Richardson外推法

从三个网格级别的结果估计网格无关解。同时计算收敛阶数p的观测值。解的验证基本方法。

使用有限元法（FEM）进行空间离散化。组装单元刚度矩阵，构建整体刚度方程。

进行弱形式（变分形式）变换，用试验函数和形状函数进行Galerkin法定式化。单元类型的选择（低阶单元 vs. 高阶单元、完全积分 vs. 简化积分）直接影响解的精度和计算成本的权衡。

通过直接法（LU分解、Cholesky分解）或迭代法（CG法、GMRES法）求解线性方程组。对于大规模问题，预处理迭代法特别有效。

NASA结构分析（NASTRAN）1960年代开发。MSC Software商业化，后来UGS（现西门子）派生出NX Nastran。MSC于2017年被Hexagon AB收购。

1978年HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被达索系统收购，整合到SIMULIA品牌。

1970年由Swanson Analysis Systems Inc. (SASI) 开发。基于APDL（Ansys参数化设计语言）。

在不同求解器间转换模型时，要注意单元类型的对应关系、材料模型的兼容性、荷载和边界条件的表达差异。特别是高阶单元或特殊单元（内聚单元、用户定义单元等）往往无法在求解器间直接转换。

网格收敛性检查、边界条件妥当性验证、材料参数敏感性分析非常重要。

好得很！实际动手是最好的学习方法。有不懂的地方随时问。

使用形状函数 $N_i$ 近似未知量：

用公式表示就是这样。

用公式表示就是这样。

连续体的控制方程离散化后，得到以下代数方程组：

这里$[K]$是整体刚度矩阵（或等价的系统矩阵），$\{u\}$是未知节点变量向量，$\{F\}$是外力向量。

收敛速度：二阶单元以 $O(h^2)$ 的量级减小误差（光滑解的情况）

讲解Richardson外推法的实务求解流程和注意事项。

1. 预处理 (Pre-processing)

2. 求解 (Solving)

3. 后处理 (Post-processing)

NASA结构分析（NASTRAN）1960年代开发。MSC Software商业化，后来UGS（现西门子）派生出NX Nastran。MSC于2017年被Hexagon AB收购。

1978年HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被达索系统收购，整合到SIMULIA品牌。

好得很！实际动手是最好的学习方法。有不懂的地方随时问。

对应Richardson外推法的主要商用CAE工具的功能比较及各产品的历史背景详述。

NASA结构分析（NASTRAN）1960年代开发。MSC Software商业化，后来UGS（现西门子）派生出NX Nastran。MSC于2017年被Hexagon AB收购。

1978年HKS (Hibbitt, Karlsson & Sorensen) 开发。2005年被达索系统收购，整合到SIMULIA品牌。

Fluent Inc.开发。2006年被Ansys收购。基于非结构网格的通用CFD求解器。