参数设置
假设薄翼·小扰动·亚音速势流。在M≤0.7左右时与实验吻合良好，M→1时修正系数发散。
亚音速翼截面的压力分布
翼上表面为低压（蓝色），下表面为高压（红色）。随着马赫数增加，压力差扩大，升力增加。
修正系数 1/β 的马赫数依存性
横轴=马赫数M、纵轴=修正系数1/β。黄色标记为当前M，M→1时1/β发散。
理论·主要公式
普朗特-格拉埃特压缩性修正基于亚音速线性化势流，将非压缩值换算为压缩性值：
$$C_{p,\text{compr}} = \frac{C_{p,\text{inc}}}{\sqrt{1 - M^2}}, \qquad C_{L,\text{compr}} = \frac{C_{L,\text{inc}}}{\sqrt{1 - M^2}}$$
修正系数1/β定义如下：
$$\frac{1}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{1 - M^2}}$$
等熵完全气体的全压/静压比为：
$$\frac{P_0}{P} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}\,M^2\right)^{\gamma/(\gamma - 1)}$$
M→1时1/β→∞，修正规则在跨音速区破裂。实用范围为M≤0.7左右。
普朗特-格拉埃特压缩性修正模拟器说明
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飞机在亚音速飞行时，低速时的压力分布和亚音速时有区别吗？我听说马赫0.3以下可以按非压缩处理？
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确实，马赫0.3左右以下用非压缩是个很好的近似。但当超过这个值，特别是M=0.5~0.7时，密度变化就不能忽略了。这时候就用普朗特-格拉埃特修正规则。用模拟器设置Cp,inc=-0.50、M=0.60、γ=1.40，你就会看到修正系数1/β=1.250、Cp,compr=-0.625。增加了约25%呢。
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完全正确。升力系数通过CL,compr=CL,inc/β也增加。用默认值，CL,inc=0.50→CL,compr=0.625。相同迎角下，压缩性存在反而让升力增加。在亚音速喷气客机巡航设计中，压缩性有时是"助力"有时是"阻力"。比如设计升力增加的话，阻力和力矩也会变，必须重新做配平计算。
🙋
补正系数的曲线看起来M=0.9时变得特别大。这能相信到什么程度呢？
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观察得很敏锐！1/β在M→1时确实发散，但实际上不会增加那么多。普朗特-格拉埃特是基于线性化假设的，所以M≤0.7左右才能和实验吻合。超过这个值，局部超音速区域出现，冲击波形成，普朗特-格拉埃特的前提就破裂了。从那时开始需要用卡门-钦修正或者完整的CFD。模拟器的曲线是修正规则本身，物理上有意义的只有左边的M≤0.7部分。
🙋
全压/静压比P_0/P也显示在这里，这有什么用呢？
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这是等熵完全气体流的状态比，从毕托管的读数反推局部马赫数时的基础公式。M=0.6、γ=1.4时，P_0/P≈1.276。风洞试验中，翼面的静压和上游的全压一起测量才能求局部马赫数，所以和补正规则一样是实验数据处理的必需品。注意它和压缩性修正的Cp是两个不同的量。
常见问题
普朗特-格拉埃特是线性化亚音速势流基础上最简单的修正规则，形式为Cp,compr=Cp,inc/√(1−M²)。卡门-钦规则加入了等熵关系，把应用范围扩展到跨音速区。莱通规则进一步考虑了局部马赫数效应。实务中，M≤0.6用P-G，0.6~0.85用卡门-钦，更高的跨音速·超音速区域需要完整势流解析或欧拉求解。本模拟器处理的是最基础的P-G规则，是理解压缩性修正物理极限的出发点。
在普朗特-格拉埃特修正原则下，亚音速线性化空气动力学中，局部Cp和积分量（如升力系数CL、俯仰力矩系数Cm）都乘以1/β放大。相反，诱导阻力系数CDi大致与升力的平方成正比，所以增加1/β²倍。粘性阻力（摩擦阻力·形状阻力）不在线性化框架内，需要单独用雷诺数依赖的经验式或边界层解析。造波阻力（M≥0.7显著）普朗特-格拉埃特完全无法处理，必须用冲击波解析。
普朗特-格拉埃特假设薄翼·小扰动·小迎角。实际应用时，最大翼厚比12%以下、迎角±5°以下、平均弯度4%以下的条件下，在M≤0.6范围内与实验精度在5%以内吻合。超过这些范围，非线性效应不可忽略。厚翼或高迎角时，翼面局部马赫数超过1（超临界状态），冲击波出现，普朗特-格拉埃特的前提破裂。设计初期的翼型比较·参数研究时有效，但最终空力特性必须用风洞或CFD验证。
