什么是终端沉降速度?

颗粒在流体中靠重力下沉时,当重力(扣除浮力)与流体阻力恰好平衡,颗粒不再加速,此时维持的恒定速度即为终端沉降速度。它是沉淀池、旋风分离器、流化床等所有涉及颗粒在流体中运动的过程中最基础的物理量。

为什么不同 Reynolds 区域要用不同的公式?

球形颗粒的阻力系数 C_D 随 Reynolds 数变化显著。Re<0.1 的 Stokes 区域中粘性占主导,C_D=24/Re,可解析求解。0.1≤Re<1000 的过渡区域采用 Schiller-Naumann 等关联式;1000≤Re<2×10^5 的 Newton 区域中 C_D≈0.44 几乎为常数。每个区域形式不同,需要先用 Stokes 解估算 Re,再选用合适的公式迭代求解。

为什么必须采用迭代计算?

在过渡区域,C_D 依赖 U_t,而求解 U_t 又需要 C_D,而 C_D 又依赖 Re=ρUD/μ,即 U_t——形成相互依赖的鸡生蛋问题。我们以 Stokes 解为初值,反复执行 Re→C_D→U_t 更新直到 |U_new−U_old|/U_old < 1e−4 收敛。本工具最多迭代 20 次。

实际中有哪些应用?

给排水沉淀池根据悬浮物的沉降速度确定池表面负荷率上限。旋风分离器利用离心场中颗粒终端速度的差异进行粒径分级。气象学中雨滴粒径与终端速度关系是降雨强度计算和雷达反演粒径分布的基础。化工流化床则用 U_t 估算颗粒夹带极限气速。

颗粒终端沉降速度模拟器 — 免费在线计算工具

Q: 为什么必须采用迭代计算?

在过渡区域,C_D 依赖 U_t,而求解 U_t 又需要 C_D,而 C_D 又依赖 Re=ρUD/μ,即 U_t——形成相互依赖的鸡生蛋问题。我们以 Stokes 解为初值,反复执行 Re→C_D→U_t 更新直到 |U_new−U_old|/U_old < 1e−4 收敛。本工具最多迭代 20 次。

Q: 实际中有哪些应用?

给排水沉淀池根据悬浮物的沉降速度确定池表面负荷率上限。旋风分离器利用离心场中颗粒终端速度的差异进行粒径分级。气象学中雨滴粒径与终端速度关系是降雨强度计算和雷达反演粒径分布的基础。化工流化床则用 U_t 估算颗粒夹带极限气速。

参数设置

颗粒直径 D

颗粒密度 ρ_p

kg/m³

流体密度 ρ_f

kg/m³

流体粘度 μ

Pa·s

重力加速度 g = 9.81 m/s²。最多迭代 20 次,收敛判定 |ΔU/U|<1e−4。

计算结果

—

终端沉降速度 U_t

—

终端 Reynolds 数 Re_t

—

阻力系数 C_D

—

流动区域

Re ― U_t 关系(等粒径理论曲线)

横轴 = Reynolds 数(对数)/纵轴 = 终端速度 U_t(对数)/灰色点 = D=0.01,0.1,1,10mm 理论值/黄色点 = 当前 (Re, U_t)/竖虚线 = 区域边界 Re=0.1, 1000

理论与主要公式

球形颗粒重力沉降时,有效重力与流体阻力达到平衡时即得到终端速度。

由力的平衡(重力 − 浮力 = 阻力)得到的通式:

$$U_t = \sqrt{\dfrac{4\,g\,D\,(\rho_p-\rho_f)}{3\,\rho_f\,C_D}}, \qquad Re=\dfrac{\rho_f\,U_t\,D}{\mu}$$

阻力系数 C_D 按 Reynolds 区域的表达:

$$C_D = \begin{cases} 24/Re & (Re<0.1)\\ \dfrac{24}{Re}\,(1+0.15\,Re^{0.687}) & (0.1\le Re<1000)\\ 0.44 & (1000\le Re<2\times10^5) \end{cases}$$

在 Stokes 区域可直接解析求解:

$$U_t^{\text{Stokes}} = \dfrac{g\,D^2(\rho_p-\rho_f)}{18\,\mu}$$

过渡区域中 C_D 依赖 U_t,需通过 Re→C_D→U_t 反复更新进行迭代求解。

颗粒终端沉降速度模拟器是什么

🙋

把砂子撒进水里,刚开始会越来越快,但很快就以一个稳定的速度往下沉。这是怎么回事呀?

🎓

大致来说,重力加速颗粒下落,但流体阻力随速度上升而增大,直到重力(扣除浮力)与阻力刚好相等。从那一刻起加速度为零,速度恒定——这就是"终端沉降速度 U_t"。试试上面的"砂粒/水"预设,1mm 的砂子在水里大约以 0.14 m/s 沉降。

🙋

那么大颗粒和小颗粒,公式不一样吗?右边图上那个折线让我有点在意。

🎓

观察得很敏锐。颗粒周围流动状态由 Reynolds 数 Re=ρUD/μ 决定。Re<0.1 的慢速流动(Stokes 区域)中粘性占主导,C_D=24/Re,可直接得到 $U_t=gD^2\Delta\rho/(18\mu)$,与直径平方成正比。而 Re>1000 的 Newton 区域中 C_D≈0.44 几乎为常数,$U_t \propto \sqrt{D}$,只与平方根成正比。

🙋

可是刚才那个砂粒 Re=138,落在过渡区域。这种情况怎么算?

