常微分方程式·相平面解析模拟器

相平面解析的对象是不显式依赖于时间 $t$ 的2维自治系（Autonomous System）。状态的时间变化由以下连立常微分方程描述。

$$ \begin{aligned}\frac{dx}{dt}&= f(x, y) \\ \frac{dy}{dt}&= g(x, y) \end{aligned}$$

$x, y$：系统的状态变量（例：位置和速度，捕食者和被捕食者的个体数）。
$f, g$：由状态 $(x,y)$ 决定的变化率函数（在许多情况下是非线性的）。
时间 $t$ 参数化的解 $(x(t), y(t))$ 在 $(x,y)$ 平面上绘制的曲线称为「轨迹」或「轨道」。

要研究平衡点 $(x^*, y^*)$（满足 $f(x^*, y^*)=0$ 且 $g(x^*, y^*)=0$）附近的行为，需要进行线性化，其稳定性可由雅可比矩阵 $J$ 的固有值分类。

$$ J = \begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}& \dfrac{\partial f}{\partial y}\\[8pt] \dfrac{\partial g}{\partial x}& \dfrac{\partial g}{\partial y}\end{pmatrix}_{(x^*, y^*)}$$

注意固有值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的实部 $\mathrm{Re}(\lambda)$。
稳定结点/焦点：$\mathrm{Re}(\lambda_1), \mathrm{Re}(\lambda_2) \lt 0$（所有轨迹都收敛到平衡点）。
不稳定结点/焦点：$\mathrm{Re}(\lambda_1), \mathrm{Re}(\lambda_2) \gt 0$（远离平衡点）。
鞍点：$\mathrm{Re}(\lambda_1) \cdot \mathrm{Re}(\lambda_2) \lt 0$（某些方向收敛，某些方向发散，总是不稳定）。
中心：$\mathrm{Re}(\lambda_1) = \mathrm{Re}(\lambda_2) = 0$（线性近似下为中立稳定，周期轨道周围）。

控制工程·机器人学：倒立振子、无人机姿态控制等非线性系统的控制器设计中，相平面用于分析平衡点（目标状态）的稳定性和收敛域。极限环（稳定周期轨道）的检测有助于设计所需的周期运动。

生态学·种群动态：洛特卡-沃尔泰拉方程是描述被捕食者和捕食者个体数变动的经典例子。通过相平面分析平衡点稳定性，可以预测个体数周期变动的条件和一方灭绝的条件。

流行病学·SIR模型：将传染病流行过程建模为易感者(S)、感染者(I)、恢复者(R)三个群体的动态。利用相平面（如S-I平面）可以直观理解流行峰值、终止条件和基本再生数 $R_0$ 的影响。

结构工程·非线性振动：桥梁、建筑物风致振动、大变形机械部件振动中，线性理论无法解释的现象（跳跃、亚谐振荡等）。这些用达芬振子、范德波尔振子等模型表示，通过相平面分析稳定性和分岔。

首先要认识到，「相平面不是简单的轨迹图」。轨迹是从初始值出发的一条线，但相平面分析的真正价值在于观察整个方向场（箭头）来把握「流」。仅看一条轨迹而判断「这个系统会振荡」是危险的。例如，即使在阻尼振荡中，如果初始能量很大，看起来也会是复杂的运动，但观察整个方向场，会发现所有箭头最终都被吸收到一点（稳定平衡点）。

其次，参数设置的「尺度」很重要。例如，在「振子」模型中，将阻尼系数 b 从0.1改到1.0时，行为会剧烈变化。但如果「显示范围±R」保持默认的±5，箭头会密集在平衡点周围，看不清流。参数改变后，用「显示范围±R」滑块扩大或缩小视野是关键。实际工程中，适当的缩放也是必须的。

最后，「实时模拟并不万能」。这个工具使用数值计算来绘制轨迹。对于非常敏感的系统（例如鞍点不稳定多重特征附近），微小的数值误差会导致轨迹完全改变方向。要养成将模拟结果与理论（零等线形状、平衡点线性化预测）相互参照的习惯。