是的，这在物理上完全正确——"非压缩极限中修正无效"。M→0时1/β→1，即Cp,compr=Cp,inc、CL,compr=CL,inc。实用上这表示M≤0.3的低速空气动力学不需要修正，悬挂滑翔机·无人机·汽车空气动力学用非压缩纳维-斯托克斯（或非压缩势流）就够了。反过来，客机巡航M=0.78~0.85时修正系数达到1.6~1.9，如果不修正会把设计升力低估40~90%。
物理模型和主要公式
普朗特-格拉埃特修正规则来自亚音速小扰动势流方程$(1-M_\infty^2)\phi_{xx}+\phi_{yy}=0$的解析。通过坐标变换$x=X$、$y=Y\sqrt{1-M_\infty^2}$，把压缩性流方程转化为非压缩的拉普拉斯方程$\phi_{XX}+\phi_{YY}=0$。利用边界条件和压力系数关系进行线性化，最终得到修正公式：
$$C_{p,\text{compr}}(x, y) = \frac{C_{p,\text{inc}}(x, y/\beta)}{\sqrt{1 - M_\infty^2}}$$
其中$\beta=\sqrt{1-M_\infty^2}$是普朗特-格拉埃特因子。升力系数和力矩系数也以同样的修正系数线性增加：
$$C_L^{\text{compr}} = \frac{C_L^{\text{inc}}}{\sqrt{1 - M_\infty^2}}, \qquad C_m^{\text{compr}} = \frac{C_m^{\text{inc}}}{\sqrt{1 - M_\infty^2}}$$
由等熵完全气体关系，全压$P_0$与静压$P$的比为：
$$\frac{P_0}{P} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}M^2\right)^{\gamma/(\gamma - 1)}$$
这个式子独立于修正规则，与气流本身的状态相关。它和修正规则要区分开使用。用全温/静温比$T_0/T=1+(\gamma-1)/2\cdot M^2$一起使用时，可以从毕托管测量推断马赫数。本模拟器同时显示这两个量，能让亚音速压缩性流整体画面更清晰。
实际应用
亚音速喷气客机初步设计：巡航马赫数0.7~0.85的客运机·公务机翼设计初期，使用非压缩翼型数据库（NACA·SC系列等）加上普朗特-格拉埃特修正，估算压缩性含量的升力·阻力系数。最终空力特性用风洞或CFD验证，但配平·布局·主翼面积初步推算时P-G修正的简洁性至今仍被重视。设计巡航M=0.78时修正系数约1.6，忽略的话设计升力会明显偏离。
风洞试验数据的压缩性修正：低速风洞（M≤0.3）的翼型数据换算到目标巡航马赫数（M=0.5~0.7）时使用P-G规则。反过来，亚音速风洞数据换算回地面对地速度（M≈0）的"非压缩等价"值时做除法。风洞修正的标准作业中，JAXA或AIAA的测试报告中明确出现P-G修正。
螺旋桨叶尖速度评估：大螺旋桨叶尖的局部马赫数可达0.7~0.9，叶根与叶尖的修正系数相差很大。各半径位置分别应用P-G修正，修正局部升力分布，是转子效率·推力·噪音预测的标准手法。直升机主旋翼和无人机螺旋桨设计中常见。
高空运行UAV·小型机：高空巡航的侦察UAV或平流层平台，低密度导致对气速增大，结果马赫数达0.5~0.7。结合气压P的高度变化和P-G修正，预测翼面局部压力分布，反映到结构设计。地面低速试验数据直接用的话会低估，修正是必须的。
常见误解和注意事项
最常见的误解是"普朗特-格拉埃特也能用于跨音速"的想法。1/β在M→1时发散，修正式在任何M下都会给出数值，但物理上M≥0.7左右线性化前提就破裂，局部超音速·冲击波出现导致修正值与实测大相径庭。模拟器中M=0.9时1/β≈2.29，表面上看"增加2倍多"，但翼面冲击波阻力已成主导，薄翼线性理论算出的Cp,compr已失去意义。
另一常见误解是"修正系数1/β和全压/静压比P_0/P混淆"。两者都依赖M，但物理意义完全不同。1/β是"翼面局部Cp如何强化"的线性修正系数，P_0/P是"气流本身全压与静压比"的等熵流状态量。模拟器中M=0.6、γ=1.4时碰巧1/β=1.250、P_0/P≈1.276接近，但M变化时行为不同（1/β→M→1时发散，P_0/P从M=0.6→1.0时温和增加）。
还有一个误解是"修正只用于风洞数据"。实际上非压缩CFD（简易面元法·涡格法）的输出换算到压缩性值时也常用。MIT开发的XFOIL等面元法本质非压缩，但结合卡门-钦修正输出压缩性Cp分布。设计初期的高速计算循环中，代替完整CFD用这类修正规则工具是常规做法。理解本模拟器中修正系数的马赫数依存性，能培养驾驭这些工具的直觉。