δ 是信号相对于整数 bin 的偏移量。δ=0 时无泄漏，δ=0.5 时泄漏与扇贝损失最大。
上：窗函数 w[n]（青）／下：|W[k]| 的 dB 谱（红）／黄虚线：信号 bin 位置 f₀+δ
窗函数是一种加权序列，用于消除有限长度 DFT 因周期性假设而产生的频谱泄漏。代表性的窗函数定义如下（n = 0, 1, …, N−1）：
矩形窗（无窗）：
$$w[n] = 1$$
Hann 窗：
$$w[n] = 0.5\left(1 - \cos\frac{2\pi n}{N-1}\right)$$
Hamming 窗：
$$w[n] = 0.54 - 0.46\cos\frac{2\pi n}{N-1}$$
Blackman 窗：
$$w[n] = 0.42 - 0.5\cos\frac{2\pi n}{N-1} + 0.08\cos\frac{4\pi n}{N-1}$$
窗的频谱为 $W[k] = \mathrm{DFT}(w[n])$。主瓣越宽，频率分辨率越差；旁瓣越低，频谱泄漏越小。两者呈直接折中关系。
相干增益 CG（平均幅度增益）：
$$\mathrm{CG} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} w[n]$$
什么是窗函数频谱特性对比模拟器？
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在信号处理中经常听到"窗函数"，为什么必须乘上去？直接做 FFT 不行吗？
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这是个经典陷阱。FFT 假设信号以帧长 N 为周期重复，但真实信号几乎不可能正好对齐，于是帧两端会有突然的不连续。这个不连续把本来该是单根的谱线"漏"到周围许多 bin 里——这就是频谱泄漏。在模拟器里把窗类型设为 0（矩形=无窗）、δ 设为 0.5 试试看：下方的频谱不再是一根尖峰，而是拖着长尾向两侧扩散。
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确实，矩形的旁瓣很乱！切到 1（Hann）后就变成干净的一根了。
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对，窗函数把帧两端平滑地拉到 0，消除不连续。Hann 用余弦曲线在两端正好归零；Hamming 留一点小台阶，把最近旁瓣压到最低；Blackman 用三个余弦项把远端旁瓣彻底压下去。把窗类型滑块从 0 拉到 3，能看到旁瓣电平一级一级下降。
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那是不是 Blackman 最好，永远用它就行？
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这是关键的折中。旁瓣降低必然伴随主瓣变宽。看"主瓣宽度"卡片：矩形是 2 bin，Hann/Hamming 是 4 bin，Blackman 是 6 bin。主瓣越宽，分辨相邻两根频率的能力（频率分辨率）越差。实务中：想区分相邻频率就选靠近矩形的窗；想在强信号旁边找到弱信号就选靠近 Blackman 的窗。
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"峰值幅度误差"卡片是什么意思？显示 δ=0.5 时 -1.42 dB。
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这叫"扇贝损失（scallop loss）"。当信号频率正好落在两个 bin 中间（δ=0.5）时，主瓣峰值偏离 bin 中心，测得的峰值比真实幅度低。Hann 窗最多会低 1.42 dB。在需要精确测幅度的场合（如声级计、振动测量），必须做补偿或改用 FlatTop 窗。把 δ 在 0 和 0.5 之间滑动，看幅度误差卡片的数值变化。
常见问题
Kaiser 窗和 FlatTop 窗有什么不同？
Kaiser 窗有一个形状参数 β（或 α），可以在接近矩形（窄主瓣高旁瓣）到超过 Blackman（极低旁瓣）之间连续调节，是"可调节的窗"。FlatTop 窗把主瓣顶部刻意做平，使扇贝损失低于 0.01 dB，是 FFT 分析仪和声级计幅度标定的标准窗，代价是主瓣很宽（约 9 bin）。
δ=0 与 δ=0.5 有什么区别？
δ=0 表示信号频率正好落在 DFT 的 bin 上，没有频谱泄漏也没有扇贝损失（除窗自身的旁瓣外）。δ=0.5 表示信号频率正好在两个相邻 bin 的中间，是泄漏与峰值幅度误差最大的情形。实际信号中 δ 未知，因此"按最坏情形 δ=0.5 选窗"是常用原则。
FFT 与 DFT 在实际中的速度差距多大？
N=1024 时，DFT 约 100 万次运算，FFT（Cooley-Tukey）约 1 万次，差距约 100 倍。N=1,048,576 时，DFT 需 1 万亿次，FFT 约 2000 万次，差距超 5 万倍。本工具因 N≤1024 规模小、为代码可读性采用 DFT，但实时处理或大规模分析必须用 FFT 库函数（NumPy fft、MATLAB fft、SciPy、FFTW 等）。
窗函数能否用于时域以外的场合？
可以。在空间方向同样适用：图像处理的二维 FFT（纹理分析、X 射线衍射图样分析）、天线阵的波束形成、雷达脉冲压缩、光学孔径分析等所有涉及有限长傅里叶变换的场合都用加窗。基本概念（主瓣宽度与旁瓣电平的折中）完全一致。
实际应用
声学与振动分析： 机械异常诊断和噪声测量需要对旋转机械的振动信号做 FFT 分析以提取频率成分。Hann 和 Hamming 是通用首选，需要幅度精度时选 FlatTop 窗。在实际机器的转速波动测量中，δ 也会波动，因此需要抗泄漏能力强的窗。
通信信号处理： OFDM 调制（Wi-Fi、4G/5G、数字电视）在发射端做加窗以抑制子载波间干扰。升余弦窗（RC）与根升余弦窗（RRC）用于控制信号谱的带外泄漏，减少对相邻信道的干扰。
地震学与地球物理： 地震波频谱分析与微震观测把长时间记录切成短帧做 FFT（STFT，短时傅里叶变换）。如果窗的旁瓣淹没了小振幅的后续波，诊断就会出错，因此 Blackman 窗和 Kaiser 窗被广泛采用。
雷达与声呐： 脉冲压缩雷达与主动声呐中，距离分辨率（主瓣宽度）与弱目标检测能力（旁瓣电平）之间的折中直接决定性能。为了避免在强目标附近漏掉弱目标，常用 Taylor 窗和 Chebyshev 窗等可指定旁瓣电平的特殊窗。
常见误解与注意事项
最常见的误解是"加窗会改变信号波形，所以不好" 。确实加窗修改了时域波形，但这是应对"帧长有限"这一测量制约的最佳办法。不加窗（矩形窗）反而会出现最严重的频谱泄漏。重要的是要认识到：不加窗等价于加矩形窗，"不选择窗函数"这个选项实际上并不存在。
其次，"旁瓣越低的窗越好"是错误的 。旁瓣降低意味着主瓣变宽，分辨相邻两个频率成分的能力（频率分辨率）变差。在模拟器中把窗类型从 0 切到 3，观察下方频谱主瓣的宽度与圆润度变化。要根据目的——"分辨率优先"还是"低泄漏优先"——选择合适的窗。
最后，在测幅度时不要忘记相干增益（CG）补偿 。Hann 窗会让频谱峰值变成真实信号幅度的一半（CG=0.5）。读取加窗后频谱的幅度时，必须除以所用窗的 CG。如果 δ≠0 还需要补偿扇贝损失（使用 FlatTop 窗可把此误差降到 1% 以下）。一旦用了窗函数，处理的就不是"频谱本身的值"，而是"考虑了窗特性的补偿值"。