参数设置
假设完全气体、绝热、一维、定常。仅当 M_1n = M_1·sin(β) > 1 时激波有意义，否则显示 —。
楔周斜激波
下＝水平入流上游（冷色、箭头长＝高速）／斜线＝激波（角度 β）／沿楔表面的下游偏转 θ（暖色、箭头短）
θ-β 曲线（多 M_1）
横轴＝流动偏转角 θ／纵轴＝激波角 β／曲线下半部＝弱解，上半部＝强解／黄圆＝当前 (θ, β)
理论与主要公式
斜激波是上游马赫数 M_1 的流动通过激波角为 β 的薄薄不连续面时，偏转角度 θ 的现象。这三个量的关系称为 θ-β-M 关系式。
θ-β-M 关系式（从 M_1、β 显式求 θ）：
$$\tan\theta = \frac{2\cot\beta\,(M_1^2\sin^2\beta - 1)}{M_1^2(\gamma + \cos 2\beta) + 2}$$
激波法向分量 M_1n 及其下游端 M_2n（应用垂直激波关系式）：
$$M_{1n} = M_1\sin\beta, \qquad M_{2n}^2 = \frac{1 + \tfrac{\gamma-1}{2}M_{1n}^2}{\gamma M_{1n}^2 - \tfrac{\gamma-1}{2}}$$
下游马赫数和压力比（对 M_1n 应用垂直激波形式）：
$$M_2 = \frac{M_{2n}}{\sin(\beta - \theta)}, \qquad \frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma+1}\bigl(M_{1n}^2 - 1\bigr)$$
M_1n > 1 时激波才有物理意义。同一 θ 对应两个 β，较小的是弱解，较大的是强解。
斜激波模拟器简介
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超音速飞行器机翼的照片中经常看到的那条斜线，那就是斜激波吗？
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是的，就是斜激波。与垂直激波"相对于流动方向垂直排列"不同，斜激波以角度 β 斜向排列，冲击楔或圆锥形物体而生成。流动通过激波后偏转角度 θ，沿楔表面继续流动。波前后的压力、温度、密度增加。模拟器默认值（M_1=3, β=32°, γ=1.4）下，流动偏转角 θ 应为 14.77°，下游马赫数 M_2 为 2.27。
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下游也还是超音速？教科书说垂直激波下游必须是亚音速。
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很敏锐的观察。斜激波的情况下，只有激波的法向分量 M_1n = M_1·sin(β) 应用垂直激波关系式。切向分量不变，所以整体 M_2 往往保持超音速。默认条件下 M_1n 是 1.59，作为垂直激波生效，其下游法向分量 M_2n 降至 0.67，但因为切向分量很大，所以 M_2 仍达 2.27 的超音速。
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右边的图，每条 M_1 的曲线都向两端分岔，这是什么？
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那就是弱解和强解的分岔。同一 θ 和 M_1 对应两个 β 值。下半部是弱解（β 较小），上半部是强解（β 较大）。实际楔周流动几乎总是选择弱解。曲线的最右端顶点是 θ_max（最大偏转角），超过这个角度激波就会从楔表面离脱成为"离脱激波"。在模拟器中增加 β 时，可以看到同一 θ 的点从下分支（弱解）跳到上分支（强解）的现象。
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正是斜激波的本质。β 越小（激波越接近水平），法向分量 M_1n 越小，激波强度越弱，下游马赫数和压力增长越小。反之，β 接近 90° 时趋近垂直激波，M_1n = M_1 达最大，M_2 急剧下降。超音速进气口设计的原则就是用多级弱斜激波逐步减速，以最小化总压损失。
