摩尔质量示例：H₂=2、He=4、N₂=28、O₂=32、Ar=40、CO₂=44。窗口在 v±Δv/2 范围内累计概率。
横轴＝速率 v (m/s)／纵轴＝概率密度 f(v)／蓝虚线＝v_p，绿虚线＝平均速率，橙虚线＝v_rms／黄点＝观测 v，阴影＝窗口 [v−Δv/2, v+Δv/2]
同一摩尔质量下三种温度的对比。橙＝T/2，蓝＝当前 T（强调），红＝2T。温度越高曲线越向右扩展、峰值越低
理想气体中分子速率的绝对值服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
速率 $v$ 的概率密度函数（$m$ 为分子质量，$k$ 为玻尔兹曼常数，$T$ 为绝对温度）：
$$f(v) = 4\pi\!\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\!v^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$$
三个代表速率：
$$v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}},\quad \langle v\rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}},\quad v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$$
分子质量与摩尔质量 $M_g$ [g/mol] 的关系（$N_A$ 为阿伏伽德罗常数）：
$$m = \frac{M_g \times 10^{-3}}{N_A}$$
三个代表速率恒满足 $v_p : \langle v\rangle : v_\text{rms} \approx 1 : 1.128 : 1.225$，分布关于速率不对称（右尾较长）。
麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布模拟器是什么
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室温下空气分子大概以多快的速度飞来飞去？我完全没有概念。
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比想象的要快得多。室温 (300 K) 下氮气分子的最概然速率约为 422 m/s，相当于 1500 km/h，几乎是民航客机的两倍。但分子并非全部以同一速度运动，而是以概率分布展开。这正是麦克斯韦-玻尔兹曼分布 $f(v) = 4\pi(m/(2\pi kT))^{3/2}\,v^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$，上方的模拟器正是这条曲线。
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「最概然速率」「平均速率」「均方根速率」三个有什么不同？
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三者都是从同一分布导出的代表速率，但定义不同。v_p 是峰值位置；⟨v⟩ 是算术平均；v_rms 是均方根。比例恒为 $1 : 1.128 : 1.225$，与温度和分子种类无关。讨论压强或动能时使用 v_rms（因为出现 (1/2)mv²），讨论平均自由程或碰撞频率时使用 ⟨v⟩，根据用途选择。
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是的，v_p 按 $\sqrt{T}$ 增长。注意，峰值右移的同时还会变低——总概率（积分）必须保持为 1，所以曲线在面积守恒下变得「更宽、更低、更右」。下方比较图中，橙色 T/2、蓝色 T（强调）、红色 2T 三条曲线形状各不相同，可以一目了然地看到温度变化的影响。
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「窗口内概率」和「累积概率」两张卡片代表什么？
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从分子中随机抽取一个时，「速率落在某区间内的概率」。窗口概率是 v±Δv/2 范围（黄色阴影面积），默认显示约 9%。累积概率是「速率超过 v 的分子比例」（右侧整体面积），默认 N₂ 室温 v=500 m/s 时约 42%。这意味着即使是「略高于平均速率的 500 m/s」，仍有 4 成分子超过它——这就是该分布右尾长的特征。
