パラメータ
プリセット比率
δを 0 から 2π まで自動でスイープ
再生コントロール
図形比較
リアルタイム作図アニメーション
x(t) 生成器（上辺）
y(t) 生成器（左辺）
作図ペン
ガイド線
キャンバス上で左右にドラッグすると位相差 δ を直接操作できます
CAE での応用
構造物の共振周波数同定（加振と応答の位相差 δ=90° が共振の目安） / 回転機械の軸振れ・アンバランス検出 / オシロスコープ XY モードによる周波数比・位相測定 / 2 自由度系の振動モード可視化。
理論と主要式
直交方向の 2 つの正弦波振動を合成します:
$$x(t) = A_x \sin(\omega_x t + \delta), \quad y(t) = A_y \sin(\omega_y t)$$
$\omega_x = 2\pi f_x$、$\omega_y = 2\pi f_y$、位相差 $\delta \in [0,\, 2\pi)$
周期: $T = \text{lcm}(1/f_x,\, 1/f_y)$、$f_x/f_y \in \mathbb{Q}$ のとき閉曲線になります。
$f_x/f_y \notin \mathbb{Q}$ の場合、曲線は閉じず長時間でキャンバスを密に埋めます (準周期軌道)。
リサージュ図形とは?
🙋
リサージュ図形って何ですか? シミュレータでは 2 つの波からループ状の形が描かれているように見えますが…。
🎓
ひとことで言うと、互いに直交する 2 つの独立な振動を受ける点が描く軌跡だよ。このシミュレータでは X 方向と Y 方向の正弦波をそれぞれ操作できる。両方の運動を時間で合成した結果が、画面に現れる図形なんだ。試しに f_x と f_y を両方 1 にしてみて — 単純な楕円や直線になるはずだよ。
🙋
本当ですか? 周波数の数値で形が変わるんですね。2:1 の比だとどんな形になりますか?
🎓
そう、周波数比こそが鍵だよ。2:1 の比、たとえば f_x=2、f_y=1 にすると、図形は 8 の字や蝶ネクタイのような形になる。振動はやがて同期し直すので、図形は閉じて繰り返す。スライダーで f_x=2、f_y=1 にしたあと、「位相差 δ」をゆっくり動かしてみよう。形が回転し変形していく様子が美しく観察できるよ。
🙋
面白いですね! でも、きれいなパターンを描く以外に実用的な場面ってあるんですか?
🎓
いい質問だね。計測の基本ツールとして昔から使われている。電子工学のラボでは、2 つの信号をオシロスコープの XY モードに入れて、周波数比と位相を比較する。片方の周波数が分かっていれば、リサージュ図形からもう一方の周波数を読み取れるんだ。CAE の世界では構造共振の同定にも役立つ — 位相差 δ が 90° に達したら、その周波数が固有振動数の候補になる。f_x と f_y を同じ値に設定して δ を 0° から 180° までスイープしてみると、直線→楕円→直線へと遷移する様子がよく分かるよ。
物理モデルと主要な方程式
点の運動は、x 軸方向と y 軸方向に独立した 2 つの調和振動として定義されます。任意の時刻 \( t \) における位置は次のパラメトリック方程式で表されます。
$$x(t) = A_x \sin(\omega_x t + \delta), \quad y(t) = A_y \sin(\omega_y t)$$
ここで:
\( A_x, A_y \): 振幅 (スライダーで操作) — それぞれの軸方向に図形を伸縮させます。
\( \omega_x = 2\pi f_x, \omega_y = 2\pi f_y \): 角周波数。周波数スライダーで設定します。
\( \delta \): 位相差 (「位相差 δ」スライダー) — 一方の波をもう一方に対してずらし、図形の回転や形を変えます。
\( t \): 時刻。「描画点数」(Number of Points) はサンプル数を決め、曲線を滑らかに描くために用います。
得られる図形が閉じて周期的になるのは、周波数比 \( f_x / f_y \) が有理数 (整数比) であるときだけです。整数の値そのものがパターンの複雑さを決定します。
$$\frac{f_x}{f_y}= \frac{m}{n}\quad (m, n \text{ は整数})$$
図形は鉛直方向に \( m \) 個のローブ、水平方向に \( n \) 個のローブを持ちます。たとえば 3:2 の比 (\(f_x=3, f_y=2\)) では、典型的に縦方向 3 個のループを持つパターンが描かれます。シミュレータで試してループを数えてみてください。
よくある質問
