设置开环极点与零点，实时绘制增益K变化时s平面上的根轨迹。自动计算渐近线、稳定裕度与阶跃响应。
起点： K=0 → 开环极点
终点： K→∞ → 开环零点（其余趋向无穷远）
渐近线角度： $(2k+1) \cdot \dfrac{180°}{n-m}$， $k=0,1,...,n-m-1$
重心： $\sigma_a = \dfrac{\sum p_i - \sum z_i}{n-m}$
稳定条件： 所有闭环极点位于左半平面
根轨迹法的根基是闭环系统的特征方程。对于一个典型的负反馈系统，其开环传递函数为 $KG(s)H(s)$，闭环传递函数的分母（即特征方程）必须为零。
$$1 + KG(s)H(s) = 0$$其中，$K$ 是我们要调节的系统增益，$G(s)$ 是前向通路传递函数，$H(s)$ 是反馈通路传递函数。这个方程的解 $s$ 就是闭环极点，它的位置决定了系统的稳定性与动态性能。
当增益 $K$ 很大时，大部分闭环极点会趋向无穷远，它们的渐近行为由以下两个关键公式描述。这能帮助我们预测轨迹的大致走向。
$$ \begin{aligned}&\text{渐近线角度:}\quad \theta_k = \frac{(2k+1) \cdot 180^\circ}{n-m}, \quad k=0,1,...,n-m-1 \\[6pt] &\text{渐近线重心:}\quad \sigma_a = \frac{\sum (\text{极点实部}) - \sum (\text{零点实部})}{n-m}\end{aligned} $$$n$ 是开环极点数，$m$ 是开环零点数。重心 $\sigma_a$ 是所有渐近线在实轴上的交汇点。例如，一个三阶无零点系统，会有三条渐近线，角度分别是60°，180°和300°。
伺服电机位置控制：在工业机器人或数控机床中，需要电机快速准确地到达指定位置。工程师使用根轨迹法来调整控制器增益 $K$，使闭环极点位于阻尼比最佳的区域，从而避免超调过大或响应太慢，确保加工精度。
汽车主动悬架控制：为了在颠簸路面上保持车身平稳，主动悬架系统需要实时调整阻尼。在设计其控制律时，根轨迹法用于分析不同增益下系统的振动模态，确保在任何工况下悬架系统都是稳定的，并且能有效过滤路面冲击。
航空航天器姿态控制：卫星或火箭的姿态控制系统对稳定性要求极高。根轨迹法可以帮助设计师理解推进器增益变化时，整个刚体动力学系统的极点如何移动，从而在保证稳定裕度的前提下，设计出响应迅速的控制参数。
过程工业（如化工反应釜温度控制）：控制反应釜温度时，过大的增益会导致温度剧烈振荡，甚至引发事故；增益太小则响应迟钝。通过根轨迹分析，可以确定使系统稳定且能有效抑制干扰的增益 $K$ 的安全范围，保障生产安全与质量。
开始使用此工具时，有几个需要注意的要点。首先，"仅将极点和零点置于实轴上"是一种资源浪费。如果极点只位于实轴，系统响应将呈现无超调的非振荡动态。但在实际工程中，若要求快速响应，往往需要允许适度振荡（衰减振荡）并瞄准复共轭极点。例如，不妨用此工具比较一下：将极点置于实轴-2和-3处，与置于-2±2j处时，阶跃响应会有怎样的变化。
其次，要避免"零点总能改善稳定性"的误解。确实，左半平面的零点（稳定零点）具有加速响应的效果，但位于右半平面的不稳定零点则极难处理。例如，当极点为-1和-5，并将零点置于+2（右半平面）时，逐渐增大K值可观察到轨迹迅速进入右半平面导致系统失稳。这类系统称为非最小相位系统，在实际设备中会导致反向响应现象。
最后，不要认为"根轨迹能揭示一切"。根轨迹虽能直观展现瞬态响应特性（稳定性、振荡频率、衰减程度），但无法直接反映抗干扰性能或鲁棒性（对模型误差的耐受能力）。工程实践中，通常先用根轨迹确定大致增益范围，再通过基于伯德图的频率响应分析来检验增益裕度和相位裕度，这是铁律。