CSR形式 — CAE用語解説
CSR形式
先生、CSR形式（Compressed Sparse Row）ってFEMのソルバーで使われると聞いたんですが、何ですか？
FEMの剛性行列のような「大きいけどほとんどがゼロ」という疎行列（Sparse Matrix）を効率的にメモリに格納するデータ構造だ。100万節点のFEMモデルでは剛性行列は1000億要素あるが、実際に非ゼロなのはせいぜい0.001%程度——ほとんどゼロの行列を全部格納するのは無駄だ。CSR形式は非ゼロ要素の値、列番号、行ポインタの3つの配列だけで疎行列を表現する。1000億要素の行列が100万要素×平均20非ゼロ（2000万個）の格納で済む、という効率化だ。
定義
CSR形式って具体的にどんなデータ構造なんですか？
3つの配列で構成される。①values[]：行を上から順に走査したときの非ゼロ値の列。②col_indices[]：各非ゼロ値の列番号。③row_ptr[]：各行がvaluesの何番目から始まるかのポインタ（行数+1のサイズ）。例えば3x3行列で(0,0)=5、(0,2)=3、(1,1)=7、(2,0)=2、(2,2)=9 というとき、values=[5,3,7,2,9]、col_indices=[0,2,1,0,2]、row_ptr=[0,2,3,5]となる。SpMV（疎行列×ベクトル積）という演算がCG法や反復解法の内積で頻発するが、CSRならキャッシュ効率よく計算できる。
高性能計算との関係
GPUでのFEM計算でもCSRが使われますか？
使われるが、GPUではCSRが最適とは限らない。GPUは並列スレッドが同じデータにアクセスするとき（メモリ合体アクセス）に性能が出る。CSRはrow_ptrで行の開始位置が不規則だから、スレッドが別の行を処理するとアクセスパターンがバラバラになりやすい。そこでCSR-Vector（各スレッドが1行を処理）やELLPACK形式（行の長さをパディングして揃える）などGPU向けの変形がある。CUDAのcuSPARSEライブラリはCSRとELLを自動で選択してGPU SpMVを最適化してくれる。
FEMソフトのユーザーとしてはCSR形式を意識する必要がありますか？
普通の解析ならあまり意識しなくていい。AbaqusやOpenFOAMが内部で最適なスパース形式を使って解いてくれる。意識が必要なのは——①PythonやMATLABで自作ソルバーを書く場合（scipy.sparse.csr_matrixが使える）、②大規模計算でメモリ不足になってスパースパターンの最適化が必要な場合、③PETScやTrilinos等の高性能線形代数ライブラリを使うとき——だ。研究者や開発者の立場では必須の知識で、論文でも「スパースCSR形式を使ってSPMVを最適化した」という記述が頻繁に出てくる。
関連用語
疎行列の格納効率化がFEM大規模計算の基盤なんですね。GPU向けの変形まであるとは知りませんでした！
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