费米能级典型值：铜 E_F ≈ 7.0 eV、银 5.5 eV、金 5.5 eV、铝 11.7 eV。半导体本征费米能级位于禁带中央附近。
横轴=能量 E (eV)／纵轴=占有概率 f(E)／蓝色虚线=E_F (f=0.5)、绿色虚线=E_F±2kT 跃迁带／黄色竖线=观测点 E 和 E+ΔE
在相同 E_F 下的温度依赖性。橙色=T/2、蓝色=当前 T（加粗）、红色=2T。温度升高时 E_F 附近的跃迁带扩展
电子等费米子在热平衡下占据能量 $E$ 的态的概率遵循费米-狄拉克分布。
占有概率（$E_F$ 为费米能级，$k$ 为玻尔兹曼常数，$T$ 为绝对温度）：
$$f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\left[\dfrac{E - E_F}{kT}\right]}$$
热能量及典型值：
$$kT = 8.617\times 10^{-5}\,T\ \text{[eV]},\quad kT_{300\text{K}} \approx 25.85\ \text{meV}$$
高能量侧 $E - E_F \gg kT$ 时近似为玻尔兹曼分布：
$$f(E) \approx \exp\!\left[-\dfrac{E - E_F}{kT}\right]$$
在 $E = E_F$ 处 f = 0.5，与温度无关。当 $T \to 0$ 时分布变为阶跃函数（$E \lt E_F$ 为 1，$E \gt E_F$ 为 0）。
费米-狄拉克分布模拟器说明
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我听说过「费米-狄拉克分布」这个名字，但它到底表示什么？
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这是一个描述电子等「费米子」在温度 T 下占据某个能量 E 的状态的概率的公式。形式是 $f(E) = 1/(1+\exp((E-E_F)/kT))$，其中 E_F 是费米能级，即「占有概率恰好为 0.5 的能量」。1926 年由费米和狄拉克独立推导，广泛应用于金属电导、半导体载流子统计、白矮星支持压等各类量子多体系统。
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默认结果中 E=5.10 eV、E_F=5.00 eV、T=300 K 时 f(E)=0.0205。仅相差 0.10 eV 却占有率不到 5%，为什么？
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这正是费米统计的特点。室温时 kT 仅为 25.85 meV，而 E−E_F = 100 meV 约是它的 3.87 倍。指数项 exp(3.87) ≈ 47.85 几乎直接出现在分母，所以占有概率约为 1/48.85 ≈ 0.0205。再往上 0.05 eV（E+ΔE = 5.15 eV），exp(5.80) ≈ 331，占有率急剧下降到 0.00301。这是费米准位附近只需移动数个 kT 就能让占有率改变一个数量级的原因，理解这一点对掌握量子统计很关键。
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我按下「温度扫描」后，在 E_F 周围弯曲的「跃迁带」逐渐扩展了！
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完全正确。T → 0 时分布是完美的阶跃函数，E_F 下方必然被占据，上方必然为空。温度升高时，E_F 周围出现宽度约 ~4kT 的过渡区，高于 E_F 的状态开始被热激发占据。下面的对比图显示 T/2、T、2T 三条曲线，可清晰看到橙色 < 蓝色 < 红色，跃迁带的宽度确实与温度成正比扩展。这正是半导体载流子浓度随温度变化的根本原因。
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FAQ 中提到「接近玻尔兹曼分布」，具体在哪个区域成立？
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从经验上看，当 E−E_F 超过 3kT（室温约 80 meV）时，$f(E) ≈ \exp(−(E−E_F)/kT)$ 精度在 5% 以内。这就是半导体导带载流子浓度公式 $n = N_c\,\exp(-(E_c-E_F)/kT)$ 中的古典近似。但在 E_F 附近，这个近似完全失效，需要完整的费米-狄拉克积分。缩并半导体和金属的精确计算都必须在这两个区域区分对待，这是设计工作的基础。
常见问题
费米能级 E_F 物理上意味着什么？
