参数设置
δ 是信号频率的 bin 偏移。δ=0 时无漏谱，δ=0.5 时漏谱最大（幅度误差最大）。
窗函数的时间波形和频谱
上部：窗函数 w[n]（蓝色）／下部：窗频谱 |W[k]| dB（红色）／黄点线：信号 bin 位置 f₀+δ
理论·主要公式
窗函数是为了抑制有限区间DFT中的漏谱（spectral leakage）而设计的加权函数，在帧两端平滑衰减。代表性的窗函数如下所示（n = 0, 1, …, N−1）：
矩形窗（无窗）：
$$w[n] = 1$$
Hann 窗：
$$w[n] = 0.5\left(1 - \cos\frac{2\pi n}{N-1}\right)$$
Hamming 窗：
$$w[n] = 0.54 - 0.46\cos\frac{2\pi n}{N-1}$$
Blackman 窗：
$$w[n] = 0.42 - 0.5\cos\frac{2\pi n}{N-1} + 0.08\cos\frac{4\pi n}{N-1}$$
窗的频谱为 $W[k] = \mathrm{DFT}(w[n])$。主瓣宽度越宽，频率分辨率越差；旁瓣越低，漏谱越少。两者存在权衡关系。
相干增益 CG（平均增益）：
$$\mathrm{CG} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} w[n]$$
窗函数频谱特性比较模拟器是什么
🙋
信号处理中经常听到"窗函数"，为什么要用它？直接FFT不行吗？
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这是个很容易踩的坑。FFT假设信号以帧长N为周期无限重复，但实际信号往往不是N的整数倍周期，导致帧的两端信号被生硬地截断。这个"不连续"会让频谱从一条线扩散到周围的bin，这就叫"漏谱（spectral leakage）"。试试在模拟器中把窗类型改为0（矩形=无窗），然后把δ改为0.5，你会看到下面的频谱裾部大幅扩展。
🙋
确实，矩形的旁瓣超大！改成1（Hann）后就变成一条线了。
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对，窗函数的作用就是在帧的两端平滑衰减到0，消除不连续性。Hann窗在两端恰好为0的余弦曲线；Hamming窗微微保留一点，用来最小化最近邻旁瓣；Blackman用3条余弦项彻底抑制远旁瓣。把窗类型从0→1→2→3逐步改变，你会看到旁瓣电平一步步下降。
🙋
那Blackman是最好的窗啊？是不是就用Blackman全搞定？
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这就是权衡。抑制旁瓣会让主瓣变宽。看stat-card里的"主瓣宽度"——矩形是2 bin，Hann/Hamming是4 bin，Blackman是6 bin，越来越宽。主瓣宽说明频率分辨率变差，两个接近的频率就分不开了。实践中"要分离接近频率"就选窄主瓣的，"要在强信号旁发现弱信号"就选低旁瓣的，根据需求选择。
🙋
"峰值幅度误差"那张卡显示δ=0.5时−1.42 dB，这是什么意思？
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这叫"幅度扫描损失（scallop loss）"。当信号频率恰好在两个bin的中点（δ=0.5），主瓣顶点偏移，测到的峰值比真实振幅低。Hann窗最大低1.42 dB。在振幅精度很关键的测量（比如声级计）中，需要对这个损失进行补偿，或者用FlatTop窗来消除它。试试在δ的0到0.5之间拖动，看"幅度误差"卡的数字变化。
常见问题
Kaiser窗有一个可调参数β（或α），可以连续地在窄主瓣+高旁瓣（接近矩形）和低旁瓣（超越Blackman）之间变换，是"万能调节器"。FlatTop窗特意把主瓣顶部平坦化来消除幅度扫描损失，损失可以低至0.01 dB以下，广泛用于FFT分析仪和声学测量，代价是主瓣非常宽（约9 bin）。
δ=0表示信号频率恰好对齐DFT的bin，此时没有频谱泄漏和幅度损失（除了窗的旁瓣）。δ=0.5表示信号在两个相邻bin的正中央，是最坏情况，会产生最大的泄漏和幅度误差。实际信号中δ事先不知道，所以工程实践中通常按照δ=0.5的最坏情况来选窗。
N=1024时，DFT约100万次运算，FFT（Cooley-Tukey）约1万次，差100倍。N=104.8576万时，DFT约1兆，FFT约2000万，差5万倍以上。本工具中N≤1024较小，为了代码可读性用直接DFT计算；实际应用中都用NumPy的numpy.fft.fft、MATLAB的fft或SciPy的fft函数，当N是2的幂时速度最快。
不是。空间域也完全一样。比如图像处理的2D FFT（纹理分析、X射线衍射图像分析）、天线阵列波束形成、雷达脉冲压缩、光学孔径等，任何涉及有限区间傅里叶变换的场景都需要"窗掩"。基本原理（主瓣vs旁瓣权衡）是通用的。
实际应用
声学与振动分析：机器故障诊断和噪声测量中，振动信号经FFT分析以提取频率成分。广泛采用Hann窗和Hamming窗，精确振幅测量时选FlatTop窗。转速变工况下δ变化，需选用抗漏谱能力强的窗。
通信信号处理：OFDM调制（Wi-Fi、4G/5G、数字电视）中发送端对信号窗处理以抑制带外泄漏，使用Raised Cosine（RC）或Root Raised Cosine（RRC）窗来最小化邻近信道干扰。
地震地球物理：地震波频率解析和微地震监测中，长时间记录分帧进行FFT（STFT）。窗的旁瓣会掩盖弱的后续波，所以倾向于选Blackman或Kaiser窗。
雷达与声纳：脉冲压缩雷达和主动声纳中，距离分辨率（主瓣宽）与弱目标检测能力（旁瓣）直接影响性能。为保持旁瓣一致水平通常采用Taylor或Chebyshev特殊窗。
常见误区和注意事项
最大的误区是认为"使用窗函数会改变信号，有害"。确实窗处理改变了时间波形，但这是对有限帧长这一测量约束的最优处理；不加窗（等同于矩形窗）结果反而更差。重点是认识到"选择不加窗=在用矩形窗"，没有"不选窗"这个选项。
其次是盲目追求"更低旁瓣就更好"。低旁瓣必然伴随主瓣变宽，分辨率下降，两个接近的频率就分不开。看看模拟器中窗从0改到3时频谱下段的变化——矩形窗尖锐，Blackman窗又圆又宽。分辨率优先还是低漏谱优先，必须按应用场景来选。
第三是忘记做"相干增益补偿"。Hann窗使频谱峰值变成真实振幅的一半（CG=0.5）。用FFT分析仪读频谱幅度时，一定要用窗的CG来除以得到真值，再加δ≠0的幅度扫描损失补偿（用FlatTop窗可将补偿降到1%以下）。窗函数一用，你处理的就不是"频谱本身"，而是"考虑窗特性的补偿值"。