ポリヘドラル（多面体）メッシュ
理論：多くの隣のセルから勾配を求める
概要
複雑な形のCFDで、四面体メッシュを多面体に変換するとセル数が大きく減ると聞きました。精度は落ちないんですか？
多面体のセルは、四面体の頂点のまわりのセルを1つにまとめて作ることが多い。1つのセルが10個以上の隣のセルと接するから、勾配を計算するための情報が多いんだ。四面体は隣が4つしかない。同じ点から作れば、セルの数は大きく減るけれど、1つのセルが大きくなるので、精度が本当に保たれるかは確かめる必要がある。実際に同じ点群から両方を作って、勾配の精度を比べてみよう。
最小二乗の勾配
セルPの勾配を、隣のセルNとの値の差がもっともよく合うように決める。隣のセルが多く、さまざまな方向にあるほど、勾配の推定が安定する。
セル数と面の数
同じ点群から作ったときの目安（3次元のドロネー分割で確認）。多面体はセル数が少ない代わりに1セルあたりの面が多いので、面の数で決まる計算量はセル数ほどは減らない。
多面体が汎用ソフトに入るまで
有限体積法は、もともとセルの形を問わない方法で、面を通る流束の和で保存を表す。そのため、どんな多面体でも原理的には扱える。とはいえ長く、構造格子や四面体・六面体が主流だった。2000年代前半、ドイツのペリッチらが、四面体から作った多面体メッシュが少ないセルで同等の精度と良い収束を示すと報告し、商用のCFDソフトに多面体メッシュの自動作成が入った。複雑な形状を素早くメッシュにしつつセル数を抑える方法として、自動車や熱流体の分野で広く使われている。
計算例：同じ点群から比べる
立方体の中の点群から3次元のドロネー分割で四面体を作り、その双対として多面体（点1つが1セル）を作った。関数 sin(3x) + cos(2y) + xz の勾配を最小二乗で求め、中央部のセルで誤差の中央値を比べた。
| 点の配置 | 点の数 | 四面体のセル数 | 四面体の勾配誤差 | 多面体のセル数 | 多面体の勾配誤差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 規則的（格子＋ずらし） | 2,744 | 18,395 | 3.24% | 2,744 | 4.95% |
| 規則的（格子＋ずらし） | 15,625 | 106,819 | 2.08% | 15,625 | 2.84% |
| ランダム | 2,461 | 16,081 | 4.02% | — | — |
| ランダム | 16,000 | 106,587 | 2.13% | 16,000 | 4.70% |
同じくらいのセル数で比べると、どうなりますか？
規則的な点では、多面体1万5,625セルの誤差2.84%に対し、四面体1万8,395セルは3.24%で、多面体のほうがやや良い。ところがランダムな点だと、多面体1万6,000セルの4.70%に対し、四面体1万6,081セルは4.02%で逆転する。ランダムな点から作った多面体は形がいびつで、隣のセルまでの距離がばらつくからだ。つまり『多面体なら必ず良い』のではなく、元の四面体メッシュの品質が良いときに、少ないセルで同等以上の精度が得られるということだね。多面体の利点は、勾配の精度に加えて、ゆがんだセルが減ることによる反復の収束の良さにもあるとされている。
使いどころと手順
- 複雑な形状で、六面体を作りにくいときに候補にする。
- まず品質の良い四面体（または表面メッシュ）を作ってから多面体に変換する。
- 壁の近くはプリズム層を組み合わせ、境界層を解像する。
- セル数だけでなく、面の数とメモリも見積もる。
- 同じ条件で四面体・多面体の結果を比べ、格子依存性を確かめる。
「セル数は減ったのに計算時間が同じ」
四面体1,000万セルのCFDを多面体に変換して200万セルになったのに、1反復あたりの計算時間はほとんど縮まなかった——という例がある。多面体1セルあたりの面が多く、面を通る流束の計算と、隣のセルとのデータのやりとりが増えていたためだ。ただ、収束までの反復回数が約半分になり、全体の時間は短くなった。多面体の効果は『セル数』だけで判断せず、面の数、1反復の時間、収束までの反復回数を合わせて見ることが大事だ。
よくある間違い
間違いと対策
| 間違い | 起きること | 対策 |
|---|---|---|
| セル数だけで比較 | 計算量を見誤る | 面の数も比較 |
| 品質の悪い四面体から変換 | いびつな多面体 | 元のメッシュの品質を上げる |
| 壁の近くも多面体だけ | 境界層を解像できない | プリズム層を組み合わせる |
| 多面体なら必ず精度が上がると考える | 誤った安心 | 格子依存性を確認 |
| 異なるソフトの間で変換 | 面の向き・形が崩れる | 変換後に品質を確認 |
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