参数设置
假设完全气体、绝热、一维定常流动。仅当 M_1n = M_1·sin(β) \gt 1 时激波才有物理意义，否则 stat 值显示为 `—`。
楔体周围的斜激波
下方＝水平流入的上游（冷色，箭头长＝高速）／红线＝激波（角度 β）／沿楔面偏转 θ 的下游（暖色，箭头短）
θ-β 曲线（多个 M_1）
横轴＝流动偏转角 θ／纵轴＝激波角 β／下分支＝弱解，上分支＝强解／黄点＝当前 (θ, β)
理论与主要公式
斜激波是上游马赫数 M_1 的气流穿过以激波角 β 倾斜布置的薄不连续面时被偏转角度 θ 的现象。三量之间的关系称为 θ-β-M 关系。
θ-β-M 关系（由 M_1 与 β 显式给出 θ）：
$$\tan\theta = \frac{2\cot\beta\,(M_1^2\sin^2\beta - 1)}{M_1^2(\gamma + \cos 2\beta) + 2}$$
激波法向分量 M_1n 与下游法向分量 M_2n（将垂直激波关系式应用于 M_1n）：
$$M_{1n} = M_1\sin\beta, \qquad M_{2n}^2 = \frac{1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_{1n}^2}{\gamma M_{1n}^2 - \tfrac{\gamma-1}{2}}$$
下游马赫数与压力比（M_1n 处与垂直激波具有相同形式）：
$$M_2 = \frac{M_{2n}}{\sin(\beta - \theta)}, \qquad \frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma+1}\bigl(M_{1n}^2 - 1\bigr)$$
仅当 M_1n \gt 1 时激波才有物理意义。同一 θ 对应两个 β：较小者为弱解，较大者为强解。
什么是斜激波模拟器
🙋
超音速飞机机翼照片中，常常能看到几道笔直的斜线，那就是斜激波吗？
🎓
没错。垂直激波是与流动方向垂直的不连续面，斜激波则是气流碰到楔体或锥体时以激波角 β 倾斜布置的薄面。气流穿过斜激波后偏转 θ，沿楔面流走。本模拟器默认条件（M_1=3, β=32°, γ=1.4）下，流动偏转角 θ 约为 14.77°，下游马赫数 M_2 = 2.27。
🙋
咦，下游居然还是超音速？老师讲过激波后必为亚音速啊。
🎓
问得很好。斜激波只对法向分量 M_1n = M_1·sin(β) 起作用，切向分量直接穿过保持不变。所以默认条件下 M_1n=1.59 起到垂直激波作用，使法向分量 M_2n 降到 0.67，但因为切向分量很大，整体 M_2 仍保持在 2.27 的超音速水平。
🙋
右边图中，每条 M_1 的曲线都鼓出去再分上下两支，那是什么含义？
🎓
那就是弱解与强解的分支结构。同一个 θ 与 M_1 对应两个 β：下分支为弱解（β 小），上分支为强解（β 大）。实际楔体绕流几乎总是选弱解。曲线最右端的顶点对应 θ_max；楔角超过这个值时激波就会脱离楔体。提高 β，黄色点会从下分支跳到上分支，可以直观看到这种切换。
🙋
把 β 调到 35° 以下，下游马赫数突然变得很大；调到很大又会变小，这是为什么？
🎓
这是斜激波的本质。β 越小（激波越接近水平），M_1n 越小，激波越弱，下游马赫与压力的提升都很小。反之 β 趋近 90° 时几乎等于垂直激波（M_1n = M_1），激波最强，M_2 大幅下降。超音速进气道设计的核心原则正是用多道弱斜激波分级减速，把总压损失降到最低。
常见问题