常见问答
当 β 小于 arcsin(1/M_1) 时，M_1n = M_1·sin(β) 降至 1 以下，法向分量变亚音速，激波在物理上不成立。这个极限 β = arcsin(1/M_1) 称为"马赫角"，对应向该方向传播的弱压力扰动（马赫波）。模拟器中 M_1n ≤ 1 的 β 值所有统计显示为 `—`，激波处用灰色虚线绘制。
从 θ-β-M 关系式求 d(tan θ)/dβ = 0，可得每个 M_1 对应的 θ_max。当 γ = 1.4 时，M_1 = 2 时 θ_max ≈ 22.97°，M_1 = 3 时约 34.07°，M_1 = 5 时约 41.12°，M_1 → ∞ 时约 45.58°。模拟器右侧 θ-β 曲线中，各 M_1 曲线的最右端顶点就是这个 θ_max，也是弱解和强解分岔的分界。
超过 θ_max 的楔角无法找到张贴在楔表面的斜激波解，激波从楔前端离脱，在楔前方形成湾曲的强激波（弓形激波）。这称为离脱激波或弓形激波。楔中轴线上表现为局部垂直激波，其背后滞止点的压力和温度达到极值。再入舱、极超音速钝头体主要受离脱激波影响。
在外部流（楔、圆锥等开放周围）中，仅由上游边界条件决定，几乎总是选择弱解。强解出现在扩压器等下游背压较高、需要减速至亚音速的情况。边界层和三维效应可能让强解略有混入，但设计上标准做法是假设弱解。模拟器允许直接指定 β，能比较两个解的性质，很适合教学。
现实世界的应用
超音速进气（多级激波）：SR-71 黑鸟、协和飞机、F-15 等超音速飞机的发动机进气道采用多级斜激波逐步减速、最后仅用弱垂直激波落入亚音速的"多级激波进气"。与单个垂直激波的皮托管进气相比，总压损失大大降低，发动机效率显著提升。θ-β-M 关系是设计坡道角（楔角）和各级 β 的核心工具。
超音速喷嘴外的激波钻石：火箭和战斗机的加力燃烧室出口常见"激波钻石"（马赫盘）现象，由喷嘴出口压力与外界压力失配引起的斜激波和膨胀波交替出现。出口超压"过膨胀"时沿普兰特尔-迈耶膨胀展开，欠压"欠膨胀"时靠斜激波收缩，交替发生。各级斜激波的角度、强度可用 θ-β-M 关系预报。
极超音速飞行器周围流场：X-15、SR-71、最近的 HTV-2 和中国 DF-17 等极超音速飞行器的机头、主翼前缘、控制翼周围形成复杂的斜激波系。激波间交叉作用（激波-激波干涉）产生极高的局部热、压力，成为结构设计瓶颈。在 CFD 细致分析之前，θ-β-M 关系仍是快速评估的利器。
超音速翼型、钻石翼：超音速客机和导弹的翼型采用钻石翼（双楔断面），前后缘都是锐楔状，上下表面各有 2 条斜激波和膨胀波。用 θ-β-M 关系求各面偏转角和激波角，从表面压力分布推算升力、阻力的"激波-膨胀理论"是超音速空气动力学基础。
常见误区与注意
最常见的误解是"斜激波前后 M_2 必为亚音速"。垂直激波确实总有 M_2 < 1，但斜激波的切向分量守恒，下游往往仍为超音速。默认条件（M_1=3, β=32°）中 M_2 = 2.27 保持超音速是典型例子。M_2 变亚音速仅限强解或 β 接近 90° 的近垂直激波。
再常见的误解是超过 θ_max 的楔角还有斜激波解。θ-β-M 关系对每个 M_1 有允许的最大偏转角 θ_max，超过它在数学上无解。实流中激波从楔离脱变弓形激波。模拟器右侧 θ-β 曲线各 M_1 曲线的最右端顶点就是 θ_max，之外无曲线，这点可直观看出。
还要注意的是本模拟器直接指定 β 的方式与实际设计的 θ 反演有异。工程设计通常是"给定楔角 θ，反算对应的 β"，但本模拟器为避免数值反演，采用直接输入 β 的设计。这有利于同时观察同一 θ 的弱解和强解，适合教学。读取结果时应记得实际楔周流基本选择弱解（下分支）。
具体计算例
马赫数 M_1 = 2.0，激波角 β = 42°，γ = 1.4，P_1 = 101,325 Pa 的情况：法向分量 M_1n = 2.0×sin(42°) ≈ 1.338，从法向激波关系式得 M_2n ≈ 0.738。下游马赫数 M_2 ≈ 1.64，下游静压 P_2 ≈ 185,000 Pa，流动偏转角 θ ≈ 12.3°。应用于超音速风道内楔形、凸起周围流场设计。