🙋
"量纲分析"上课好像讲过，可它到底有什么实际用处呢？
🎓
用处很大。简单说，当一个现象牵涉的变量太多、无法穷举实验时，量纲分析能帮你把变量整理得更清爽。以圆柱绕流为例，阻力 $F$ 取决于直径 $D$、流速 $U$、流体密度 $\rho$ 和粘度 $\mu$——五个变量。π 定理告诉你：只要研究两个无量纲数——雷诺数 $Re$ 和阻力系数 $C_D$——就够了。把曲线 $C_D = f(Re)$ 量一次，所有情形都能预测。
🙋
五个一下子压到两个，听上去像魔法。这是怎么做到的？
🎓
关键在基本量纲提供的约束。$F, D, U, \rho, \mu$ 全都可以写成 M（质量）、L（长度）、T（时间）的组合。物理方程两边量纲必须一致，这就抹掉 3 个自由度。结果就是 $n - r = 5 - 3 = 2$，正是白金汉π的结论。再挑出有物理意义的群——Re 与 $C_D$——绕流阻力问题就坍缩成一条曲线。
🙋
画面上左边是原型，右边是模型。这就是"模型相似律"在起作用吧？
🎓
没错，这是工程上最甜的部分。既然 $C_D = f(Re)$，那么只要模型与原型的 Re 相同，$C_D$ 自动相同，模型测出的力就能精确预测原型受力。这就是风洞和拖曳水池能工作的原理。用默认值——$D_p = 1\,$m, $U_p = 10\,$m/s, 模型 $D_m = 0.10\,$m，同流体——要满足 Re 匹配，模型流速必须达到 $U_m = 100\,$m/s。缩比的代价可不轻。
🙋
奇怪，力比那张卡片显示 1.000。模型小那么多，受力不应该小很多吗？
🎓
观察很敏锐。在同流体且 Re 匹配下，模型加速带来的额外动能恰好抵消了面积缩小：$F_m/F_p = (U_m/U_p)^2 (D_m/D_p)^2 = 100 \times 0.01 = 1$。体积只有原型的 1/1000，受力却完全相同。这一点会直接影响传感器选型和夹具设计。
🙋
那"运动粘度比"调成 1 以外的值是什么意思？
🎓
代表原型与模型使用不同流体的情况。比如原型在空气中、模型在水里，按运动粘度算 $\nu_m/\nu_p \approx 0.07$。你拉动滑块就会看到 $U_m$ 下降——换流体可以把模型流速降到现实可达的范围。这正是高雷诺数风洞、高压水洞的设计思路。
1. 设定原型尺寸与流速（D_p, U_p）： 首先指定要预测的原型直径与流速。默认 $D_p = 1$ m、$U_p = 10$ m/s，对应"水中直径 1 m 的圆柱在 10 m/s 流速下"的情形。
2. 设定模型直径（D_m）： 试验中使用的模型直径，默认 $D_m = 0.10$ m（原型的 1/10）。缩比 $\lambda = D_m/D_p$ 在结果区显示。
3. 选择试验流体（ν_m/ν_p）： 模型与原型流体的运动粘度比。同流体取 1.0；原型在空气、模型在水中约取 0.07。
4. 读取结果： "相似律给出的模型流速 U_m"是满足 Re 匹配所需的模型试验流速；"力比 F_m/F_p"显示模型受力相对于原型的倍数。
第 1 步：选定相关变量。 圆柱阻力涉及阻力 $F$、直径 $D$、流速 $U$、密度 $\rho$、粘度 $\mu$。表面粗糙度、来流湍流度暂不考虑。
第 2 步：写出基本量纲。 $F$ [MLT⁻²]、$D$ [L]、$U$ [LT⁻¹]、$\rho$ [ML⁻³]、$\mu$ [ML⁻¹T⁻¹]，基本量纲 M、L、T 共 3 个。
第 3 步：求 π 群个数。 由白金汉π定理，独立无量纲群个数 $n - r = 5 - 3 = 2$。
第 4 步：构造 π 群。 取 $D$、$U$、$\rho$ 为重复变量，把 $F$ 与 $\mu$ 无量纲化：
第 5 步：写出闭合关系。 π 定理保证 $C_D = f(Re)$。一次测出曲线，便能预测任意 $D, U, \rho, \mu$ 的组合。
第 6 步：导出模型相似律。 当 $Re_m = Re_p$ 且 $\rho_m = \rho_p$ 时：
$\dfrac{U_m}{U_p} = \dfrac{D_p}{D_m}\cdot\dfrac{\nu_m}{\nu_p}, \qquad \dfrac{F_m}{F_p} = \left(\dfrac{U_m}{U_p}\right)^2 \left(\dfrac{D_m}{D_p}\right)^2$
默认值手算： $D_p=1.0$ m, $U_p=10$ m/s, $D_m=0.10$ m, $\nu_m/\nu_p=1.0$
