Question 1

什么是根轨迹？

Accepted Answer

根轨迹（Root Locus）是指在开环传递函数KG(s)H(s)中，当增益K从0变化到∞时，闭环特征方程1+KG(s)H(s)=0的根（闭环极点）在s平面上所描绘的轨迹。它能直观呈现系统的稳定性与暂态特性：K=0时从开环极点出发，K→∞时趋向开环零点或无穷远处。

Question 2

根轨迹的渐近线如何求？

Accepted Answer

渐近线共有n-m条（n为极点数，m为零点数），角度为(2k+1)×180°/(n-m)（k=0,1,...,n-m-1），渐近线在实轴上的交点（重心）为σ_a = (Σ极点实部 - Σ零点实部)/(n-m)。例如G(s)=1/(s(s+2)(s+4))，n=3、m=0，渐近线3条，角度60°/180°/300°，重心σ_a=-2。

Question 3

如何从根轨迹读取阻尼比ζ与固有频率ωn？

Accepted Answer

当闭环极点为复数σ±jωd时，固有角频率ωn=√(σ²+ωd²)，阻尼比ζ=−σ/ωn。在s平面上，原点到极点的距离等于ωn，与负实轴的夹角θ=arccos(ζ)。根据设计目标（如ζ≥0.5、ωn≥5 rad/s），选择满足条件区域内的增益K。

Question 4

根轨迹穿越虚轴时的增益K如何求？

Accepted Answer

将s=jω代入特征方程，联立实部=0与虚部=0求解（劳斯-霍尔维茨法）。此临界增益K_c下系统呈持续振荡（中立稳定），超过则不稳定。Ziegler-Nichols PID整定法中，以K_c和持续振荡周期T_c为基础设定P/I/D增益。

根轨迹法·控制系统设计工具

根轨迹构成规则