🎓

这才是有意思的地方。在过渡区域 C_D 依赖 U_t,而求 U_t 又得先有 C_D——典型的"鸡生蛋"问题。所以采用迭代:先用 Stokes 解作初值,算 Re,算 C_D,更新 U_t,反复迭代。本工具最多 20 次,直到 |ΔU/U|<1e−4 收敛。试试"钢球/油"预设,看 5mm 钢球在粘油里以多少 m/s 沉降。把粘度调大,Re 会下降并向 Stokes 区域靠近,这一点也很值得体会。

常见问题

本工具假设颗粒为球形。实际粉末和砂粒形状不规则,在相同 Re 下阻力系数比球形大。工程上需引入"球形度系数",采用等体积球径或等速球径,或使用 Haider-Levenspiel 等非球形关联式。设计时应将本工具结果视为上限,适当加安全系数。

本工具假设无限稀释(单颗粒独立沉降)。颗粒浓度升高时,上升的反向流体回流和颗粒间相互作用会降低表观沉降速度,称为"干扰沉降",可用 Richardson-Zaki 公式 U_int=U_t·(1−φ)^n 修正(φ 为颗粒体积分数,n 与 Re 有关)。沉淀池和浓缩槽设计中干扰项往往占主导。

当 ρ_p < ρ_f 时颗粒在浮力作用下上升。本工具显示速度的绝对值并判定 Reynolds 区域(如油中气泡或水中塑料碎片的上升速度)。需要注意的是,气泡因表面张力和形变常常无法保持球形,Re 较大时需采用 Hadamard-Rybczynski 或 Mendelson 波动理论等其他模型。

当 Re 超过约 1000 后,球后方出现大尺度紊乱的分离涡,压力差贡献了大部分阻力。粘性应力的相对贡献变小,流型对 Re 的依赖减弱,因此 C_D≈0.44 几乎为常数。Re 进一步超过约 2×10^5 时,边界层转捩为湍流,分离点向后移,C_D 急剧下降——这就是著名的"阻力危机"现象。

实际工程应用

给排水沉淀池设计:给水净化和污水处理的沉淀池中,原水悬浮物(SS)的沉降速度决定了表面负荷率(流量/池表面积)的上限。在 Stokes 区域计算 U_t 后,根据目标去除粒径设计池子尺寸。实际工艺采用混凝沉淀以增大颗粒粒径,获得更快沉降。

旋风分离器与离心分级:用旋风分离器分离气流中的粉尘时,以离心场(将 g 替换为 ω²r)的终端速度差进行粒径分级。粉体工艺和空气净化器中广泛使用,设计时颗粒的 Cd-Re 关系不可或缺。

气象与降雨物理:雨滴终端速度随粒径增大,1mm 的小雨滴约 4 m/s,5mm 的大雨滴约 9 m/s(由于变形效果实际值低于理论)。这是降雨强度估算和从雷达反射回波反演粒径分布算法的基础。

化工流化床:固体催化剂流化床反应器中,气速超过颗粒终端速度后颗粒被夹带飞散。稳定运行需将气速控制在 U_mf(起始流化速度)与 U_t 之间,本工具的 U_t 用作飞散开始的上限气速。

常见误解与注意事项

最常见的误解是认为"沉降速度与粒径成正比"。实际上 U_t 在 Stokes 区域随 D 的二次方变化,在 Newton 区域随 D 的平方根变化,过渡区域则介于两者之间。请将粒径滑块从 0.001mm 到 100mm 拉动,观察 U_t 与 Re。把直径变成 10 倍时,U_t 在不同区域的变化幅度截然不同。设计中若一刀切假设"直径翻倍速度也翻倍",尤其在砂粒及以上尺寸会大幅出错。

另一种常见错误是试图用 Stokes 解处理所有粒径。Stokes 公式仅适用于 Re<0.1。即便是默认值(1mm 砂粒/水),Stokes 估算的 Re 已达 818,完全超出适用范围;若强行套用 Stokes 公式会得到 U_t≈0.82 m/s,大约是真实值的 6 倍。在过渡区域和 Newton 区域必须用 Re 反复更新 C_D 进行迭代求解。本工具自动完成迭代,只需关注 Re 卡片在区域边界附近时公式的切换即可。

最后要警惕"终端速度瞬时达到"的误解。颗粒从静止加速到 U_t 的 99% 需要有限的时间和距离:Stokes 区域微米级颗粒数毫秒,Newton 区域厘米级颗粒数秒。在沉淀池和落塔设计中,加速段距离不可忽略,尤其短容器内需引入助走段修正。

颗粒终端沉降速度模拟器 — 球形颗粒沉降与阻力系数

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常见误解与注意事项

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