参数设置
火箭燃气代表值 R = 320 J/(kg·K)、g_0 = 9.81 m/s²、完全膨胀 (P_e = P_a) 假设。
收缩-扩张喷管断面与流动
左＝燃烧室（红、高温）／中央喉部＝A_t（白、M=1）／右＝扩张段至大气（黄→蓝，冷却）。箭头长度为流速、颜色表示温度。
推力系数 C_F 与压力比 P_c/P_e 的关系
横轴为对数 P_c/P_e（10 至 1000）。曲线表示固定 γ 时的理想 C_F，黄色标记为当前工作点。压力比越大 C_F 越趋于饱和值。
理论与主要公式
完全膨胀、等熵、一维定常流的火箭喷管推力系数：
$$C_F = \sqrt{\frac{2\gamma^2}{\gamma-1}\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\!(\gamma+1)/(\gamma-1)}\!\!\left[1 - \!\left(\frac{P_e}{P_c}\right)^{\!(\gamma-1)/\gamma}\right]}$$
特征速度（仅由燃烧室决定）与比冲：
$$c^* = \sqrt{\frac{R\,T_c}{\gamma}}\cdot\!\left(\frac{\gamma+1}{2}\right)^{\!(\gamma+1)/(2(\gamma-1))}, \qquad I_{sp} = \frac{c^* \cdot C_F}{g_0}$$
完全膨胀时的排气速度（c_p = γR/(γ-1)）：
$$V_e = \sqrt{2\,c_p\,T_c\,\!\left[1 - \!\left(\frac{P_e}{P_c}\right)^{\!(\gamma-1)/\gamma}\right]}$$
推力可写为 F = C_F · P_c · A_t。C_F 仅依赖喷管（γ 与压力比），c* 仅依赖燃烧室。比冲为二者之积除以 g_0，因此燃烧器与喷管的改进可独立评估。
推力系数模拟器是什么
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在火箭发动机规格表上看到「真空 Isp 380 秒」「C_F 1.7」之类的数字，C_F 到底是什么意思？
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简单说就是把推力 F 用燃烧室压乘以喉部面积无量纲化的效率指标：F = C_F · P_c · A_t。在默认 P_c = 7 MPa、γ = 1.20、P_e = 100 kPa、T_c = 3500 K 下模拟器给出 C_F = 1.600，意味着喷管把燃烧室的 P_c · A_t 力放大了约 1.6 倍。实际发动机典型在 1.4 至 1.9 之间，SSME（液氢/液氧）真空 C_F 约 1.85，固体火箭一般在 1.6 左右。
🙋
特征速度 c* 与比冲 Isp 有什么不同？听起来都跟「燃烧好坏」有关。
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这正是推进工程优雅的分工。c* 只取决于燃烧室，与喷管几何完全无关；默认值 c* = 1632 m/s。Isp 是最终的「单位推进剂秒推力」指标：Isp = c* · C_F / g_0 = 1632 × 1.600 / 9.81 = 266 秒。所以 Isp 可分解为燃烧室效率（c*）与喷管效率（C_F）。实际工程里，燃烧器组与喷管组可以独立优化，正是因为这个干净的分解。
🙋
把 P_c 滑块往上推时 C_F 也会上升，为什么？
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看 C_F 公式中的 [1 − (P_e/P_c)^((γ-1)/γ)] 项。P_c 从 7 MPa 升到 14 MPa 时，压力比 P_c/P_e 从 70 升到 140，(P_e/P_c)^0.167 从 0.493 降到 0.439，括号内从 0.507 升到 0.561，C_F 从 1.600 升到 1.683。图上黄色标记会随之向右上方滑动。所以提高燃烧室压能让同样大小的喉部输出更大的推力，这是工程上提高推力密度的常用手段。
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那想提高 Isp 也是把 P_c 拉高就好吗？
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提高 P_c 也有帮助，但提高 c* 通常更有效，因为 Isp = c* · C_F / g_0，而 c* 与 √T_c 成正比。把 T_c 从 3500 K 升到 4000 K，c* 从 1632 升到 1746 m/s（+7%）；把 P_c 翻倍只让 C_F 升约 5%。工程上提高 Isp 的王道是选择 T_c 高、分子量低的推进剂（即 R 大）。H-IIA 用液氢/液氧、Falcon 9 一级用煤油/液氧追求一级密度推力，正是这种取舍的体现。
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排气速度 V_e 和 Isp · g_0 是同一个值吗？
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在完全膨胀 (P_e = P_a) 时两者相等。默认下 V_e = 2611 m/s，Isp · g_0 = 266 × 9.81 = 2609 m/s，差异来自小数舍入。过膨胀或欠膨胀时压力推力项 (P_e − P_a)·A_e/ṁ 会加入，等效排气速度 c = Isp · g_0 与 V_e 就分离。模拟器假设完全膨胀，所以二者始终一致。
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出口马赫数 M_e 是怎么算的？喷管断面上写着「M_e ≈ 2.5」之类。