図形が閉じる (周期的になる) には、X 方向と Y 方向の周波数比が有理数 (整数比) である必要があります。たとえば 2:3 や 3:4 などです。比が無理数の場合 (例: 1:√2)、軌跡は永久に閉じず、画面を埋め尽くすようなパターンになります。周波数比スライダーを有理数に調整してみてください。
位相差 δ は X 方向の振動の開始タイミングのずれを表します。δ=0° では図形は直線になり、δ=90° では (振幅が等しい場合) 真円になります。それ以外の値では楕円や傾いた図形になります。スライダーを動かしながら、側面投影で各成分の波形のずれを確認すると理解が深まります。
メイン画面のリサージュ図形に加え、側面投影では X 方向と Y 方向それぞれの単振動 (正弦波) を時間軸に沿って表示します。これにより、各成分の振幅・周波数・位相差が合成図形にどう影響するかを直感的に比較できます。とくに位相差の効果を波形のずれとして視覚化できる点が利点です。
振幅 Ax と Ay は図形の横方向と縦方向の広がりを決めます。Ax が大きいほど横長の楕円に、Ay が大きいほど縦長の楕円になります。振幅が等しい場合は図形が正方形の範囲に収まり、周波数比と位相差によっては円や直線が現れやすくなります。数値入力欄から微調整することもできます。
実世界での応用
オシロスコープによる周波数・位相測定: もっとも古典的な応用です。2 つの電気信号をオシロスコープの XY モードに入力すると、既知の基準信号と比較して未知信号の周波数を素早く特定できます。描かれるリサージュ図形からは、信号間の周波数比と位相差の両方を読み取れます。
構造動力学と共振同定: CAE および実験的な振動試験では、加振力 (入力) と構造物の応答 (出力) の位相差 \( \delta \) が重要です。固有共振周波数では、この位相シフトが 90° に近づきます。入出力のリサージュ的な関係を観察することで、ビル・自動車部品・航空機翼などにおける危険な共振状態の特定と回避に役立てられます。
回転機械の診断: 軸・タービン・モーターのアンバランスやミスアライメントは振動を生みます。軸受箱で直交 2 方向の振動を計測し、軸中心線の軌道をプロットすればリサージュ図形になります。この軌道の形状から、アンバランス・曲がり・オイルホイップなどの故障種別を診断できます。
音響・信号処理: リサージュ図形は一部のオーディオソフトやハードウェアのビジュアライザでも、ステレオ信号や異なるモジュレーション効果の関係を表現するために用いられます。2 チャンネル間の相関を直感的・幾何的に表す手段となります。
よくある誤解と注意点
まず、振幅 A_x と A_y は図形の「大きさ」だけを決めると誤解されがちですが、実は「縦横比」が形状認識に大きく影響します。たとえば周波数比 1:2 で円を描こうとして位相差を 90° に設定しても、振幅が等しいままでは円にはなりません。正しい円を得るには、振幅比も周波数比に合わせて調整する必要があります。具体的には f_y=2*f_x の場合、A_y を A_x の約半分に設定してみてください。シミュレータで確かめると理解が深まります。
次に、「位相差 δ を変えても図形が変わらない」と感じる場合。これは周波数比が 1:1 でないときに起こりがちです。位相差の効果は 2 つの振動の周波数が等しい、もしくは非常に近いときに最も顕著 に現れます。f_x=1、f_y=2 の設定で δ を 0° から 180° まで動かしても、図形は回転や対称移動を伴うだけで、直線や円にはなりません。位相差の学習はまず f_x=f_y=1 の設定から始めましょう。
実務的な落とし穴として「ノイズ」の存在を忘れがちです。本シミュレータは理想的な正弦波を扱っていますが、現実の計測信号には必ずノイズが含まれます。そのため、オシロスコープで見るリサージュ図形は教科書のようなシャープな線ではなく、ぼやけて見えます。図形が閉じているかどうかの判定には経験が必要で、無理数比の信号でも短時間では閉じて見えることがある点に注意してください。
準拠規格・前提条件
準拠/参考： リサジュー（Bowditch）曲線の定義式 \( x(t)=A_x\sin(\omega_x t+\delta),\; y(t)=A_y\sin(\omega_y t) \)、\( \omega=2\pi f \)。周波数比 \( f_x:f_y \) が有理数のとき閉曲線。出典：Lissajous(1857)、オシロスコープ X-Y 法による位相・周波数比較。
モデルの前提： 2つの正弦波の純粋な合成。1:1・δ=π/2・A_x=A_y で円（半径一定＝1.0 を確認）、1:1・δ=0 で直線 y=x（|x−y|=0 を確認）。位相差 δ が図形の向きと形を決める。
適用範囲・限界： 厳密な数式描画で物理的な簡略化はなし。減衰・ノイズ・非線形は含まない理想正弦の可視化。実信号では振幅・周波数のゆらぎにより図形が安定しない場合がある。