臨界電流密度解析
理論：ビーンの臨界状態モデル
概要
超電導は抵抗が0なのに、交流で使うと損失が出るのはなぜですか？
実用の超電導体（第2種超電導体）では、磁界は細い磁束の束として中に入り込み、材料の欠陥にピン止めされている。磁界を変えると磁束はピン止めを振り切って動き、そのたびにエネルギーが失われる。これが交流損失（ヒステリシス損失）だ。ビーンはこれを単純にモデル化し、超電導体の中には臨界電流密度 Jc の電流が流れるか、まったく流れないかのどちらかだとした。外から磁界を加えると、表面から Jc の電流が流れる層ができて磁界を遮り、磁界を強くするとその層が内側へ広がる。この単純なモデルで、磁界の侵入、磁化、損失がすべて手計算できる。
侵入磁界・磁化・捕捉磁場
a は板の半幅、R は円柱の半径。B_p は磁界が板の中心まで届く磁界。
交流損失（板、平行磁界）
ビーンの1962年の論文
ビーンは1962年、硬い（ピン止めの強い）超電導体の磁化を説明するため、臨界状態モデルを発表した。電流密度が臨界値か0かという大胆な単純化だったが、磁化曲線のヒステリシスや交流損失をよく説明し、今も超電導線材や磁石の設計の出発点になっている。のちに Jc の磁場依存性を入れたキムのモデルや、電界と電流密度をべき乗で結ぶモデルへと拡張され、数値解析にも使われている。
計算例
例1：NbTiの交流損失（Jc = 3×10⁹ A/m²、50 Hz、密度6,500 kg/m³）
| 半幅 a | B_p | 振幅0.01 T | 振幅0.1 T | 振幅0.5 T |
|---|---|---|---|---|
| 5 μm | 0.019 T | 0.22 W/kg | 20.2 W/kg | 112 W/kg |
| 50 μm | 0.19 T | 0.022 W/kg | 21.6 W/kg | 864 W/kg |
| 0.5 mm | 1.89 T | 0.0022 W/kg | 2.2 W/kg | 271 W/kg |
振幅が B_p より大きいと損失はほぼ a に比例し、小さいと逆に a に反比例する。損失が最も大きくなるのは、振幅が B_p と同じくらいのときだ。
例2：YBCOバルクの捕捉磁場（半径15 mm）
| 条件 | Jc | 捕捉磁場の上限（長い円柱） |
|---|---|---|
| 77 K | 1×10⁸ A/m² | 1.88 T |
| 30 K | 1×10⁹ A/m² | 18.8 T |
実際のバルクは高さが有限なので値はこれより小さい。また30 K級では電流と磁場による力が大きく、割れないように金属のリングで補強する必要がある。補強したバルクでは26 Kで17.6 Tの捕捉磁場が報告されている（2014年）。
フィラメントは細いほど良いと思っていましたが、小さい振幅では太いほうが損失が小さいんですね。
小さい振幅では、磁界は表面の薄い層にしか入らない。太い板ほど B_p が大きく、同じ振幅でも相対的に浅くしか侵入しないので、損失は小さくなる。逆に振幅が B_p を超えて磁界が中まで出入りすると、損失は磁化の大きさ、つまり Jc·a に比例するので細いほど小さい。電力ケーブルや変圧器のように振幅の大きい交流磁界にさらされる用途では、フィラメントを細くし、さらにより合わせて（ツイスト）フィラメント間の結合電流を断つ。一方、MRI用の磁石のように直流で使う線材では交流損失は問題になりにくく、細いフィラメントにするのは主に磁束跳躍を防ぐためだ。数値解析では、こうした損失を形状ごとに求めるため、電界と電流密度のべき乗則を使った有限要素法などが使われる。
解析の進め方
- 使用温度・磁場での Jc を、線材の測定データから与える。
- ビーンモデルで侵入磁界と損失の桁を見積もる。
- 実際の断面形状では、べき乗則の E-J 特性で有限要素解析を行う。
- Jc の磁場依存性（キムモデルなど）を入れる。
- 損失から冷凍機の負荷を求め、温度上昇とクエンチの余裕を確認する。
「冷凍機が追いつかなかった」
ある超電導コイルの試験で、直流運転では問題なかったが、電流を周期的に変える運転にすると温度が上がり続けた。設計時に直流の損失だけで冷凍機を選んでいたのが原因だった。ビーンモデルで線材のヒステリシス損失を見積もると、電流の変化による損失は冷凍能力の半分近くに達していた。電流を変える速さを下げ、損失の小さい細いフィラメントの線材に替えて、温度は安定した。
よくある間違い
間違いと対策
| 間違い | 起きること | 対策 |
|---|---|---|
| Jc を一定にする | 高磁場で損失を誤る | 磁場依存性を入れる |
| 直流の損失だけで冷凍機を選ぶ | 温度が上がる | 交流損失を加算 |
| 細ければ常に良いとする | 小振幅で逆効果 | 振幅と B_p を比べる |
| 結合電流を無視 | 損失を過小評価 | ツイストピッチを考慮 |
| 長い円柱の式をそのまま使う | 捕捉磁場を過大評価 | 有限高さで解析 |
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