常见问题
麦克斯韦-玻尔兹曼分布在什么情况下不成立？
该分布适用于 (1) 经典（量子效应可忽略）的、(2) 弱相互作用的、(3) 处于热平衡的、(4) 多分子气体。低温下量子效应显著的液氦（应使用费米-狄拉克或玻色-爱因斯坦分布）、高密度下分子间势能显著的液体或临界点附近、激波后或激光加热瞬间等远离热平衡的体系，本式都失效。实用范围是「常温到数千 K 的稀薄气体」。
速度分布与速率分布有何区别？
速度向量 v=(vx,vy,vz) 的每个分量独立服从均值 0、方差 kT/m 的正态分布，三维速度空间中原点是概率密度最高的「峰」。而速率 |v|=v 的分布要乘以速度空间球面面积 4πv²，所以原点处为 0，峰位于 v_p = √(2kT/m)，呈现非对称形状。本模拟器绘制的是速率分布 f(v)，对应在动量空间球壳上积分后的结果。
均方根速率与气体的压强、能量有何关系？
气体压强源自分子动量传递，可写成 $P = (1/3)\rho \langle v^2\rangle = (1/3)\rho v_\text{rms}^2$。每个分子的平均平动动能为 $\langle E\rangle = (1/2)m v_\text{rms}^2 = (3/2)kT$，这正是温度的定义。它是能量均分定理的特例：每个自由度分配 $(1/2)kT$ 的能量，是热力学的基本规律之一。
能否用本模拟器估算大气逃逸（Jeans 逃逸）？
可以。在逃逸速度 v_esc 处计算累积概率 P(V>v_esc) 即可估计 Jeans 逃逸。地球的逃逸速度约 11.2 km/s，而高层大气温度（约 1000 K）下氢 (M=2) 的 v_rms 仅约 3.5 km/s，因此关键是分布远尾的概率。月球与火星引力弱、逃逸速度低，轻分子源源不断地逃逸，几乎无法保留大气，这是行星科学讨论的核心。
实际应用
气体输运现象（扩散、粘性、热传导）： 气体的扩散系数、粘性系数与热传导率可由分子平均速率 ⟨v⟩ 与平均自由程 λ 估计为 $D \sim \lambda \langle v\rangle / 3$。从麦克斯韦-玻尔兹曼分布得到 ⟨v⟩，结合温度、压强与摩尔质量，便可在数量级精度上预测真空装置抽气时间、隔热材料中的气体导热、半导体工艺气体扩散时间等。
反应动力学与阿伦尼乌斯方程： 化学反应速率取决于动能超过活化能 $E_a$ 的分子比例，正是麦克斯韦-玻尔兹曼分布高能尾部的概率 $\sim e^{-E_a/(kT)}$，这是著名的阿伦尼乌斯方程 $k = A\,e^{-E_a/(kT)}$ 的物理基础。在模拟器中将温度提高一倍即可看到尾部显著抬升，直观说明「反应速率随温度指数增加」的原因。
真空、薄膜与半导体工艺： 低压真空腔体内，气体分子撞击壁面的频率由平均速率决定，结合粘附概率即可得到镀膜速率。CVD/PVD 装置和分子束外延 (MBE) 系统的设计中，根据各原料气体的摩尔质量与温度计算 v_rms、流量、克努森数 (Kn) 来优化反应器形状。本式是半导体工艺设计的日常工具。
行星科学与大气逃逸： 太阳系中行星或卫星能否保留大气，主要取决于上层大气温度下的 v_rms 是否超过逃逸速度。地球引力强，除氦外几乎都能保留；月球与水星引力弱，轻分子相继逃逸，几乎没有大气。系外行星大气成分推断中，也通过观测温度与估计逃逸速度，对麦克斯韦-玻尔兹曼分布的尾部进行积分，评估大气长期保留情况。
常见误区与注意事项
最常见的误解是认为「所有分子以相同速度运动」 。实际分布很宽：始终存在比峰值速率慢十倍的分子，也存在快三倍以上的分子。试着将默认的 N₂/300 K 设定下，把观测速率 v 拨到 1000 m/s（约 2.4 v_p），你会看到累积概率 P(V>v) 仍有数个百分点。所以分子绝不是全部以 v_p 运动。
第二个常见错误是把 v_p、⟨v⟩、v_rms 混为一谈 。即使教科书简单写「分子的速率」，具体含义在不同语境下不同：压强公式 $P = (1/3)\rho v_\text{rms}^2$ 与动能 $(3/2)kT$ 必须用 v_rms；平均自由程与碰撞频率讨论用 ⟨v⟩；分布特征量是 v_p。比例恒为 1:1.128:1.225，但若追求更高精度，应避免混淆。
最后，不要认为麦克斯韦-玻尔兹曼分布始终成立 。在极低温（量子效应显著）、高密度（分子间相互作用强）、激波后或激光快速加热（未达热平衡）、辉光放电与太阳风（电子与重粒子温度不同的非平衡）等条件下，分布函数自身会发生显著变形，需要 CFD、DSMC（直接模拟蒙特卡洛）或玻尔兹曼方程的数值解。本模拟器假定最干净的「常温到数千 K 的稀薄热平衡气体」前提下绘制理论曲线。