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用等熵流关系 P_c/P_e = (1 + (γ-1)/2 · M_e²)^(γ/(γ-1)) 对 M_e 求解。默认 P_c/P_e = 70、γ = 1.20 时 M_e ≈ 2.86。膨胀比 A_e/A_t 由等熵几何关系 A_e/A_t = (1/M_e)·((2/(γ+1))(1 + (γ-1)/2 · M_e²))^((γ+1)/(2(γ-1))) ≈ 7 给出。膨胀比越大真空性能越好，但海平面会过膨胀导致正激波，这就是一级和上面级喷管几何不同的根本原因。
常见问题
R = R_u/M（普适气体常数除以分子量）是火箭燃气的代表值。液氢/液氧主导产物为 H_2O，考虑解离后有效 M ≈ 14、R ≈ 590；煤油/液氧与固体火箭含 CO_2、N_2，M ≈ 22-25、R ≈ 320-380。本工具取 R = 320 作为「中等化学火箭」的代表值，让用户专注于 γ 与 T_c 的灵敏度。具体推进剂组合的精确 c* 计算可用 NASA CEA 或 RPA 等平衡求解器。
只在设计高度精确成立。Falcon 9 一级飞行中 P_e/P_a 在 0.6 至 2 之间扫过，低空过膨胀使 C_F 下降 5-15%。SSME 真空设计膨胀比为 77，海面起动时喷管内会形成正激波，性能受影响。工程上需要加入压力推力项 C_F_实 = C_F_完全膨胀 + (P_e - P_a)·A_e/(P_c·A_t)，并对整个飞行轨迹积分得到平均 Isp。
空气 γ ≈ 1.40 是上限。实际燃烧温度 3000-3700 K 激活分子的振动模式，主导产物 H_2O、CO_2 等多原子分子使 γ 降到 1.10-1.25。固体火箭与液氢/液氧典型 γ ≈ 1.20，正是本工具的默认值。把 γ 从 1.10 滑到 1.40，C_F 从约 1.55 升到 1.74，可以直观感受 γ 对喷管性能的影响。
完全膨胀下 M_e 与 γ 唯一决定 A_e/A_t = (1/M_e)·((2/(γ+1))(1 + (γ-1)/2 · M_e²))^((γ+1)/(2(γ-1)))。喷管断面图上也显示 M_e 与 A_e/A_t。默认 P_c/P_e = 70 时 M_e ≈ 2.86，A_e/A_t ≈ 7。SSME 取 77、Merlin 取 16、Raptor 真空版取约 80，皆按设计高度选择。膨胀比越大真空性能越好，但海平面易过膨胀，故一级常取适中（10-30）。
实际工程应用
液体火箭发动机的设计权衡：SpaceX Raptor、Blue Origin BE-4、Aerojet Rocketdyne RS-25 等现代液体火箭项目，先由推进剂组合确定 c*（液氢/液氧约 2300 m/s、甲烷/液氧约 1850 m/s），再由膨胀比 A_e/A_t 与 P_c 确定 C_F。在工具里设 P_c = 30 MPa、γ = 1.15、T_c = 3700 K 得到 C_F ≈ 1.79、Isp ≈ 320 秒，接近全流量分级燃烧循环的目标性能。概念设计阶段，把燃烧室与喷管分开评估是标准做法。
固体火箭的喷管优化：固体火箭（航天飞机 SRB、H-IIA SRB-A、战术导弹）的推进剂组成确定后 c* 即被锁定（典型 1500-1600 m/s），设计自由度集中于喉部面积与膨胀比。工具中设 γ = 1.18、T_c = 3000 K、P_c = 5 MPa 得到 C_F ≈ 1.55、Isp ≈ 245 秒，与 HTPB 型固体推进剂的实测值吻合良好。扫描膨胀比即可快速锁定特定载荷与高度剖面下的最优 A_e/A_t。
地面试车数据解释：在试车台上可直接测量推力 F、燃烧室压 P_c 与推进剂流量 ṁ，由此反求 C_F = F/(P_c · A_t)、c* = P_c · A_t / ṁ、Isp = F/(ṁ · g_0)。当实测 Isp 低于预期时，关键问题是判断是喷管损失（低 C_F 效率）还是燃烧损失（低 c* 效率）。NASA 与 JAXA 的试验报告都按此分解呈现数据，本工具的理论值正是基准。
高校与民间混合火箭：北京理工大学、东京大学、北海道大学等多所高校的火箭社团开发混合火箭（N_2O + HTPB、LOX + HDPE 等）。早期概念阶段最关心「能预期多少 Isp」。在工具中设 γ = 1.25、T_c = 3000 K、P_c = 3 MPa 得到 C_F ≈ 1.50、Isp ≈ 220 秒，与小型混合火箭实测（200-250 秒）大体相符，对觉得 CEA 上手过重的学生是很实用的首选工具。
常见误解与注意事项
最常见的误解是认为「只要提高 C_F，Isp 也一定上升」。从 Isp = c* · C_F / g_0 这个乘积形式可以看出，把 C_F 拉高 10%、若 c* 同时下降 10%，Isp 不变。把膨胀比拉到真空 C_F = 1.85 来追求高 C_F，可能因 T_c 下降而抵消。在模拟器中动 P_c 与 P_e 滑块只能让 C_F 变，c* 不动（c* 仅依赖 T_c），这种解耦是设计精进的关键。
另一个陷阱是认为「真空 Isp 总是最大，海面只是数值小一点」。真空设计的大膨胀喷管（A_e/A_t ≈ 70 级）在海面会严重过膨胀，喷管内激波周期性敲打壁面，可能直接破坏喷管。SSME 与 RL-10 在地面试车时需要精心安排起动顺序，正是为了避免这种破坏。本模拟器只显示设计点性能，实际评估必须把整条高度剖面考虑进来。
第三个易错点是高估 R 对 c* 的影响。由于 c* 与 √R 成正比，把 R 从 320 升到 500 J/(kg·K) 只让 c* 提高 √(500/320) ≈ 1.25 倍。提升 c* 的主要手段是提高 T_c 与优化 γ，R 仅在更换推进剂组合时才起显著作用。本工具固定 R、聚焦 γ 与 T_c 的灵敏度，对不同推进剂的严格对比请使用 NASA CEA 等化学平衡求解器。