パラメータ設定
プリセット比
再生コントロール
図形比較
キャンバス上で左右ドラッグ → 位相差 δ を直接操作
理論・主要公式
2つの正弦波振動を直交方向に合成：
$$x(t) = A_x \sin(\omega_x t + \delta), \quad y(t) = A_y \sin(\omega_y t)$$
$\omega_x = 2\pi f_x$，$\omega_y = 2\pi f_y$，位相差 $\delta \in [0,\, 2\pi)$
周期：$T = \text{lcm}(1/f_x,\, 1/f_y)$（$f_x/f_y \in \mathbb{Q}$ のとき閉曲線）
$f_x/f_y \notin \mathbb{Q}$ のとき曲線は閉じず、長時間でキャンバスを密に埋める（準周期軌道）
リサージュ図形・振動の合成とは
🙋
リサージュ図形って何ですか？オシロスコープで見るアレですよね？
🎓
その通り！大まかに言うと、X方向とY方向の2つの振動を合成してできる軌跡の絵だよ。例えば、このシミュレーターで`f_x`と`f_y`を両方「1」に、位相差`δ`を「0」に設定してみて。直線が描かれるのが見えるかな？これが一番シンプルなリサージュ図形だ。
🙋
え、直線になるんですか？振動なのに。じゃあ、位相差のスライダーを90°（π/2）に動かすと…わあ、円になりました！
🎓
そう、これがポイント！同じ周波数でも位相が変わると、直線→楕円→円と形が変わる。実務では、この形を見て2つの信号の位相差を読み取るんだ。今度は周波数比を変えてみよう。`f_x=1`、`f_y=2`にすると、ひょうたん型の面白い図形になるよ。
🙋
確かに！でも、周波数比を1:3とか2:3にすると、すごく複雑な結び目みたいな形になりますね。これって何か意味があるんですか？
🎓
いいところに気づいたね。周波数比が整数比（有理数）のときだけ、図形は閉じた軌道になる。逆に無理数比だと、永遠に閉じずにキャンバスを埋め尽くしていく。シミュレーターの「描画点数」を増やして、`f_x=1`、`f_y=√2`（約1.414）にすると、その様子が観察できるよ。これが図形が「閉じる条件」の実例だ。
よくある質問
図形が閉じる（周期的になる）には、X方向とY方向の周波数比が有理数（整数比）である必要があります。例えば2:3や3:4などです。比が無理数（例：1:√2）だと軌跡は永久に閉じず、画面内を埋め尽くすようなパターンになります。周波数比スライダーを有理数に調整してみてください。
位相差δはX方向の振動の開始タイミングのズレです。δ=0°なら直線、90°なら真円（振幅が等しい場合）、それ以外の値では楕円や傾いた図形になります。スライダーを動かしながら側面射影で各成分の波形のズレを確認すると、理解が深まります。
メイン画面のリサージュ図形に加え、X方向とY方向それぞれの単振動（正弦波）を時間軸に沿って表示します。これにより、各成分の振幅・周波数・位相差が合成図形にどう影響するかを直感的に比較できます。特に位相差の効果を波形のずれとして視覚化できるのが利点です。
振幅AxとAyは図形の横方向と縦方向の広がりを決めます。Axが大きいほど横長、Ayが大きいほど縦長の楕円になります。振幅が等しい場合は正方形の範囲に収まり、周波数比と位相差によって円や直線が現れやすくなります。数値入力で微調整も可能です。
実世界での応用
オシロスコープによる周波数・位相測定：オシロスコープのXYモードで未知の信号と既知の基準信号を入力し、描かれるリサージュ図形の形状から、信号間の周波数比や位相差を視覚的・定量的に求めます。エンジニアが実際に現場で使う古典的かつ強力な手法です。
回転機械の振動解析・アンバランス検出：回転軸のX方向とY方向の振動を計測し、そのリサージュ図形を観察します。図形の形状や大きさの変化から、軸のアンバランスや不整列、軸受の摩耗などの異常を早期に発見することができます。
構造物の共振周波数同定：構造物に加振力を与え（入力）、その応答を計測します。入力と応答の位相差$\delta$が90°（π/2）になるとき、その周波数が構造物の共振周波数であると同定できます。CAEの実験モード解析の基礎となる原理です。
2自由度系の振動モード可視化：2つの質量とバネからなる簡単なモデルでも、特定の周波数で励振すると、各質量の変位の軌跡がリサージュ図形として観測されます。これは系の「振動モード」を直感的に理解するのに役立ちます。
よくある誤解と注意点
まず、振幅A_xとA_yは図形の「大きさ」だけを決めると誤解されがちですが、実は「縦横比」が形状認識に大きく影響します。例えば、周波数比1:2で円を描こうとすると、位相差を90°にしても、振幅が等しければ円にはなりません。正しい円を得るためには、振幅比も周波数比に応じて調整する必要があります。具体的には、f_y=2*f_xの場合、A_yをA_xの約半分に設定してみてください。シミュレーターで確かめてみると理解が深まります。
次に、「位相差δを変えても図形が変わらない」と感じる場合。これは周波数比が1:1でない時に起こりやすいです。位相差の効果は、2つの振動の周波数が等しい、または非常に近い時に最も顕著に現れます。f_x=1, f_y=2の設定でδを0°から180°まで動かしても、図形は回転したり対称移動したりするだけで、直線や円にはなりません。位相差の学習は、まずはf_x=f_y=1の設定で行いましょう。
実務的な落とし穴として、「ノイズ」の存在を忘れがちです。このシミュレーターは理想的な正弦波ですが、現実の測定信号には必ずノイズが含まれます。そのため、オシロスコープで見るリサージュ図形はぼやけており、教科書のようなシャープな線にはなりません。図形が閉じているかどうかの判断には経験が必要で、無理数比の信号でも短期的には閉じているように見えることがあるので注意が必要です。