当 β 小于 arcsin(1/M_1) 时，M_1n = M_1·sin(β) 会跌破 1，此时激波法向分量进入亚音速，激波在物理上无法成立。该极限 β = arcsin(1/M_1) 被称为马赫角，对应于一个无穷小压力扰动（马赫波）的传播方向。模拟器对 M_1n ≤ 1 的 β 会把所有 stat 值显示为 `—`，并以灰色虚线代替红色激波线。
在 θ-β-M 关系中令 d(tan θ)/dβ = 0 可解析地求出 θ_max。γ = 1.4 时，M_1 = 2 给出 θ_max ≈ 22.97°，M_1 = 3 给出约 34.07°，M_1 = 5 给出约 41.12°，M_1 → ∞ 渐近于约 45.58°。模拟器右侧 θ-β 曲线上每条曲线最右端的顶点即对应该 M_1 的 θ_max，并将曲线分为弱解（下分支）与强解（上分支）。
θ_max 之上不存在附体的斜激波解，激波从楔体前方脱开形成弯曲的弓形激波，称为脱体激波。沿楔体中心线，它局部表现为垂直激波，其驻点压力与温度极高。再入舱、超音速钝头体几乎都由此种脱体弓形激波主导。
在外部绕流（楔体、锥体等开放流动）中，仅由上游边界条件即可确定流场，几乎总是选弱解。强解出现在扩压器等下游背压较高、需将流动减到亚音速的场景。边界层效应或三维修正可能引入少量强解成分，但设计中默认采用弱解。本模拟器允许直接指定 β，因此可以在弱解与强解之间切换比较。
实际应用
多道激波超音速进气道：SR-71、协和号、F-15 等超音速飞机的进气道采用多道斜激波分级减速、最后用一道弱垂直激波落到亚音速的设计。相比单道垂直激波减速的皮托式进气道，总压损失大幅降低、发动机效率显著提升。θ-β-M 关系是确定各级斜板（楔角）与激波角的核心设计工具。
火箭与战机喷流中的激波钻石：火箭与战机加力燃烧出口常见的"激波钻石（马赫盘）"，是出口压力与外界压力不匹配时产生的斜激波与膨胀波交替结构。出口压力高于外压（过膨胀）时由 Prandtl-Meyer 膨胀展开，低于外压（欠膨胀）时由斜激波收缩，两者交替形成。每道斜激波的角度与强度可由 θ-β-M 关系预测。
极超音速飞行器外形流场：X-15、SR-71、HTV-2、DF-17 等极超音速飞行器，机首、机翼前缘、控制翼舵周围会形成复杂的斜激波系。激波-激波相互作用会在局部产生极高的热流和压力，是结构设计的主要难点。在 CFD 详细分析之前，θ-β-M 关系仍是早期设计阶段重要的快速评估工具。
菱形翼与超音速翼型：超音速运输机和导弹常用的菱形翼，前缘与后缘均为锐楔状截面，上下表面各产生 2 道斜激波与 2 道膨胀波。用 θ-β-M 关系求出各表面的流动偏转角与激波角，再积分表面压力得到升力与阻力的"激波-膨胀理论"是超音速翼型空气动力学的基础。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"斜激波后 M_2 一定为亚音速"。这只对垂直激波成立。斜激波的切向分量穿过激波保持不变，因此 M_2 经常仍为超音速；本模拟器默认条件（M_1=3, β=32°）下 M_2 = 2.27 正是典型例子。仅当采用强解，或 β 接近 90°（接近垂直激波）时，M_2 才会跌入亚音速。
第二个常见误解是认为任何楔角都存在斜激波解。θ-β-M 关系对每个 M_1 都给出最大允许偏转角 θ_max，超过它在数学上根本不存在解。实际流动中激波就脱离楔体形成弯曲的弓形激波。模拟器右侧曲线最右端的顶点即 θ_max，其右侧没有曲线，可直观看到这一限制。
另一个需要注意的是直接指定 β 与指定 θ 的差异。实际工程设计通常已知楔角 θ，需要反解出对应的 β，这需要数值迭代。本模拟器为避免数值反解而采用直接指定 β 的方式，好处是可以在同一 θ 下访问弱解和强解两个 β 进行对比，非常适合教学。请记住实际楔体绕流总是落在弱解（下分支）。