控制系统参数
固有角频率 ωn
100 rad/s
阻尼比 ζ
0.70
反馈增益 K
1.00
调节基准 ε
2.0 %
PID参数（Z-N法）
临界增益 Ku
10.0
临界振荡周期 Tu
0.50 s
PID推荐参数
Kp = —
Ti = — s
Td = — s
—
带宽 -3dB (rad/s)
—
相位裕量 PM (°)
—
调节时间 ts (ms)
—
超调量 (%)
—
固有频率 fn (Hz)
—
稳态误差（纯P）
| 计算项目 | 数值 | 单位 |
|---|---|---|
| 固有角频率 ωn | — | rad/s |
| 固有频率 fn | — | Hz |
| 阻尼比 ζ | — | — |
| 带宽（-3dB） | — | rad/s |
| 共振频率 ωr | — | rad/s |
| 相位裕量 PM | — | ° |
| 调节时间 ts | — | ms |
| 超调量 | — | % |
| 最大共振峰值 Mr | — | dB |
计算理论说明
二阶传递函数：
$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$调节时间与超调量：
$$t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}, \quad \text{OS} = \exp\!\left(\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right) \times 100\%$$共振峰值与带宽：
$$M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \quad (\zeta < 0.707), \quad \omega_{BW} = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2+\sqrt{4\zeta^4-4\zeta^2+2}}$$
稳定性目标： 相位裕量 PM > 45°（推荐45°~60°）。增益裕量 GM > 6dB。阻尼比 ζ=0.6~0.8为实用设计范围。工业机器人和数控伺服的带宽通常为100~1000 rad/s。
工程师对话 — "为什么相位裕量目标是45度？"
🧑🎓 "老师，教材上说相位裕量要保证45度以上，为什么偏偏是这个数？"
🎓 "相位裕量告诉你在开环增益为0dB的频率点，实际相位距离-180°还有多少余量。到达-180°时，负反馈就变成了正反馈，系统开始振荡。45°大概对应阻尼比0.42，超调量约20%，响应速度也还不错，是工程实用的平衡点。"
🧑🎓 "如果把相位裕量提高到60度，会有什么变化？"
🎓 "阻尼比提高到约0.6，超调量降到约9%，响应更稳定但稍慢，对模型不确定性的鲁棒性更好。工业上30°以下就属于'危险区'了，响应会非常振荡，设备无法接受。"
🧑🎓 "实际伺服驱动器里，工程师是怎么达到相位裕量要求的？"
🎓 "主要手段有两个：一是通过微分（D）作用超前相位，二是降低增益来减小穿越频率。进阶做法是用陷波滤波器消掉机械共振峰，压制完之后再提高带宽。现代高性能伺服就是这么做的。"