒立，为正表示直立，|M|>1 为放大，|M|<1 为缩小：
$$M = -\frac{s'}{s}$$
符号规约以入射侧为基准，凸前面的 R1 为正，凸后面的 R2 为负。
透镜制造商方程式模拟器是什么
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透镜的焦距是怎么确定的呢？昂贵的远摄透镜和便宜的透镜有什么区别？
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简单说，焦距只由"玻璃的折射率"和"两面的曲率半径"决定。这就是透镜制造商方程式 $1/f=(n-1)(1/R_1-1/R_2)$。在上面的模拟器中，把"曲率半径 R1 "从30改成100试试。焦距会一下子变长。曲率越平缓（半径越大），折射就越弱，变成长焦距。
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我明白了。当"物体距离 s"改变时，像距 s' 的卡片会不断变化。s=60时 s'=100，s=200时 s' 变短。
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这就是高斯成像公式 $1/s+1/s'=1/f$。物体离得越远，像距就越接近 f，最后当 s=∞（无穷远的星星）时，s'=f 就成立了。这就是相机镜头被称为"焦距"的原因。拍摄远处的被摄体时，对焦位置实际上就是焦距。
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"放大率 M=-s'/s"的卡片显示 -1.67。负号是什么意思？
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负的放大率表示像是倒立的。你看模拟器右边的像是向下的箭头吧？实际在相机传感器上，像也是上下左右颠倒的。只是人脑会自动把它纠正成正立后看。|M|>1 所以是放大的。这就是投影仪和幻灯机的原理。
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把物体距离 s 设小于焦距 f 就可以了。在模拟器中把 s 改成5试试——s' 会变成负数，显示"直立、放大虚像"。这就是物体那一侧"表面上"形成了像，用放大镜看文字放大的原理就是这样。在光线追踪中，折射后的光线向后延伸交点就是虚像。
常见问题
怎样减少球面像差？
球面像差是由于透镜制造商方程式所基于的近轴近似在周边光线上失效而产生的。减少方法有三种。第一是缩小光圈来遮挡周边光（这就是为什么用相机时光圈缩小会提高画质的原因）。第二是采用非球面透镜——通过在周边连续改变曲率来实现理想的聚焦。第三是用多片透镜组合，让它们彼此的像差相消。高级相机镜头之所以有那么多"玻璃片"就是为了这个原因。
色差是怎样补正的？
折射率 n 随光的波长而变化（色散），所以蓝光和红光的焦距不同。传统的补正方法是消色差透镜。把低色散玻璃（冕牌）的凸透镜和高色散玻璃（火石）的凹透镜粘合，就可以让两种颜色（通常是红和蓝）的焦点重合。能让三种颜色焦点都重合的萤石透镜性能更好，用在高级天体望远镜和专业相机上。数字时代也有了波长别软件补正。
复合透镜系的焦距怎样计算？
薄透镜密贴时很简单，合成焦距是 $1/f = 1/f_1 + 1/f_2 + \cdots$。分开放置时，两片镜头的情况是 $1/f = 1/f_1 + 1/f_2 - d/(f_1 f_2)$，间隔 d 也有影响。实用的相机镜头是6～15片透镜精密组合，实现像差补正和期望的焦距、变焦范围。专业设计中标准用的是矩阵光学（系统矩阵），用矩阵积来表示每面的折射和空间传播。
放大镜和望远镜有什么不同？
放大镜是一片凸透镜，把物体放在焦距以内（s<f），形成直立放大的虚像。使用者通过放大镜观看这个虚像。望远镜由两片透镜组成，物镜（焦距 f_obj 较长）把远方物体形成中间像，再用接眼镜（焦距 f_eye 较短）把它放大来观看。角放大倍率为 M = f_obj / f_eye。f_obj 越长、f_eye 越短倍率越高，但视野会变窄，像也会变暗，所以设计上要权衡。
实世界应用
相机和摄影： 所有相机镜头都是基于透镜制造商方程式设计的。从智能手机后置摄像头、新闻现场的超远摄镜头、电影摄制用变形镜头，所有的焦距都是由曲率半径和折射率的组合决定的。变焦镜头是通过移动内部透镜组改变合成焦距的机制，设计中可能用到数十片透镜。
眼镜和隐形眼镜： 矫正近视、远视、散光的眼镜是用透镜来消除眼睛的屈光异常。近视用凹透镜（负焦距），远视用凸透镜（正焦距）。度数（屈光度 D）是焦距的倒数，D = 1/f (m)。比如"-2.0 D"表示焦距为 -0.5 m 的凹透镜。隐形眼镜也是同样的原理，但因为贴在角膜上，所以计算会略有不同。
显微镜和望远镜： 科学观测的基础光学设备都是由多片透镜的成像公式的连锁设计而成的。生物显微镜用物镜形成微小物体的放大实像，再用接眼镜把它当虚像放大来观察。天体望远镜是用来获得远方天体的角放大倍率的装置，哈勃太空望远镜这样的反射型虽然用的是曲面镜而不是透镜，但成像的数学原理是相同的。
激光光学和光通信： 激光指示笔的聚焦、光纤耦合、半导体曝光设备、激光加工机等现代产业的许多场景都活跃着精密的薄透镜设计。光通信的合波分波装置要求微米精度的焦点位置控制，透镜制造商方程式是设计的出发点。
常见误区和注意事项
最常见的误区是"透镜越厚焦距越短"的过于简单的想法 。实际起作用的是"两面的曲率半径"，而不是透镜的厚度本身。厚度才有影响是在"厚透镜"处理时，薄透镜近似中会忽略透镜厚度。在模拟器中试试把 R1 改成10这样的小半径。焦距会立刻变短。曲率越急（半径越小），透镜的面就越弯，对光的折射就越强，这才是决定焦距的本质。
第二个常见错误是符号规约搞反 。本工具以入射侧为基准，凸前面 R1 ＞0、凸后面 R2 ＜0。双凸透镜时 R1 正、R2 负，f 为正（收聚透镜）。双凹透镜时 R1 负、R2 正，f 为负（发散透镜）。因为教科书的符号规约不同，容易搞混。用"从中心向右为正"的笛卡尔规约一致地应用就不会矛盾。在模拟器中试试改变 R1 、R2 的符号，观察 f 的符号怎样变化。
最后注意，本模拟器处理的是"薄透镜·近轴近似"，不是实际透镜性能的预测 。实际透镜有厚度，周边光线超出近轴近似范围会产生球面像差。而且折射率随波长变化，还会产生色差。专业的透镜设计中，把本工具求出的值作为"设计的出发点"，用 Zemax 或 CODE V 这样的光线追踪软件严格追踪全部光线，通过优化曲率来最小化各种像差。但透镜制造商方程式作为初期检讨和直观理解的基础，时至今日仍然是最重要的公式。