控制系统参数
固有角频率 ωn
rad/s
阻尼比 ζ
反馈增益 K
调节标准 ε
%
PID参数 (Ziegler-Nichols)
临界增益 Ku
临界振荡周期 Tu
s
PID 推荐值
Kp = —
Ti = — s
Td = — s
暂停时，移动滑块可立即更新结果。
计算结果
0.0
当前位置 θ [%]
100.0
偏差 e [%]
4.6
超调量 Mp [%]
57
调节时间 ts (±2%) [ms]
25
上升时间 tr (10–90%) [ms]
0.00
稳态偏差 ess [%]
目标值（阶跃设定值）r
100 %
位置响应 θ(t)
目标值 r
±2% 稳定带
使用方法: 调节左侧面板的“阻尼比 ζ”“固有角频率 ωn”和下方的“目标值 r”，旋转臂移向目标并稳定的过程及响应曲线会实时更新。ζ=0.7 时超调约为 4.6%，ζ≥1 时无超调，可直观体验调节时间 ts≈4/(ζωn)。
伯德图
—
带宽 (-3dB) (rad/s)
—
位相裕度 PM (°)
—
整定时间 ts (ms)
—
超调量 (%)
—
固有频率 fn (Hz)
—
稳态误差 (比例项)
理论和主要公式
| 项目 | 值 | 单位 |
|---|---|---|
| 固有角频率 ωn | — | rad/s |
| 固有频率 fn | — | Hz |
| 阻尼比 ζ | — | — |
| 带宽 (-3dB) | — | rad/s |
| 谐振频率 ωr | — | rad/s |
| 相位裕度 PM | — | ° |
| 调节时间 ts | — | ms |
| 超调量 | — | % |
| 最大谐振峰值 Mr | — | dB |
| Settling threshold eps | - | % |
| ZN PID Kp | - | - |
| ZN PID Ti | - | s |
| ZN PID Td | - | s |
工程师对话 — "位相裕度是什么用途的指标？"
🙋 “常听人说相位裕度要达到 45 度以上，为什么是这个数值？”
🎓 “在环路增益变为 0dB 的频率（增益交叉频率）处，相位距离 -180° 还差多少度，就是相位裕度。达到 -180° 时输出反相，反馈变为正反馈，系统便会振荡。”
🙋 “那么达到 45° 以上就可以放心了吗？为什么是 45 度？”
🎓 “粗略来说，PM≈45° 对应 ζ≈0.42，超调约 20%，响应也相当快，是一个实用的平衡点。PM=60° 时 ζ≈0.6，系统更加稳定；PM 低于 30° 时，响应会表现出明显振荡。”
🙋 “实际工业机械中如何确保相位裕度？”
🎓 “可通过微分（D）作用使高频相位超前，或降低增益以限制带宽。近年来常采用陷波滤波器抑制机械谐振频率处的峰值，然后再提高带宽。”
理论与主要公式
二阶系统传递函数：
$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$调节时间与超调量：
$$t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}, \quad \text{OS}= \exp\!\left(\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right) \times 100\%$$谐振峰值与带宽：
$$M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\quad (\zeta \lt 0.707), \quad \omega_{BW}= \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2+\sqrt{4\zeta^4-4\zeta^2+2}}$$