预设
STP空气 ~68nm
高真空·长λ
高密度·短λ
大分子
默认值为氮气分子（N₂、d ≈ 370 pm、M_g = 28 g/mol）在常温常压下的参数。使用 Boltzmann 常数 k = 1.380649×10⁻²³ J/K、Avogadro 数 N_A = 6.02214076×10²³。
蓝色圆=气体分子（刚球）／黄色圆=观测分子／黄线=碰撞之间的锯齿自由程（每条直线为一个区间）／实测 λ=过去区间的平均长收敛于理论 λ／背景分子数随数密度 n 变化
λ vs 压力 P（对数-对数）
横轴=压力 P [kPa]（0.01～1000、对数）／纵轴=平均自由程 λ [m]（对数）／黄色点=当前 (P, λ)／λ ∝ 1/P 的斜率 −1 直线
气体分子运动论将分子视为刚球，从麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布导出平均速率、碰撞频率和平均自由程。与理想气体状态方程结合，得到以下闭式：
平均自由程（刚球模型，包含相对速度修正 √2）：
$$\lambda = \frac{k\,T}{\sqrt{2}\,\pi\,d^2\,P}$$
麦克斯韦分布的平均速率：
$$\langle v\rangle = \sqrt{\frac{8\,k\,T}{\pi\,m}}$$
碰撞频率与数密度：
$$\nu = \frac{\langle v\rangle}{\lambda},\qquad n = \frac{P}{k\,T}$$
其中 $k = 1.380649\times10^{-23}$ J/K 为 Boltzmann 常数，$d$ 为分子直径 [m]，$P$ 为压力 [Pa]，$T$ 为温度 [K]，$m = M_g \times 10^{-3} / N_A$ 为单分子质量 [kg]，$M_g$ 为分子量 [g/mol]，$N_A = 6.02214076\times10^{23}$ 为 Avogadro 数。
平均自由程模拟器是什么
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高中物理教了"气体分子四面八方飞行"，但分子飞到下一次碰撞要走多远呢？在空气中几毫米吗？
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好问题。在常温常压下，氮气的平均自由程约 67 nm——比可见光波长略短，是毫米的几万分之一。远比直觉短得多。刚球模型给出 λ = kT/(√2 π d² P)，与温度成正比，与压力成反比。在本模拟器中输入 T = 300 K、P = 101.32 kPa、d = 370 pm（氮分子的有效直径）、M_g = 28，看看计算结果。
🙋
要是在高真空下，平均自由程能有多长？半导体工厂的真空腔不到 1 米呀？
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压力滑块调到 0.01 kPa（10 Pa）试试。因为 λ ∝ 1/P，10⁵/10 = 10⁴ 倍，也就是 67 nm × 10⁴ = 0.67 mm。再深入超高真空（10⁻³ Pa），λ 就达到约 6.7 m。此时装置壁比分子离得更近，分子就不再是"气体"而变成"从壁到壁独立飞行的粒子集合"。这就是分子流领域，是半导体工艺和电子显微镜的世界。
🙋
碰撞频率 ν 显示 7 GHz，真的一秒钟碰撞 70 亿次吗？
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完全是真的。ν = ⟨v⟩/λ = 476 m/s ÷ 67 nm ≈ 7×10⁹ Hz。氮分子以秒速 470 m 飞行，但平均自由程只有 67 nm，所以 1 纳秒内会碰撞数次。因此常压气体实际上处于"不断碰撞"的状态，这造就了宏观的粘性、热传导和扩散系数。反过来在高真空中几乎不碰撞，就成了"分子流"，流体力学失效了。
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因为 λ ∝ 1/d²，d 加倍就让 λ 变成 1/4，影响很强。d 是分子间势的定义的"碰撞直径"，从 Lennard-Jones 参数的 σ 推算，或实验上从粘性系数的温度依赖反演得到。代表值：H₂ ≈ 270 pm、N₂ ≈ 370 pm、O₂ ≈ 360 pm、CO₂ ≈ 460 pm、CH₄ ≈ 410 pm。本工具 50～800 pm 的范围基本覆盖主流分子。
常见问题
为什么要在公式中引入 √2？
如果仅考虑被观察分子运动而其他分子静止，碰撞频率就是 ⟨v⟩ × π d² × n，得 λ = 1/(π d² n)。但现实中其他分子也按麦克斯韦分布运动，相对速度的平均值变成 √2 × ⟨v⟩，碰撞频率增加 √2 倍，平均自由程就减少 1/√2 倍。代入理想气体状态方程 P = nkT，最终得到 λ = kT/(√2 π d² P)。历史上麦克斯韦推导出这个 √2 因子，使得气体粘性和热传导的理论值与实验相符。
