参数设置
假定薄翼、小扰动、亚音速势流。在 M ≤ 0.7 范围内与实验吻合良好；M → 1 时修正因子发散。
亚音速翼面压力分布
上表面为低压（蓝色），下表面为高压（红色）。马赫数升高时压差增大，升力增加。
修正因子 1/β 随马赫数变化
横轴为马赫数 M，纵轴为修正因子 1/β。黄色标记表示当前 M；当 M → 1 时 1/β 发散。
理论与主要公式
普朗特-格劳特修正基于亚音速薄翼小扰动势流的线性化分析，将非可压缩系数换算为可压缩值：
$$C_{p,\text{compr}} = \frac{C_{p,\text{inc}}}{\sqrt{1 - M^2}}, \qquad C_{L,\text{compr}} = \frac{C_{L,\text{inc}}}{\sqrt{1 - M^2}}$$
修正因子 1/β 定义为：
$$\frac{1}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{1 - M^2}}$$
等熵完全气体的全压/静压比为：
$$\frac{P_0}{P} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}\,M^2\right)^{\gamma/(\gamma - 1)}$$
M → 1 时 1/β → ∞，修正法则在跨音速区失效。实用范围约为 M ≤ 0.7。
普朗特-格劳特可压缩性修正模拟器是什么
🙋
飞机在亚音速飞行时，翼面附近的压力分布和低速时有差别吗？据说马赫 0.3 以下都可以当作非可压缩处理？
🎓
M ≤ 0.3 确实可以视为非可压缩，但到 0.5~0.7 时密度变化就不能忽略了。这时就需要普朗特-格劳特修正。在模拟器里设 C_p,inc = −0.50、M = 0.60、γ = 1.40，应该会显示修正因子 1/β = 1.250、可压缩 C_p = −0.625，比非可压缩值大约 25%。
🙋
差距居然有 25% 这么大？那升力系数也会同样放大吧？
🎓
对。升力系数也按 C_L,compr = C_L,inc / β 增长，默认值下 C_L,inc = 0.50 → C_L,compr = 0.625。同样的迎角下，可压缩流给出的升力更大，这直接影响配平、阻力和俯仰力矩。亚音速喷气客机的初步设计阶段，可压缩性既是「助力」也是「阻力」，必须在升力、阻力和力矩估算中带上修正。
🙋
修正因子曲线在 M ≈ 0.9 附近暴涨，这部分还能信任吗？
🎓
观察得很好。1/β 在 M → 1 时发散，但普朗特-格劳特只在线性化假设下成立，M 超过 0.7 后局部超音速区与激波就会出现，远早于发散就失效。实务中只信任 M ≤ 0.7 的左半段；更高马赫数需要 Karman-Tsien、Laitone 或完整跨音速 CFD。模拟器的曲线只是修正法则本身，物理上有效的部分是左半段。
🙋
全压/静压比 P_0/P 是另一回事吗？它和修正因子有什么关系？
🎓
这是等熵完全气体的状态比，用于由空速管的全压/静压测量反推马赫数。M = 0.6、γ = 1.4 时 P_0/P ≈ 1.276。它和修正因子 1/β 的物理意义完全不同：前者描述气流自身状态，后者描述翼面压力系数的线性化修正。模拟器同时显示两者，方便你直观比较两种不同的马赫数效应。
常见问题
普朗特-格劳特是亚音速线性化势流中最简单的修正，C_p,compr = C_p,inc / √(1−M²)。Karman-Tsien 把部分等熵关系折回到修正中，可推广到跨音速附近；Laitone 进一步考虑局部马赫数效应，对略厚翼型更精确。经验上，M ≤ 0.6 用 P-G，0.6~0.85 用 Karman-Tsien，更高马赫则需完整势流或 Euler/Navier-Stokes 求解器。模拟器实现最基础的 P-G 法则，是理解物理上限的良好起点。
在亚音速线性化空气动力学中，所有线性比例的气动系数都按 1/β 放大，包括俯仰力矩系数 C_m。诱导阻力 C_Di 与升力平方成比例，故近似按 1/β² 增长。粘性阻力（摩擦阻力和形状阻力）不在线性化范围内，须用边界层方法另行计算。波阻（M ≥ 0.7 时显著）则完全在普朗特-格劳特之外，需要捕捉激波的求解器。
普朗特-格劳特基于薄翼、小扰动、小迎角假设。经验上，最大厚度比 ≤ 12%、迎角 ±5°、弯度 ≤ 4%、M ≤ 0.6 时与实验吻合误差在 5% 以内。超出此范围则非线性效应显著：厚翼或高迎角会使翼面局部马赫数超过 1（超临界状态），出现激波，使前提失效。模拟器适合设计初期的翼型对比与参数研究，最终气动特性仍须风洞或 CFD 验证。
