参数设置
气体预设
温度预设
速度
分子量示例：H₂=2、He=4、N₂=28、O₂=32、Ar=40、CO₂=44。观测窗口是 v±Δv/2 范围内的概率集计。
分子运动与速率直方图（mbCanvas）
慢速分子
中速
快速分子
理论 f(v)
实时统计
上：在温度 T 下从 M-B 分布采样的分子边碰撞边运动（颜色=速率）。下：分子速率的实时直方图（绿）收敛到理论 M-B 曲线（蓝）。虚线=v_p／⟨v⟩／v_rms，黄色阴影=观测窗口 [v−Δv/2, v+Δv/2]。
温度／气体比较
同一分子量下的温度依存性。橙=T/2、蓝=当前温度 T（加强）、红=2T。温度升高时分布向右展开，峰值降低。
理论和主要公式
理想气体中分子速率的绝对值遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
速率 $v$ 的概率密度函数（$m$ 为分子质量，$k$ 为玻尔兹曼常数，$T$ 为绝对温度）：
$$f(v) = 4\pi\!\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\!v^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$$
三个代表速度：
$$v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}},\quad \langle v\rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}},\quad v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$$
分子质量与摩尔质量 $M_g$ [g/mol] 的关系（$N_A$ 为阿伏加德罗数）：
$$m = \frac{M_g \times 10^{-3}}{N_A}$$
三个代表速度的比例始终为 $v_p : \langle v\rangle : v_\text{rms} \approx 1 : 1.128 : 1.225，分布对速度呈非对称性（向右长尾）。
麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布模拟器简介
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空气中的分子在室温下以多快的速度飞行？我完全没有直观的认识…
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想象的比实际快得多。室温（300 K）下的氮气分子最概率速度约为 422 m/s。这超过时速 1500 公里，相当于客机速度的两倍。但并非所有分子都以相同速度运动，它们呈概率分布展开。用麦克斯韦-玻尔兹曼分布 $f(v) = 4\pi(m/(2\pi kT))^{3/2}\,v^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$ 来表示。这个模拟器就是绘制这个公式本身。
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为什么同时有"最概率速度"、"平均速率"和"RMS 速度"三个？它们有什么区别？
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虽然都来自同一分布，但定义不同。最概率速度 v_p 是峰值位置，平均速率 ⟨v⟩ 是简单的算术平均，RMS 速度 v_rms 是均方根。比例恒为 $1 : 1.128 : 1.225$，与温度和分子无关。在能量和压力的讨论中使用 (1/2)mv²，所以用 v_rms²；在平均自由程的讨论中用 ⟨v⟩；在分布特征量时用 v_p。根据用途选用。
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按下"扫描温度"按钮，我看到峰值一直向右移动！
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对。v_p 与 √T 成正比增加。需要注意的是，峰值向右移动的同时"变矮"了。这是因为分布的积分（全概率）始终为 1，面积守恒导致分布形状变为"宽、矮、右移"。看下面的比较图，T/2 的橙色、T 的蓝色、2T 的红色三条曲线，山型各不相同，你会清晰地看到这个特点。
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"观测窗口内概率"和"累积概率"卡片表示什么？