麦克斯韦分布的平均速率、最可能速率和均方根速率有何区别？
从麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布定义三个代表速度：最可能速率 v_p = √(2kT/m)，平均速率 ⟨v⟩ = √(8kT/(πm))，均方根速率 v_rms = √(3kT/m)，比值为 v_p : ⟨v⟩ : v_rms = 1 : √(4/π) : √(3/2) ≈ 1 : 1.128 : 1.225。本工具显示的是"平均速率"，这是计算碰撞频率所需。在 300 K 氮气中，v_p ≈ 422 m/s、⟨v⟩ ≈ 476 m/s、v_rms ≈ 517 m/s，都大于音速（约 350 m/s）。
实际气体（非理想气体）如何处理？
本工具采用理想气体（P = nkT）和刚球分子（碰撞直径 d 与速度无关）的双重近似。实际气体在两种情况下偏离：一是高压时分子间相互作用不可忽略（需 van der Waals 修正），二是低温时碰撞直径具有温度依赖性（Sutherland 模型：d² ∝ 1/(1 + S/T)）。在常温常压至数个大气压、100～1000 K 范围内，本工具近似精度在几%以内，足以应用于气体工程和空气动力学设计。极端条件（液化点附近、超临界、超高压）需要 PVT 数据或 Enskog 理论。
平均自由程与粘性、热传导有什么关系？
从气体分子运动论可推导粘性系数 η ≈ (1/3) n m ⟨v⟩ λ、热传导率 κ ≈ (1/3) n c_v ⟨v⟩ λ 的近似。有趣的是 n 与 λ 的乘积为 n × (1/(√2 π d² n)) = 1/(√2 π d²)，与压力无关，所以粘性系数不依赖于压力（这是麦克斯韦的著名预言，后被实验验证）。热传导率同样与压力无关。但两者都有 √T 的温度依赖。本工具中固定 T、改变 P，可验证 ⟨v⟩ 不变，从而理解粘性和热传导的温度关系。
现实应用
半导体工艺真空设计： 溅射、CVD、外延生长等半导体工艺在"分子流"区域运行——平均自由程与设备尺寸相当或更大。例如 PVD 溅射腔（直径约 30 cm）为了使 λ < 10 cm，在 0.5～2 Pa（5～20 mTorr）下运行。本工具设定 P = 0.001 kPa（1 Pa）可得 λ ≈ 7 mm，说明从靶到基底的飞程内有适度碰撞的设计条件。电子束刻蚀或 MBE 在更低压下，λ 达米级以上，完全分子流条件。
真空泵选型标准： 真空系统设计中，平均自由程与设备特征尺寸的比（Knudsen 数 Kn = λ/L）决定了泵的选择。Kn < 0.01（粘性流）用油旋转泵或干泵，Kn ≈ 0.1～10（过渡流）用涡轮分子泵，Kn > 10（分子流）用离子泵或钛升华泵。用本工具计算 Kn，就能判断各压力段最高效的泵。
真空隔热（魔法瓶）： 热水瓶内双壁间维持约 10⁻³ Pa 以下真空，平均自由程超过壁间距（数 mm 至 cm），气体热传导几乎为零。本工具设定 P = 10⁻⁶ kPa（10⁻³ Pa）可得 λ ≈ 6.7 m，对 1 cm 壁距 Kn ≫ 1，完全分子流。仅有辐射传热，银镀层降低辐射率，实现最小热损失。
纳米粒子布朗运动和动态光散射（DLS）： DLS 测量纳米粒子粒径时，用扩散系数公式 D = kT/(6π η r) 基于连续体假设（Kn ≪ 1）。当粒径与 λ 接近时，需加 Cunningham 滑移修正系数 C = 1 + Kn(1.257 + 0.4 exp(-1.1/Kn))。本工具的 λ 除以粒径 r 得 Kn，判断何时需修正。这对气溶胶测量和 PM2.5 行为分析至关重要。
常见误区与注意事项
最常见的误解是认为"平均自由程与气体种类无关，一定值" 。实际上 λ ∝ 1/d²，分子直径的 2 次幂反比，H₂（d ≈ 270 pm）与 CO₂（d ≈ 460 pm）在同样条件下相差约 3 倍。本工具中把 d 在 270 pm 和 460 pm 间切换，必须看清 λ 的变化。同样温度依赖 λ ∝ T 也容易遗漏，室温值简单外推到高温（1000 K 以上）会带来 3～4 倍误差。
另一常见误区是"平均自由程长 = 分子运动慢" 。这是颠倒了。实际上 λ、⟨v⟩、ν = ⟨v⟩/λ 是三个独立量。平均速率仅由温度决定（⟨v⟩ ∝ √T），与压力无关。例如常压氮气和 10⁻³ Pa 氮气在同温度下⟨v⟩ 完全相同，差别只在碰撞间隔。本工具中固定 T、改变 P，可验证 ⟨v⟩ 保持不变。
最后，"刚球模型不现实，不能用"的过度怀疑 也是误区。虽然分子有软相互作用，但用等效刚球直径 d 表示碰撞有效截面的近似，在常温常压至中等真空、数个大气压范围内，与粘性、热传导、扩散系数实验值吻合到几%以内。CFD、空气动力学、半导体工艺设计绝大多数靠这个近似。液化点附近、超高压、有化学反应的气体才需要 Lennard-Jones 或 Chapman-Enskog 理论，但本工具给出的是好的起点。