马赫锥 模拟器 — 超音速飞行的音爆

马赫锥定义为超音速运动点源牵引的球面波的包络面（惠更斯构造）。Ernst Mach（1838-1916）和 Peter Salcher 在 1887 年维也纳首次用影绣摄影拍到发射体（子弹）的冲击波面，这是该现象的首次可视化。

设飞行体在 $t=-\tau$ 时位于 $(-V\tau, h)$，这时刻产生的球面波到 $t=0$ 时扩展到半径 $c\tau$。而飞行体在 $t=0$ 时在原点 $(0, h)$。波面的包络是圆锥，其半顶角 $\mu$（马赫角）由以下式给出：

$$\sin\mu = \frac{c\tau}{V\tau} = \frac{c}{V} = \frac{1}{M}$$

其中 $M = V/c$ 是马赫数。$M \lt 1$ 时右边超过 1，无解（无锥形）。$M = 1$ 时 $\mu = 90°$（平面波），$M \gt 1$ 时 $\mu \lt 90°$ 的锐锥，$M \to \infty$ 时 $\mu \to 0$ 渐近。

飞行体在高度 $h$ 水平飞行时，锥面与地表 $y=0$ 的交点到飞行体正下方的水平距离 $\ell$ 几何上为

$$\ell = \frac{h}{\tan\mu} = h\sqrt{M^2 - 1}$$

第二式由 $\sin\mu = 1/M$, $\cos\mu = \sqrt{1-1/M^2}$ 推导 $\tan\mu = 1/\sqrt{M^2-1}$ 代入得。观察者在飞行体正下方时，音爆延迟为 $t_{\text{delay}} = \ell/V = h/(M\,c\,\tan\mu)$ 秒。本工具默认 $M=2$, $c=343$ m/s, $h=1000$ m 时有 $\ell=1732$ m, $t_{\text{delay}}=2.52$ 秒。

实际音爆波形典型呈"N 形"：机首冲击波处压力急升 $+\Delta p$，机体后方膨胀平缓降至 $-\Delta p$，机尾冲击波再升回大气压。$\Delta p$ 依赖机长、升力、飞行高度，F-18（M=1.4, h=10km）约 50 Pa，协和 (M=2, h=18km) 约 100 Pa。

超音速航空器设计认证：FAA、EASA、JCAB 用 Δp 限制规范陆地超音速飞行（美国基本禁止）。新型 SST（NASA X-59、Boom Overture）通过延长机身 30m 以上、分散机首、主翼、机尾冲击波的"低音爆外形"，把 Δp 压到 25 Pa 以下。设计用 CFD（OVERFLOW、Cart3D）配合压力波传播代码（PCBoom、ZEPHYRUS）优化。马赫锥几何是低音爆分析的起点。

大气再入：航天飞机、HTV（白鹳）再入时机体以 M=25 左右进入大气，极锐的马赫锥加上弓形冲击波复合出现。CFD 用 DSMC（直接模拟蒙特卡洛）加化学非平衡 Navier-Stokes，预测表面热流密度（峰值 1MW/m²）。马赫锥理论是这类分析的边界条件基础。

弹丸内外弹道：军用狩猎步枪子弹以 M=2～4 超音速飞行，靠近地面时冲击波呈锥形、发出"裂纸声"。Ernst Mach 的第一次实验正是这个弹丸的影绣照片。现代狙击定位系统（Boomerang、PILAR）通过马赫锥到达延迟差反演发射点，用于市街战。

防空鱼雷：水下超音速基本不可能，但俄罗斯超空泡鱼雷（VA-111 Shkval）从机首生成气泡形成空穴，在水中达到 M=0.07 相当速度（200 km/h）。气液界面行为类似马赫锥理论，均相流模型的分析对象。

最常见的误解是 「音爆只在突破音速时发生一次」。实际上超音速飞行中一直在牵引锥形，地表音爆轨迹（footprint）沿整个飞行路径分布。一条直线飞行会留下宽 80km 左右的长条纹音爆带。1947 年 Chuck Yeager 首次超音速飞行时产生的"音障"概念是指这个——不是一次性的爆炸，而是超音速期间的持续现象。

其次是 「马赫锥与机体形状无关」的误会。点源理论是对的，但实际机体机首、主翼前缘、座舱罩、主翼后缘、机尾各部位产生独立冲击波，地表是这些合成的 N 形波。NASA SonicBAT 试飞（2017 年 F/A-18B）测了地表 25 个点的 Δp，与 CFD 预测偏差在 ±5% 内。马赫锥给出主冲击波位置，波形细节必须用 CFD。

还有 「马赫角依赖飞行高度」的误解。式 sin μ = 1/M 只由局部马赫数决定，高度本身无关。但高度影响音速 c（海平面 c=340 m/s，高度 11km 时 c=295 m/s），相同对地速度 V 在不同高度的马赫数 M = V/c 不同，因此马赫角也不同。本工具用滑块独立调音速 c，可以伪模拟不同高度的音速变化效果。