参数设置
典型费米能级：Cu E_F ≈ 7.0 eV、Ag 5.5 eV、Au 5.5 eV、Al 11.7 eV。半导体本征费米能级位于禁带中央附近。
费米-狄拉克分布 f(E)
横轴＝能量 E (eV)／纵轴＝占据概率 f(E)／蓝虚线＝E_F (f=0.5)、绿色带＝E_F±2kT 过渡区／黄竖线＝观测 E 与 E+ΔE
温度比较（T/2、T、2T）
同一 E_F 下三种温度的比较。橙＝T/2、蓝＝当前 T（强调）、红＝2T。温度升高使 E_F 附近的过渡带变宽
理论与主要公式
电子（费米子）在热平衡中占据能量为 $E$ 的态的概率服从费米-狄拉克分布。
占据概率（$E_F$ 为费米能级，$k$ 为玻尔兹曼常数，$T$ 为绝对温度）：
$$f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\left[\dfrac{E - E_F}{kT}\right]}$$
热能与典型值：
$$kT = 8.617\times 10^{-5}\,T\ \text{[eV]},\quad kT_{300\text{K}} \approx 25.85\ \text{meV}$$
当 $E - E_F \gg kT$ 时近似为玻尔兹曼分布：
$$f(E) \approx \exp\!\left[-\dfrac{E - E_F}{kT}\right]$$
在 $E = E_F$ 处不论温度均有 $f = 0.5$。$T \to 0$ 时退化为阶跃函数（$E < E_F$ 取 1，$E > E_F$ 取 0）。
费米-狄拉克分布模拟器是什么
🙋
「费米-狄拉克分布」这个名字我听过，到底描述什么？
🎓
它告诉你像电子这种「费米子」在温度 T 下占据能量为 E 的量子态的概率。形式是 $f(E) = 1/(1+\exp((E-E_F)/kT))$，其中 E_F 是费米能级，即占据概率恰好等于 0.5 的能量。1926 年 Fermi 与 Dirac 独立导出。从金属导电、半导体载流子统计，到白矮星的支撑压，凡是涉及量子多体的问题都会用到它。
🙋
默认结果显示 E_F=5.00 eV、E=5.10 eV、T=300 K 时 f(E)=0.0205。仅仅高出 0.10 eV 就低于 5%？
🎓
这正是费米统计的特征。室温下 kT 仅 25.85 meV，100 meV 大约相当于 3.87 倍 kT。指数 exp(3.87) ≈ 47.85 几乎完全主导分母，于是占据概率为 1/48.85 ≈ 0.0205。再上 0.05 eV (E+ΔE = 5.15 eV) 时 exp(5.80) ≈ 331，占据概率骤降到 0.00301，比 f(E)/f(E+ΔE) = 6.80 倍。在费米能级附近，几个 kT 的偏移就能让占据概率改变一个数量级。
🙋
按下「温度扫描」后，E_F 处的曲线变得越来越模糊，过渡带变宽了！
🎓
没错。T → 0 时分布是完全的阶跃函数，E_F 之下全部填满，之上完全为空。温度上升后在 E_F 周围出现宽度约 4kT 的过渡带，电子被热激发到 E_F 上方的态。比较图中橙、蓝、红三条曲线（T/2、T、2T）可清晰看到过渡带逐步加宽。这也是半导体载流子浓度对温度敏感的根源。
🙋
FAQ 中提到「高能侧近似为玻尔兹曼分布」，从哪里开始这个近似就足够准确？
🎓
经验上，当 $E - E_F$ 超过约 3 kT（室温下约 80 meV）时，$f(E) \approx \exp(-(E-E_F)/kT)$ 的精度可控制在数 % 以内。这正是非简并半导体公式 $n = N_c \exp(-(E_c - E_F)/kT)$ 的依据。在 E_F 附近近似完全失效，必须使用完整的费米-狄拉克积分；这就是简并半导体与金属精确计算需要严格区分的原因。
常见问题
从热力学看，费米能级即「向系统加入一个电子所需的化学势」μ，亦即占据概率恰为 0.5 的能量。在金属中它是 T = 0 时的最高占据态。在半导体中，它随掺杂、温度和偏压在禁带中移动，决定阈值电压、载流子浓度、耗尽层宽度等器件特性。设计电子器件本质上就是控制费米能级的位置。
