方程类型
指数衰减: dy/dt = -ky
逻辑斯谛增长: dy/dt = ry(1-y/K)
谐振子: d²y/dt² = -ω²y
Van der Pol: ẍ - μ(1-x²)ẋ + x = 0
全局误差（Global Error）：
Euler: $\mathcal{O}(h)$ | RK2: $\mathcal{O}(h^2)$ | RK4: $\mathcal{O}(h^4)$
Euler 法 （一阶精度）：
$$y_{n+1}= y_n + h\,f(t_n,\,y_n)$$
Heun 法 / RK2 （二阶精度）：
$$k_1 = f(t_n,y_n),\quad k_2 = f(t_n+h,\,y_n+hk_1)$$
$$y_{n+1}= y_n + \tfrac{h}{2}(k_1+k_2)$$
四阶 Runge-Kutta（RK4） ：
$$k_1=f(t_n,y_n),\; k_2=f\!\left(t_n+\tfrac{h}{2},y_n+\tfrac{h}{2}k_1\right)$$
$$k_3=f\!\left(t_n+\tfrac{h}{2},y_n+\tfrac{h}{2}k_2\right),\; k_4=f(t_n+h,y_n+hk_3)$$
$$y_{n+1}=y_n+\tfrac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$
什么是常微分方程数值解法
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简单来说，就是当一些物理过程的变化规律（比如弹簧的振动、细菌的繁殖）没法用一个漂亮的数学公式直接写出来时，我们用“一步一步算”的笨办法来逼近真实解。比如在模拟汽车悬架振动时，工程师就用这些方法计算每一瞬间的位移和速度。
🙋
诶，真的吗？那这个模拟器里比较的Euler法、RK2、RK4，区别大吗？
🎓
区别非常大，主要体现在“算得快”和“算得准”上。Euler法最简单，但误差大，步长一粗结果就飞了。RK4就像个更仔细的工匠，每步多算几个中间值，精度高得多。你试着在模拟器里把“步长h”的滑块拖大，看看误差曲线怎么飙升，Euler法会第一个“掉队”。
🙋
原来步长影响这么大！那工程现场常见的是，是不是永远用最准的RK4就好了？
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不完全是。RK4每步计算量是Euler法的4倍，对于要算几百万步的复杂仿真（比如整车碰撞），时间成本很高。工程上常在“精度”和“速度”间权衡。你可以换到“Van der Pol方程”（模拟非线性振荡），调大非线性系数μ，感受下复杂问题对方法的挑战。有时，一个“够用”的快速方法比“绝对精确”的慢方法更实用。
物理模型与关键公式
所有数值方法的核心都是求解一阶常微分方程初值问题：已知初始时刻的状态，计算下一时刻的状态。其通用形式为：
$$\frac{dy}{dt}= f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$
这里，$y$ 是待求的状态变量（如位移、温度、种群数量），$t$ 是时间，$f(t, y)$ 是描述变化率的函数，$y_0$ 是初始值。
不同的数值方法用不同的策略来近似积分这个过程。以四阶龙格-库塔法（RK4）为例，它通过计算四个斜率加权平均来获得高精度：
$$ \begin{aligned}k_1 &= f(t_n, y_n), \\
k_2 &= f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1), \\
k_3 &= f(t_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2), \\
k_4 &= f(t_n + h, y_n + h k_3), \\
y_{n+1}&= y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)
\end{aligned}$$
其中，$h$ 是时间步长，$y_n$ 是第 $n$ 步的解，$y_{n+1}$ 是第 $n+1$ 步的解。$k_1$ 到 $k_4$ 是四个不同点的斜率估计值。
现实世界中的应用
有限元动力分析： 在LS-DYNA、ABAQUS等CAE软件中，结构动力学方程（二阶ODE）会被转化为一阶方程组，然后使用Newmark-β法、中心差分法（本质上是特殊的数值积分格式）进行时间推进，其稳定性和精度原理与本工具中的方法一脉相承。
控制系统仿真： 设计飞机自动驾驶仪或机器人控制器时，需要实时解算描述系统动态的微分方程。工程师会根据计算芯片的能力和对实时性的要求，选择合适的数值方法（如RK2或RK4）进行嵌入式代码实现。
计算流体动力学（CFD）： 在模拟非定常流动（如涡旋脱落、燃烧振荡）时，需要对纳维-斯托克斯方程进行时间积分。高阶时间离散格式（如RK3、RK4）常被用于获得高精度的时间演化结果。
生物与流行病学建模： 预测传染病传播（如SIR模型）或种群生态动力学（如逻辑斯谛增长），这些模型都是非线性常微分方程。研究人员使用数值方法模拟不同参数（如接触率、增长率）下的长期趋势，为政策制定提供依据。
常见误解与注意事项
首先，“高阶方法永远最优”的想法是危险的。虽然RK4确实精度更高 ，但计算成本也高达四倍。例如，在要求实时性的机器人控制回路（1kHz=每1ms需计算一次）中，选择欧拉法的情况并不少见。在本工具中选择“谐振子”，并将步长h 减小到0.01左右，您会发现RK4与欧拉法的曲线几乎重合，误差也肉眼难辨。此时，计算速度更快的欧拉法反而更实用。
其次，人们常忽略“步长设置过小” 带来的弊端。若h 极端减小，计算步数将急剧增加，舍入误差累积反而可能导致精度下降（有时被称为“步长陷阱”）。此外，在范德波尔方程中增大非线性系数μ，会导致现象的时间尺度发生剧烈变化。对于此类“刚性方程”，若采用RK4等显式解法，除非将h 设置得非常小，否则解会发散，无法在合理计算时间内求解。通过这个案例，您可以切身感受到隐式解法或刚性专用求解器的必要性。
最后，切勿轻视初始值与参数的敏感性 。在逻辑增长模型中，仅需略微改变增长率r 或环境承载力K ，解的行为就会发生巨大变化。数值解法仅仅“求解给定的微分方程”，工程师必须始终保持警惕，质疑模型本身及其参数是否真实反映了现实情况。