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流体力学模拟器

终端沉降速度模拟器 — 球形粒子的沉降与阻力系数

球形粒子在流体中因重力沉降的终端速度按雷诺兹数区域迭代计算。改变粒子径、密度、粘度，直观学习斯托克斯区、中间区、牛顿区的沉降行为和阻力系数转变。

参数设置
粒子径 D
mm
粒子密度 ρ_p
kg/m³
流体密度 ρ_f
kg/m³
流体粘度 μ
Pa·s

重力加速度 g = 9.81 m/s²。迭代最多 20 次，|ΔU/U|<1e−4 时收敛判定。

计算结果
—
终端沉降速度 U_t
—
终端雷诺兹数 Re_t
—
阻力系数 C_D
—
流动区域
Re ― U_t 关系（等粒径理论线）

横轴 = 雷诺兹数（对数）／纵轴 = 终端速度 U_t（对数）／灰线 = D=0.01,0.1,1,10mm 理论线／黄点 = 当前 (Re, U_t)／纵虚线 = 区域边界 Re=0.1, 1000

理论与主要公式

球形粒子的重力沉降，在重力与浮力之差（有效重量）与流体阻力平衡时达到终端速度。

由力的平衡（重力 − 浮力 = 阻力）得到的一般公式：

$$U_t = \sqrt{\dfrac{4\,g\,D\,(\rho_p-\rho_f)}{3\,\rho_f\,C_D}}, \qquad Re=\dfrac{\rho_f\,U_t\,D}{\mu}$$

阻力系数 C_D 的雷诺兹数区域别表示：

$$C_D = \begin{cases} 24/Re & (Re\lt 0.1)\\ \dfrac{24}{Re}\,(1+0.15\,Re^{0.687}) & (0.1\le Re\lt 1000)\\ 0.44 & (1000\le Re\lt 2\times10^5) \end{cases}$$

在斯托克斯区可直接获得解析解：

$$U_t^{\text{Stokes}} = \dfrac{g\,D^2(\rho_p-\rho_f)}{18\,\mu}$$

在中间区，C_D 依赖于 U_t，需要迭代计算（Re→C_D→U_t 反复更新）来求解。

沉降动画 — 从静止加速到终端速度及力的平衡
0.0
当前速度 v [mm/s]
—
终端速度 v_t [mm/s]
—
雷诺兹数 Re
—
阻力系数 C_D
—
流动区域
重力 W 浮力 F_b 阻力 F_d v–t 轨迹

左：球从静止在流体中下落。速度上升时阻力（绿色、向上）增大，与重力（红色）−浮力（蓝色）平衡的瞬间加速停止，达到终端速度。右：速度随时间变化（虚线＝终端速度 v_t）。改变粒子径、密度或粘度，终端速度与接近的快慢都会改变。

终端沉降速度模拟器简介

🙋
把砂放在水里，一开始会加速下沉，但后来速度就不变了。这是为什么呢？
🎓
简单说，重力让粒子加速，但随着速度增加，流体阻力也越来越大。最后重力（减去浮力）和阻力达到平衡，加速度变为零，速度就不变了——这就是"终端沉降速度 U_t"。在模拟器上按"砂/水"预设，可以看到 1mm 砂粒在水中约以 0.14 m/s 沉降。
🙋
粒子小的时候和大的时候，计算公式是不是不一样？右边那个曲线折成两段让我很好奇……
🎓
你观察得真仔细！粒子周边的流动状态由雷诺兹数 Re=ρUD/μ 决定。Re<0.1 的缓流（斯托克斯区）中，粘性主导，C_D=24/Re，公式是 $U_t=gD^2\Delta\rho/(18\mu)$，速度与径的平方成正比。反之 Re>1000 的牛顿区中 C_D≈0.44 基本恒定，$U_t \propto \sqrt{D}$，只与平方根有关。
🙋
刚才砂粒的 Re=138，那是中间区对吧？怎样计算中间区的？
🎓
完全正确！中间区里 C_D 依赖于 U_t，而 U_t 又需要 C_D——这就是"鸡生蛋蛋生鸡"的问题。所以用迭代法：先从斯托克斯解得初始估计，然后反复更新 Re→计算 C_D→求新的 U_t，直到变化小于 1e−4 为止。这个工具自动反复最多 20 次。试试"钢球/油"预设，看看 5mm 钢球在粘油中沉降多快。改变粘度，你会看到 Re 下降，流动区域逐步接近斯托克斯区，特别有趣。