是的，这是「非可压缩极限下不需修正」的正确物理行为。M → 0 时 1/β → 1，C_p,compr = C_p,inc、C_L,compr = C_L,inc。实务上意味着 M ≤ 0.3 的低速空气动力学（悬挂滑翔机、无人机、汽车等）可用非可压缩 Navier-Stokes 或势流法。反之，客机巡航 M = 0.78~0.85 时修正因子达到 1.6~1.9，忽略它会让设计升力低估 40~90%。
物理模型与主要公式
普朗特-格劳特修正法则源于亚音速小扰动势流方程 $(1-M_\infty^2)\phi_{xx} + \phi_{yy} = 0$ 的线性化分析。通过坐标变换 $x = X$、$y = Y\sqrt{1-M_\infty^2}$，可压缩方程化为非可压缩 Laplace 方程 $\phi_{XX} + \phi_{YY} = 0$。结合线性化边界条件与压力系数关系，最终得到：
$$C_{p,\text{compr}}(x, y) = \frac{C_{p,\text{inc}}(x, y/\beta)}{\sqrt{1 - M_\infty^2}}$$
其中 $\beta = \sqrt{1 - M_\infty^2}$ 为普朗特-格劳特因子。升力系数和俯仰力矩系数按同一因子线性放大：
$$C_L^{\text{compr}} = \frac{C_L^{\text{inc}}}{\sqrt{1 - M_\infty^2}}, \qquad C_m^{\text{compr}} = \frac{C_m^{\text{inc}}}{\sqrt{1 - M_\infty^2}}$$
由等熵完全气体关系，全压 $P_0$ 与静压 $P$ 之比为：
$$\frac{P_0}{P} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)^{\gamma/(\gamma - 1)}$$
这是与修正法则无关的独立公式，常用于通过空速管测量推算局部马赫数，配合全温/静温比 $T_0/T = 1 + (\gamma-1)/2 \cdot M^2$ 一起使用。模拟器同时显示两者，使亚音速可压缩流的全貌一目了然。
实际应用
亚音速喷气机初步设计：巡航马赫 0.7~0.85 的客机和公务机翼型设计的早期阶段，会基于非可压缩翼型数据库（NACA、SC 系列）应用普朗特-格劳特修正，估算可压缩升力、阻力系数。最终特性由风洞与 CFD 验证，但 P-G 修正的简洁性在配平、布局、机翼面积迭代中仍非常有用。M = 0.78 时修正因子约 1.6，忽略将带来巨大设计偏差。
风洞数据可压缩性修正：低速风洞（M ≤ 0.3）测得的翼型数据，可用 P-G 修正换算到目标巡航马赫数（M = 0.5~0.7）；反之亦可由亚音速风洞数据反推「非可压缩等效」值。JAXA、AIAA、NASA 的测试报告中均将其列为标准工序。
螺旋桨叶尖速度评估：大型螺旋桨叶尖局部马赫数可达 0.7~0.9，叶根与叶尖的修正因子差异显著。沿径向逐段应用 P-G 修正可快速给出局部升力分布，是预测旋翼效率、推力与噪声的标准做法，也用于直升机主旋翼桨尖与无人机螺旋桨设计。
高空 UAV 运行：临近空间侦察 UAV 或平流层平台在低密度大气下真空速很高，马赫数有时达到 0.5~0.7。结合静压随高度变化与 P-G 修正，可快速预估翼面局部压力载荷，为结构设计提供输入。
常见误解与注意事项
最常见的误解是将普朗特-格劳特延伸到跨音速。1/β 在 M → 1 时虽数学上有定义，但物理上 M ≥ 0.7 左右线性化前提就失效，会出现局部超音速区与激波，使补正值偏离实测。模拟器在 M = 0.9 时给出 1/β ≈ 2.29，表面似乎「放大 2 倍以上」，实际翼面已被激波阻力主导，此时计算的 C_p,compr 已无物理意义。
其次是把修正因子 1/β 和全压/静压比 P_0/P 混为一谈。两者均随 M 变化，但物理意义截然不同。1/β 是「将翼面局部 C_p 放大多少」的线性化修正因子；P_0/P 是「气流自身的全压与静压之比」的等熵状态量。默认值下（M = 0.6、γ = 1.4）两者数值接近（1.250 vs 1.276），但随 M 变化趋势不同（1/β 在 M → 1 时发散，P_0/P 从 1.28 缓慢增长到 1.89）。
另一个常见的误解是「修正只用于风洞数据」。实际上将非可压缩 CFD（简易面元法、涡格法）的输出转换为可压缩值时也常用到。MIT 开发的 XFOIL、Drela 系列面元法本身为非可压缩，但结合 Karman-Tsien 修正即可输出可压缩 C_p 分布。设计早期需要快速循环时，这种基于修正法则的工具至今仍被广泛使用。理解 1/β 的马赫数依赖性，是用好这些工具的直观基础。