马赫锥模拟器 — 超音速飞行的音爆

马赫锥可定义为超音速点源所发出球面波的包络面（Huygens 构造）。Ernst Mach（1838-1916）与 Peter Salcher 于 1887 年在维也纳用阴影成像拍下了超音速弹丸照片，首次直接可视化激波面。

设飞行体在时刻 $-t$ 位于 $(-Vt, h)$，则该时刻发出的球面波到时刻 $0$ 已扩展到半径 $ct$。飞行体此时位于原点 $(0, h)$。各时刻波前的包络面构成圆锥，半顶角 $\mu$（马赫角）为

$$\sin\mu = \frac{ct}{Vt} = \frac{c}{V} = \frac{1}{M}$$

其中 $M = V/c$ 即马赫数。$M < 1$ 时右边大于 1，方程无解（无锥形成）。$M = 1$ 时 $\mu = 90°$（平面波）；$M > 1$ 时 $\mu < 90°$ 的尖锥，$M \to \infty$ 时 $\mu \to 0$ 渐近。

飞行体在高度 $h$ 水平巡航时，锥的母线与地表 $y=0$ 的交点距飞行体正下方水平距离为

$$\ell = \frac{h}{\tan\mu} = h\sqrt{M^2 - 1}$$

第二式由 $\sin\mu = 1/M$、$\cos\mu = \sqrt{1-1/M^2}$、$\tan\mu = 1/\sqrt{M^2-1}$ 推得。地面观察者正在飞行体正下方时，音爆于飞行体掠过正上方后 $t_{\text{delay}} = \ell/V = h/(M\,c\,\tan\mu)$ 秒到达。本工具默认 $M=2$、$c=343$ m/s、$h=1000$ m 给出 $\ell=1732$ m、$t_{\text{delay}}=2.52$ s。

实际音爆的压力波形通常是 N 型波（N-wave）：机首激波导致急剧的正向超压 $+\Delta p$，机体后方膨胀波平滑下降至 $-\Delta p$，机尾激波再次跃升回大气压。$\Delta p$ 依赖机长、升力、飞行高度，F-18（M=1.4、h=10 km）约 50 Pa，协和号（M=2、h=18 km）约 100 Pa。

超音速飞机设计与适航：FAA、EASA、JCAB 对陆上超音速飞行设置 Δp 限制（美国实际禁止）。新一代 SST（NASA X-59、Boom Overture）通过机身延长到 30 m 以上、分散机首-机翼-机尾激波，把 Δp 压到 25 Pa 以下。CFD（OVERFLOW、Cart3D）与大气传播代码（PCBoom、ZEPHYRUS）耦合优化设计，而马赫锥几何是出发点。

大气再入：航天飞机和 HTV（鹳号）以 M=25 量级再入，马赫锥极其尖锐，外层叠加弓形激波（bow shock）。CFD 中常用 DSMC（直接模拟蒙特卡罗）与化学非平衡 Navier-Stokes 耦合预测热流峰值（约 1 MW/m²），马赫锥理论提供这些大规模解算器的边界条件。

内弹道 / 外弹道：军用与狩猎用步枪弹以 M=2〜4 飞行，靠近地面时会产生「啪」的锥形激波声。Mach 最初的实验正是这样的弹丸阴影摄影。现代狙击声学探测系统（Boomerang、PILAR）通过多麦克风阵列接收马赫锥到达时差，反算射击点，广泛应用于城市作战。

空泡与水下推进：水中达到超音速基本不可能，但超空泡鱼雷（俄 VA-111 Shkval）通过机首气体形成空泡，水下达约 200 km/h，相当于水中 M 约 0.07。气液界面行为与马赫锥构造类似，是均匀流模型的研究对象。

最常见的误解是 「音爆只在突破音障瞬间发生」。实际上整个超音速飞行过程都会拖曳马赫锥，地表音爆足迹（footprint）沿整个飞行轨迹延伸，直线飞行下约 80 km 宽的细长带状区域。Chuck Yeager 在 1947 年首次突破音速生出「音障」一词，但没有「破墙瞬间一声巨响」，超音速飞行中沿途始终能在地面观察到。

另一个常见陷阱是 「马赫锥不依赖机体形状」。点源理论确实如此，但真实机体的机首、机翼前缘、座舱罩、机翼后缘、机尾各自发出独立激波，地面合成为 N 型波。NASA 在 2017 年用 F/A-18B 进行的 SonicBAT 飞行试验，地表 25 点 Δp 测量值与 CFD 预测吻合 ±5% 以内。马赫锥告诉你主激波位置，波形细节必须依赖 CFD。

最后是 「马赫角依赖飞行高度」的误解。sin μ = 1/M 是纯局部马赫数关系，高度并不直接出现。但高度影响声速 c（标准大气地面 c=340 m/s、11 km 高度 c=295 m/s），因此相同对地速度 V 在不同高度下马赫数 M = V/c 不同，进而马赫角也不同。本工具将声速 c 设为独立滑块，可模拟高度对声速的影响。