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是随机抽取一个分子时，"速率恰好在该范围内的概率"。观测窗口内概率是 v±Δv/2 范围，即黄色阴影的面积，约显示为 9%。累积概率是比 v 更快的分子比例，即右侧全部面积，在默认 N₂ 室温 v=500 m/s 时约为 42%。"比平均速率稍低的 500 m/s"仍有 4 成分子超过这个速度，这就是该分布的特点所在。
常见问题
该分布要求 (1) 经典力学（量子效应可忽略）、(2) 弱相互作用、(3) 热平衡、(4) 大量分子的气体。低温下量子效应显著的液氦（遵循费米-狄拉克或玻色-爱因斯坦分布）、高密度分子间势能强的液体或临界点附近、衝击波直后或激光激励直后等非热平衡系统不适用。实用范围是"常温到数千 K 的稀薄气体"。
速度分量 v=(vx,vy,vz) 各自独立遵循正态分布（均值 0、方差 kT/m），在 3 维中原点为最高概率密度"峰"。而速率 |v|=v 则乘以速度空间球壳面积 4πv²，原点处为 0，在 v_p = √(2kT/m) 处达到峰值，呈非对称分布。本模拟器描绘的是"速率"分布 f(v)，相当于动量空间球壳积分结果。
气体压力由分子动量输运导出，$P = (1/3)\rho \langle v^2\rangle = (1/3)\rho v_\text{rms}^2$。单分子平均平移动能为 $\langle E\rangle = (1/2)m v_\text{rms}^2 = (3/2)kT$，是温度定义本身。这是能量等分配原理的特例，每自由度获得 $(1/2)kT$ 能量，是热力学基本法则的出发点。
可以。用脱逃速度 v_esc 评估累积概率 P(V>v_esc)，可估算 Jeans 散逸。地球脱逃速度约 11.2 km/s，但上层大气温度约 1000 K 时，氢气 (M=2) 的 v_rms 约 3.5 km/s，分布远尾的概率成为关键因素。月球和火星重力弱、脱逃速度低，轻分子的尾部大量逃逸，致使几乎无大气。这种"尾部概率"是行星科学的核心议题。
实际应用
气体输运现象（扩散、粘性、热传导）：气体的扩散系数、粘性系数、热传导率由分子平均速率 ⟨v⟩ 和平均自由程 λ 决定，关系为 $D \sim \lambda \langle v\rangle / 3$。麦克斯韦-玻尔兹曼分布可得 ⟨v⟩，由温度、压力、分子量可预测真空装置排气时间、断热材料内气体热传导、半导体工艺气体扩散时间等，精度可达数量级。
反应速率论和阿伦尼乌斯方程：化学反应速率由超过活化能 $E_a$ 的分子比例决定。这对应麦克斯韦-玻尔兹曼分布高能尾部的概率 $\sim e^{-E_a/(kT)}$，是著名阿伦尼乌斯式 $k = A\,e^{-E_a/(kT)}$ 的物理基础。模拟器显示温度翻倍时尾部大幅上升，使人直观理解反应速率指数级加快的原因。
真空、薄膜、半导体工艺：低压真空室内，气体分子撞墙频率由平均速率决定，结合附着概率确定成膜速率。CVD/PVD 装置和分子束外延 (MBE) 的设计中，需从各原料气的分子量、温度计算 RMS 速度、流量、克努森数 (Kn)，优化反应器形状。本公式是半导体工艺的日常基础。
行星科学和大气逃散：太阳系行星和卫星是否保持大气取决于上层大气温度下的 RMS 速度是否超过脱逃速度。地球重力强、氦以外分子基本无逃，月球和水星重力弱、轻分子持续逃散、几无大气。系外行星大气成分推测中，需从观测温度和推算脱逃速度，计算 MB 分布尾部，评估长期大气保留性。
常见误解和注意事项
最常见误解是"所有分子以相同速度飞行"的错觉。实际上以最概率速度为中心呈宽分布，从峰值 1/10 以下的慢分子到 3 倍以上的高速分子都常年存在。试试模拟器中默认 N₂ 室温，将观测 v 调至 1000 m/s（v_p 的 2.4 倍）。累积概率（P(V>v)）仍有数%，证明绝非"全部以 v_p 飞行"。
次常见误解是"混淆最概率速度、平均速率、RMS 速度"。教科书和题目中"分子速度"含义因文脉而异：v_p、⟨v⟩、v_rms 各有所指。压力公式 $P = (1/3)\rho v_\text{rms}^2$ 和运动能量 $(3/2)kT$ 用 v_rms；平均自由程和碰撞频率用 ⟨v⟩；分布特征用 v_p。比例虽恒为 1:1.128:1.225，但精确分析需区分。
最后是"麦克斯韦-玻尔兹曼分布处处成立"的误认。极低温（量子效应），高密度（分子间作用强），衝击波、激光加热直后（非热平衡），放电等离子体（电子与重粒子温度异）等条件下，分布函数严重畸变。需要 CFD 或 DSMC（直接模拟蒙特卡洛）分析，或玻尔兹曼方程数值求解。本模拟器在"常温至数千 K、稀薄、热平衡气体"这最纯净的前提下绘制理论曲线。