常见问题

本工具假设粒子为球形。实际粉体和砂粒形状不规则，相同雷诺兹数下阻力系数比球形大。工程上通常用"形状系数"、"等体积球径"或"等速球径"补正，或采用 Haider-Levenspiel 等非球形相关式。设计时把本工具结果当作上限估计，用安全系数补正。
本工具假设粒子极度稀释（单粒子沉降）。粒子浓度增加时，上升的流体回流和粒子间相互作用会降低沉降速度，称为"干扰沉降"。可用 Richardson-Zaki 公式 U_int=U_t·(1−φ)^n（φ=粒子体积分率，n 依赖 Re）补正。沉淀池和浓缩槽设计中干扰项往往占主导。
ρ_p < ρ_f 时粒子因浮力上升。本工具以绝对值显示速度，只进行雷诺兹数和流动区域判定（油中气泡、塑料片上升等）。注意气泡通常因表面张力和变形无法保持球形，Re 很大时需用 Hadamard-Rybczynski 或 Mendelson 波动理论等专门模型。
Re 约 1000 以上，球形周边产生大规模湍流剥离涡，压力差成为阻力主体，粘性剪应力相对变小。流动模式对 Re 变化反应迟钝，故 C_D≈0.44 基本不变。当 Re≈2×10^5 以上，边界层转为湍流，剥离点后移，会出现"阻力危机"，C_D 急剧下降。

现实应用

自来水和污水处理的沉淀池设计：在水处理和污水处理的沉淀池中，原水中悬浮物（SS）的沉降速度决定了池的表面负荷率（流量/池表面积）上限。本工具在斯托克斯区计算 U_t，根据目标除去粒径设计池大小。实际中常通过凝聚沉降增大粒径，加快沉降。

旋风分离器和离心分级：用旋风分离器从气流中分离粉尘时，在离心场中（重力加速度 g 换为离心加速度 ω²r）的终端速度差实现粒径分级。广泛用于粉体工艺和空气净化，设计需要 C_D-Re 关系。

气象与降雨物理：雨滴终端速度随粒径增加，直径 1mm 小雨滴约 4 m/s，5mm 大粒约 9 m/s（考虑变形效应实际更低）。降雨强度估算和雷达反射回波逆推粒径分布都以此为基础。

化学工艺和流动层：固体催化剂流动层反应器中，当气体速度超过粒子终端速度时粒子飘起"飞溅"。稳定运行需保持气速在 U_mf（流动化启动速度）和 U_t 之间，本工具给出 U_t 上限。

常见误解和注意

最常见的误解是"沉降速度与粒径成线性关系"。实际上斯托克斯区与 D 的平方成正比，牛顿区与 √D 成正比，中间区则介于两者。在模拟器上把粒径从 0.001mm 拖到 100mm，看看 U_t 和 Re 如何变化。径变 10 倍时 U_t 增长倍数因区而异。设计中不能简单地说"径加倍速度也加倍"，特别是砂粒以上尺寸会大幅偏离。

常见的第二个错误是只用斯托克斯公式应付所有粒径。斯托克斯公式仅对 Re<0.1 有效。模拟器默认值（砂 1mm/水）中，斯托克斯估计的 Re 是 818，完全超出范围，若强行用斯托克斯公式会得 U_t≈0.82 m/s，是真值的 6 倍！中间和牛顿区必须用迭代法反复更新 C_D。看本工具，当 Re 跨越区域边界时，计算的公式会自动切换，这是关键。

最后常忽视的是"粒子瞬时达到终端速度"的假设。实际上从静止加速到 U_t 的 99% 需要有限时间和距离。斯托克斯区的微粒（μm 量级）需毫秒级，牛顿区大粒子（cm 量级）需秒级。沉淀池或落塔设计中，粒子助跑段有时不可忽视，特别是容器较短时需要补正。

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使用指南

  1. 用粒子径滑块（slD）在 0.1～1000 μm 范围内设置要沉降的球形粒子直径
  2. 输入粒子密度（slRhoP）和流体密度（slRhoF），确保密度差 Δρ = ρ_p - ρ_f。例：石英粒子 2650 kg/m³，水 1000 kg/m³
  3. 设置流体动粘度（slMu）。例：水 20℃ 时 1.0 mPa·s，空气 0.018 mPa·s。执行模拟后即可获得终端速度 U_t、雷诺兹数 Re_t、阻力系数 C_D

具体计算示例

石英粒子（ρ_p=2650 kg/m³）在水中（ρ_f=1000 kg/m³，μ=1.0 mPa·s）沉降时：粒子径 d=100 μm 时，终端速度 U_t≈0.98 mm/s，Re_t≈0.098，属斯托克斯区（Re<0.1），阻力系数 C_D≈24/Re_t≈245。而 d=1 mm 时终端速度 U_t≈98 mm/s，Re_t≈98，进入牛顿区，阻力规律从 24/Re 转变为 √(4gd/3C_D)，C_D≈0.47

工程应用注意

  1. 粒子径在 100 μm 以下的微粉体适用斯托克斯定律，终端速度与径平方成正比；但 1 mm 以上时进入牛顿区，速度对径的依赖性减弱，沉淀池设计必须严格检查流速条件
  2. 当雷诺兹数 Re_t>1000 时，球形假设失效，非球形实粒子需考虑升力和旋转效应
  3. 温度变化对粘度的指数效应巨大（如水从 10℃ 的 1.31 mPa·s 到 30℃ 的 0.80 mPa·s），终端速度受影响很大，设置环保参数时必须精确