飞机与汽车的风洞试验： 直接对全尺寸车辆与飞机做试验既昂贵又困难。基于π定理的相似律允许将 1/10–1/50 的模型放入风洞，匹配 Re（跨音速时再加 Ma）就能高精度预测阻力、升力与俯仰力矩。F1 车队用风洞模型抢得百分之几秒，正是依赖这一原理。
船模试验（拖曳水池）： 造波阻力主要由弗劳德数 Fr 支配。将船模放入拖曳水池并匹配 Fr，可以用便于操作的模型预测巨型油轮、航母的阻力。粘性阻力（Re 主导）则用"弗劳德拆分"方法单独修正。
化学装置放大： 实验室烧瓶里开发的反应与搅拌工艺，需要放大到几百至几千倍体积的工业反应器。基于桨叶 Re、Nu、Damkohler 等 π 群的相似律告诉工程师：在几何、运动、热传等无法全部同时相似时，应优先匹配哪一个 π 群。
河工与港工物理模型： 洪水、海啸爬高、港口波浪等问题，除数值模拟外仍依赖物理模型试验。地形按比例缩制，按 Fr 相似换算流速与时间，从而对堤防漫顶、防波堤效果进行实证验证。
最常见的误解是"模型越小，试验越轻松" 。对 Re 匹配恰恰相反：$U_m = U_p \cdot (D_p/D_m)$，1:10 模型流速要快 10 倍，1:100 模型要快 100 倍。把 $D_m$ 滑块拉到最小，$U_m$ 会飙到不可思议的数值。原型水中 10 m/s 的圆柱，1:100 模型需要 1000 m/s——根本无法实现。实际做法是：换流体（降低 $\nu$）、加压（高压风洞），或者只匹配主导 π 群、其他做修正。
第二个陷阱是"以为所有无量纲数都能同时匹配" 。自由表面流动同时需要 Re 与 Fr 相似，但在同一流体里这意味着 $\nu_m/\nu_p = (D_m/D_p)^{3/2}$，对应一种根本不存在的流体。跨音速飞机测试同时需要 Re 与 Ma 匹配，也很困难。工程做法是"选出最主导的 π 群匹配它，其余项做修正"。π 定理告诉我们"如何压缩变量"，并不保证"奇迹般地完全复现"。
第三个误区是"以为量纲分析能决定全部物理" 。π 定理保证 $C_D = f(Re)$ 的形式 ，但函数 $f$ 的具体形状必须靠实验或 CFD 来确定——比如 Stokes 区低 Re 行为、Re ≈ 10⁵ 附近的"阻力危机"、超临界区平台。本模拟器给出相似与缩比的骨架，圆柱阻力的具体数值并未输出。π 定理是整理工具 ，不能代替物理定律本身。
为什么船模试验里 Re 与 Fr 难以同时相似？
Re 匹配要求 $U_m = U_p (D_p/D_m)$，Fr 匹配要求 $U_m = U_p\sqrt{D_m/D_p}$。两者合起来给出 $\nu_m = \nu_p (D_m/D_p)^{3/2}$。对 1:100 的水模，需要运动粘度只有水千分之一的流体——现实中并不存在。因此船模试验通常只匹配 Fr，粘性阻力则用 ITTC 1957 摩擦线等公式单独修正，称为"弗劳德拆分法"。
本工具把形状系数从 C_D 公式中省略了，与正式定义有什么差别？
教科书定义为 $C_D = F / (\tfrac{1}{2}\rho U^2 A)$，参考面积 $A = D \times \ell$。本工具显示的是 $\pi_2 \propto F / (\rho U^2 D^2)$，即去掉 1/2 与形状系数后的核心无量纲组合。π 定理只决定群的形式，不能确定前面的常数，因此 $\pi_2 = (1/2) \times C_D \times (\text{形状系数})$ 是合法的改写。讨论相似律与力比时简化形式足够，但写工程报告请采用标准 $C_D$ 定义。
π 群的取法是唯一的吗？
独立群的个数 是唯一的，取法 则不唯一。除 $\pi_1 = Re$、$\pi_2 = C_D$ 外，也可用 $\pi_1' = Re^2$、$\pi_2' = \pi_2/\pi_1$ 等任意相互独立的组合。惯例上选物理意义清晰且广泛使用的形式（Re、Fr、Ma、Nu 等）。"重复变量"的选择也会改变中间代数。建议初学者按教科书流程操作，最后将结果与已知命名无量纲数对照即可。
本工具把密度比固定为 1，那 ρ_m ≠ ρ_p 时怎么处理？
本工具默认同流体（$\rho_m/\rho_p = 1$）。对不同流体（例如原型空气、模型水），用运动粘度比滑块表达即可。由于 $\nu = \mu/\rho$，Re 匹配条件 $\rho_m U_m D_m / \mu_m = \rho_p U_p D_p / \mu_p$ 简化为 $U_m D_m / \nu_m = U_p D_p / \nu_p$，密度自动消去。力比一般形式为 $F_m/F_p = (\rho_m/\rho_p)(U_m/U_p)^2(D_m/D_p)^2$，若密度比不为 1 需再乘以实际 ρ 比。