评估入射高 h 是用于评估边缘光线焦点偏移的高度。透镜直径 D 用于设置绘图范围（最大到 D/2）。
多高度平行光线（绿=靠近轴心、红=边缘）／蓝色虚线=近轴焦点 f_p、橙色虚线=边缘光线焦点 f_marginal
平凸球面透镜（第二面为平面）的近轴焦距由折射率 n 和曲率半径 R 给出：
$$f_\text{paraxial} = \frac{R}{n-1}$$
入射高度 h 处的三阶球差（焦点位置偏移）可近似为如下表达式。h 越大，焦距越短。
$$\Delta f(h) = -\,f_\text{p}\,\frac{(n^2+2n-1)\,h^2}{8\,n\,(n-1)\,R^2}$$
边缘光线焦点、纵向球差 LA 与数值孔径 NA 分别为：
$$f_\text{marginal} = f_\text{p} + \Delta f(h),\quad LA = f_\text{p} - f_\text{marginal},\quad NA = \frac{D/2}{f_\text{p}}$$
球差随 h² 线性增长，是「正的三阶像差」。系数前有负号，所以边缘光线焦点 f_marginal 比近轴焦点更靠近透镜。
什么是球差模拟器
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拍照时把光圈开大边缘会糊，缩小光圈整体就锐利。这跟球差有关系吗？
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关系很大。简单说，球面透镜会让靠近光轴的光线和经过边缘的光线聚于不同位置。写成公式，焦距偏移 $\Delta f(h)$ 与入射高度 $h$ 的平方成正比。在上面的模拟器里增大「评估入射高 h」，就能看到边缘焦点 f_marginal 相对近轴焦点 f_p 越来越向内偏移。
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h 的平方？也就是说边缘光线的影响远大于近轴光线？
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对。所以缩小光圈遮挡边缘光线，仅靠近轴光线成像，就会变锐利。默认值 R=100mm, n=1.5, h=20mm 下 LA 约5.67mm，相对200mm的近轴焦距约有3%的焦点弥散。把 h 减半到10mm，LA 就缩到约1.4mm，是四分之一。平方律的效应非常强。
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改变折射率 n 时 LA 会怎样？用高折射率玻璃会改善吗？
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会改善。看系数 $(n^2+2n-1)/(8n(n-1))$ ，把 n 从1.5提到1.8，LA 大约会减半。所以高折射率玻璃和高折射率树脂能在单片透镜上抑制球差。再削成非球面，原理上可逼近零。手机摄像头镜头几乎全是非球面。
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数值孔径 NA = (D/2)/f_p 究竟代表什么？
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NA 衡量聚光「强度」，对应于透镜接纳并聚拢的光锥半角的正弦。默认值 NA=0.150。NA 越大越亮、分辨率越高，但球差按 h² 增加。高 NA 设计的核心难题就是球差校正，望远镜和显微镜的物镜要用十几片镜片，就是为了在高 NA 下校正像差。
常见问题
非球面透镜为什么能减小球差？
非球面透镜把表面形状设计成带圆锥常数和高阶系数的自由曲面，而不是单纯的球面。可以使折射在边缘处稍微减弱，让边缘光线与轴上光线汇聚在同一点。智能手机摄像头与蓝光拾取头的聚光镜头是典型例子，仅靠一片就能把球差压到接近零。
用多片透镜如何校正球差？
经典方法是把凸透镜与凹透镜胶合成「双胶合（消色差）」。凸镜带来负球差，凹镜带来正球差，选择合适的折射率与形状可以让二者相互抵消。三片的三合镜或四片的摄影镜头则能同时抑制球差、慧差、像面弯曲、畸变和色差。
赛德尔（Seidel）五像差是什么？
赛德尔把成像光学系统的单色三阶像差分为五类：球差、慧差、像散、像面弯曲与畸变。球差是轴上光线高度的函数，而慧差、像散和像面弯曲还依赖于视场角。透镜设计软件通过优化把这五个系数加两个色差项压到目标值以下。
为什么「最佳像面」不与近轴焦点重合？
存在球差时，轴上光线聚于近轴焦点，而边缘光线在更靠近透镜处与轴相交，二者之间会出现「光束最细的位置」。这就是最小弥散圆（CoLC, Circle of Least Confusion），大约位于近轴焦点与边缘焦点之间。把感光元件放在该位置可获得最锐利的像。
实际应用
相机与手机镜头设计： 摄影镜头几乎无一例外都结合非球面镜片与多片玻璃或树脂来抑制球差。尤其是手机摄像头，要在1～2mm的薄度内堆叠7～8片非球面镜片，实现 F1.8 左右的明亮高 NA 光学系统，球差接近零。
天文望远镜与显微镜物镜： 大口径望远镜和高倍显微镜需要高 NA，球差校正难度急剧上升。经典的施密特-卡塞格林望远镜用校正板抵消球差，最新的显微镜物镜则用十至十五片精密研磨玻璃同时校正色差与球差。
光盘拾取头与激光加工： 蓝光拾取头与激光加工机的聚光镜头使用 NA 约0.85 的超高 NA 光学系统，把光斑聚焦到小于波长的尺寸。单片非球面镜片可在理论上把球差压到零，实现波长尺度的衍射极限光斑。
眼科与隐形眼镜： 近视矫正镜片和白内障术后的人工晶体设计也会考虑球差。暗光下瞳孔扩大时边缘光线占比增大，球差变得明显，因此非球面设计的人工晶体被用于改善夜间视力。
常见误解与注意事项
第一个常见陷阱是把球差与「对焦不准」混为一谈 。失焦是像面与焦点之间的简单距离误差，调整光圈并不会改变合焦位置。而球差是来自同一物点的光线因入射高度不同而聚于不同位置的现象，缩小光圈只留下轴上光线就能改善像质。在模拟器中把 h 减到5mm左右，LA 约缩到0.35mm，正对应「缩小光圈」的状态。
第二个常见错误是认为折射率越高球差越严重 。实际正好相反，系数 $(n^2+2n-1)/(8n(n-1))$ 随 n 增加而减小：n=1.5 约1.42，n=1.8 约0.74，n=2.0 约0.59，单调下降。所以高折射率玻璃虽然色散更大，但对球差校正反而有利。可以在模拟器中拖动 n 滑块观察 LA 的变化。
最后要注意，不要把这个公式当作「始终精确」 。本模拟器使用的是赛德尔三阶像差近似，在 $h/R$ 较小（大约 0.3 以下）时精度良好。当 $h/R$ 接近 1（如 h=50mm, R=50mm）时，五阶及更高阶像差项不可忽略，实际焦点偏移会比此公式更大。实务中的透镜设计采用 Code V 或 Zemax 等光线追迹软件严格计算所有光线，三阶近似仅作为初始设计的指引。