二方向流体構造連成
理論：付加質量と連成の安定性
概要
二方向連成の計算が、水中の構造だとすぐ発散してしまいます。
流体と構造を別々のソルバーで交互に解く分離型でよく起きる。構造が動くと、周りの流体も押しのけなければならないので、構造は実際より重くふるまう。この増えた分が付加質量だ。空気ならほとんど無視できるが、水や血液では構造そのものより重くなることがある。付加質量が構造の質量を超えると、流体と構造の受け渡しのたびに誤差が増えていき、時間刻みをどれだけ小さくしても発散する。対策は、受け渡す変位に緩和係数をかけるか、流体と構造を一度に解く一体型にすることだ。
付加質量比と誤差の倍率
λ はパネルの振動モードの波長、m_s は面積あたりの構造質量。1回の受け渡しで誤差が 1 − ω(1 + r) 倍になる簡単なモデルで考える。ω = 1（緩和なし）では r > 1 で発散する。
収束の条件とエイトケン緩和
R は受け渡す変位の残差。エイトケン緩和は直前2回の残差から ω を毎回計算し直す。
血管の計算から知られた不安定
付加質量による不安定は、2000年代に血流と血管壁の連成計算が広まったことで注目された。血管壁は薄く、密度も血液とほぼ同じなので、付加質量比が大きくなる。2005年のコーセルらの解析では、分離型の陽解法は時間刻みを小さくしても安定にならず、むしろ不安定になりやすいことが示された。これが、緩和係数を使った反復や、流体と構造を一体に解く方法、準ニュートン法による連成（IQN-ILSなど）の研究を後押しした。
計算例
例1：付加質量比と収束までの反復回数（残差10⁻⁶）
| ケース | 付加質量比 r | ω の上限 | ω = 1 | ω = 0.25 | ω = 0.1 |
|---|---|---|---|---|---|
| 鋼板2 mm・空気 | 0.006 | 1.99 | 3回 | 48回 | 131回 |
| アルミ板1 mm・空気 | 0.021 | 1.96 | 4回 | 47回 | 129回 |
| 鋼板2 mm・水 | 5.07 | 0.33 | 発散 | 21回 | 15回 |
| 血管壁0.5 mm・血液 | 5.78 | 0.30 | 発散 | 39回 | 13回 |
鋼板・アルミ板はモード波長0.5 m・0.3 m、血管は半径3 mm（周方向のモード）とした。空気中では緩和なしが最も速く、緩和をかけると無駄に回数が増える。
例2：振動モードが3つある場合
| ケース | 各モードの r | 最適な固定 ω | エイトケン |
|---|---|---|---|
| 鋼板2 mm・水 | 5.1 / 3.0 / 1.5 | 0.23（16回） | 13回 |
| 血管壁・血液 | 5.8 / 3.5 / 1.7 | 0.21（17回） | 13回 |
| 鋼板2 mm・空気 | 0.01 / 0.00 / 0.00 | 1.00（3回） | 5回 |
時間刻みを小さくすれば安定になると思っていました。
流れの計算の多くはそうだが、付加質量による不安定は違う。付加質量比は構造と流体の密度、板の厚さ、振動の形で決まり、時間刻みには関係しない。だから時間刻みを小さくしても誤差の倍率は変わらない。むしろ、時間刻みが小さいほど構造の慣性の効果に比べて付加質量の効果が目立ち、不安定になりやすいと報告されている。この問題には、緩和係数を下げるか、エイトケン緩和や準ニュートン法で受け渡しを工夫するか、一体型のソルバーを使う。空気中のように r が小さければ緩和は要らず、むしろ回数が増えるだけなので、まず r を見積もってから設定を決めるとよい。
実務での進め方
- 構造と流体の密度・厚さから付加質量比 r を見積もる。
- r が十分小さければ一方向連成や緩和なしの分離型で足りるか検討する。
- r が1を超えるなら、強連成（時間ステップ内で反復）にし、ω を 2/(1+r) より十分小さく始める。
- エイトケン緩和や準ニュートン法で反復回数を減らす。
- 界面の力のつり合いと変位の連続を、時間ステップごとに確認する。
「時間刻みを10分の1にしても止まらない」
ある水中の薄い仕切り板の連成計算で、数ステップで変位が振動しながら大きくなり発散した。担当者は時間刻みを10分の1、さらに100分の1にしたが、発散するまでの時刻が早まるだけだった。板は鋼の厚さ2 mmで、付加質量比を見積もると約5だった。緩和なしの分離型が1回の受け渡しで誤差を5倍にしていたのが原因で、エイトケン緩和を使う強連成に変えると、1ステップあたり10回余りの反復で安定に解けた。時間刻みは元に戻せた。
よくある間違い
間違いと対策
| 間違い | 起きること | 対策 |
|---|---|---|
| 時間刻みで安定化を図る | 発散が早まる | 緩和・強連成 |
| 水中で弱連成 | 付加質量で発散 | ステップ内で反復 |
| 空気中で強い緩和 | 反復が無駄に増える | ω = 1 から |
| 界面の格子がずれる | 力が保存されない | 保存型の写像 |
| 流体格子の変形が大きい | 格子が裏返る | 格子移動の方法を選ぶ |
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