从热力学角度，费米能级是添加一个电子所需的化学势，对应平衡热力学中的 μ。占有概率恰好为 0.5 的能量就是费米能级。在金属中，它代表绝对零度下传导电子的最高占据能量（费米能量）。在半导体中，费米能级位于禁带内，会因掺杂、温度和偏压而移动，直接决定了器件特性（阈值电压、载流子浓度、空乏层宽度等）。电子器件设计的本质就是「控制费米能级位置」。
与经典分布（麦克斯韦-玻尔兹曼分布）有什么区别？
经典分布假设粒子可区别且一个状态可容纳任意多个粒子，而费米-狄拉克分布受泡利不相容原理约束，每个状态最多只能被一个电子占据（考虑自旋则为两个）。因此在 E ≪ E_F 时 f(E) ≈ 1（全部堆积），而经典分布无此上限；在 E ≫ E_F 时两者都趋近 exp(−(E−E_F)/kT)。低温高密度电子系统中量子统计（费米简并）占主导，导致金属电子比热的 T 线性依赖、白矮星支持压、量子点库仑阶梯等现象都源于此。
半导体载流子浓度怎样计算？
导带电子浓度是态密度 g(E) 与占有概率 f(E) 乘积在导带范围内的积分：$n = \int g_c(E) f(E)\,dE$。在非简并区（E_c − E_F > 3kT），可简化为 $n ≈ N_c\,\exp(-(E_c-E_F)/kT)$（N_c 为有效态密度）。同理正孔浓度为 $p ≈ N_v\,\exp(-(E_F-E_v)/kT)$。本模拟器展示的是单个 f(E) 的行为，是进行器件计算的起点。
跃迁带的宽度具体有多大？
跃迁带（f 从 1 降至 0）的典型宽度约为 4kT。室温 300 K 时 kT ≈ 25.85 meV，跃迁带宽约 0.1 eV；77 K（液氮温度）约 26 meV；4.2 K（液氦温度）仅 1.4 meV。低温下「费米面的锐利」才能被观测到的物理原因就在这里，扫描隧道分光 (STS) 和角分辨光电子能谱 (ARPES) 之所以需要超低温运行，就是为了获得足够的能量分辨率。
实际应用
半导体器件设计： MOSFET、双极管、二极管、LED、太阳能电池等几乎所有半导体器件的载流子浓度计算都以费米-狄拉克分布为起点。SPICE 等电路模拟器通过漂移扩散方程的边界条件引入 E_F 位置，预测器件特性（如亚阈值摆幅 60 mV/dec 的理论极限）。在本模拟器中将费米能级拖至导带下端，可直观看到占有率如何剧变。
金属电子比热与热导率： 金属的电子比热不是经典的 (3/2)R，而是 γT（线性于温度），其中索莫菲尔特系数 γ 与费米能级处的态密度成正比。这是因为在费米简并状态下，只有 kT 范围内的少数电子能参与热激发。同样原因，金属电导率在室温下对温度的依赖较弱，声子散射才是主导——这一切都源于费米-狄拉克统计。
STM/ARPES 分光测量： 走查隧道分光 (STS) 的隧道电流与 $I \propto \int [f(E)-f(E+eV)]\,\rho(E)\,T(E)\,dE$ 成正比，费米函数差决定了能量分辨率。ARPES 测量费米面和能带结构时必须使用低温（典型 4.2 K 以下），原因就是 kT 限制了分辨能力。本模拟器中观察 4kT 宽的跃迁带，就能直观理解这些实验的物理约束。
白矮星与中子星的支持压： 白矮星通过电子简并压对抗引力坍缩。这个压力来自于 T → 0 时费米分布变为阶跃函数，泡利不相容原理强制电子「堆积」到极高的能量。钱德拉塞卡极限质量 ~1.4 M_⊙ 也由此推导。中子星中中子的简并压发挥相同角色。这体现了量子统计从室温芯片设计到宇宙极端物体的统一性。
常见误区与注意事项
最普遍的误解是「费米能级=最高占据能级」 ，这只在绝对零度成立。有限温度应理解为「占有概率为 0.5 的能量」。在半导体中，费米能级在禁带（能隙）内，那里根本没有电子态，但通过玻尔兹曼因子 exp(−(E−E_F)/kT)，它仍然支配导带和价带的载流子浓度。「电子不在那里，但化学势在那里」——这个微妙之处常被忽视。
次常见的误区是「玻尔兹曼近似总是适用」 。在费米能级附近（简并半导体、金属内部），f(E) 与 exp(−(E−E_F)/kT) 相差很大，特别是重掺杂半导体（n > 10^19 cm^-3）和金属必须用完整的简并统计。本模拟器将 E 拖到 E_F 周围，对比占有率与指数函数，能直观看出近似何时破效。应用 Boltzmann 近似时务必验证 E−E_F > 3kT 的条件。
还有一个误区是「直接把 f(E) 当作粒子数」 。f(E) 是「单个量子态被占据的概率」，不是粒子数密度。真正的载流子浓度需要与态密度 g(E) 相乘再积分：$n = \int g(E) f(E)\,dE$。而 g(E) 因材料和维度（本体、量子阱、量子线、量子点）差异极大。本模拟器孤立地展示 f(E) 的特性，实际器件计算时必须与 g(E) 配合，这是分工意识。