经典统计假设粒子可区分且每个态可容纳任意多粒子。费米-狄拉克受泡利不相容原理约束：每个态最多容纳一个费米子（含自旋则两个）。因此 E ≪ E_F 时 f(E) → 1 饱和，而 E ≫ E_F 时与玻尔兹曼一致。低温高密度时量子统计占主导，可解释金属电子比热的线性温度依赖、白矮星支撑压、量子点中库仑阻塞阶梯等现象。
导带电子浓度由态密度 g(E) 与 f(E) 的乘积从带边积分得到：$n = \int g_c(E) f(E)\,dE$。当 E_c − E_F > 3 kT（非简并区）时简化为 $n \approx N_c \exp(-(E_c - E_F)/kT)$，N_c 为有效态密度。空穴浓度同理 $p \approx N_v \exp(-(E_F - E_v)/kT)$。本模拟器仅关注 f(E)，是这些载流子浓度计算的基本要素。
过渡带（f 由 1 降至 0 的区域）宽度约为 4 kT。室温 (300 K) 约 0.1 eV、77 K（液氮）约 26 meV、4.2 K（液氦）仅 1.4 meV，非常陡峭。这就是低温物理可观测到「锐利费米面」的原因，也是扫描隧道谱 (STS) 与角分辨光电子谱 (ARPES) 高分辨率测量必须在低温下进行的物理依据。
实际应用
半导体器件设计：MOSFET、双极晶体管、二极管、LED、太阳能电池等几乎所有半导体器件的载流子浓度计算都以费米-狄拉克分布为出发点。SPICE 等电路模拟器借助 E_F 位置确定漂移扩散方程的边界条件，预测阈值电压与著名的 60 mV/dec 亚阈值斜率理论极限。在本模拟器中向导带边滑动 E_F，可立刻看到占据概率剧变的区域。
金属电子比热与电导：金属电子比热并非经典的 (3/2)R，而是线性 $C_e = \gamma T$，索末菲系数 γ 与 E_F 处的态密度成正比。这是因为只有 E_F 附近 kT 范围内的电子可被热激发。同样的机制使金属室温电阻率对温度依赖较弱（声子散射占主导）。这些都是费米-狄拉克统计的直接结果。
STM 与 ARPES 谱学：STS 中隧道电流形式为 $I \propto \int [f(E) - f(E + eV)] \rho(E) T(E)\,dE$，费米-狄拉克差直接决定测量的温度限分辨率。ARPES 测量费米面与能带结构需要低温，因为 kT 会展宽谱函数 — 此处展示的约 4 kT 过渡带正是该实验约束的直观体现。
白矮星与中子星：白矮星依靠电子简并压抵抗引力坍缩，本质上是 T = 0 费米-狄拉克分布在泡利不相容原理下「强行堆叠」产生的压力。Chandrasekhar 极限质量（~1.4 M_⊙）也由此统计推得；中子星中由中子简并压扮演同样角色。从白矮星天体物理到室温半导体器件设计能用同一统计公式描述，正是量子统计的优美之处。
常见误解与注意事项
最常见的误解是把费米能级等同于「最高占据态」。该定义只在绝对零度成立。有限温度下，费米能级是 f = 0.5 处的能量。半导体中 E_F 位于禁带内（那里没有电子态），但仍可通过玻尔兹曼因子 $\exp(-(E-E_F)/kT)$ 控制载流子浓度。「那里没有电子，化学势却被良好定义」是概念上微妙的部分。
第二个陷阱是认为玻尔兹曼近似总是成立。在费米能级附近（简并半导体与金属内部），$f(E)$ 与 $\exp(-(E-E_F)/kT)$ 显著不一致，必须使用完整的费米-狄拉克分布。在本模拟器中将 E 移至 E_F 附近并与指数曲线对比，能直观看到近似失效的位置。在设计公式中使用玻尔兹曼近似时，请务必先确认 $E - E_F > 3 kT$。
最后请勿把 $f(E)$ 当作粒子数。$f(E)$ 是单一量子态被占据的概率，并非粒子数密度。要得到实际载流子浓度，必须乘以态密度 $g(E)$ 后积分：$n = \int g(E) f(E)\,dE$。$g(E)$ 的形式与材料、维度（体材料、量子阱、量子线、量子点）密切相关。本模拟器孤立地展示 $f(E)$ 的行为，实器件建模时务必与 $g(E)$ 配合使用。