スパースマトリクス — CAE用語解説

密行列で格納したら無理だね。100万×100万の倍精度行列なら約7.5TBのメモリが必要になる。でも実際のFEMの剛性行列は99%以上がゼロ。各節点は隣接要素の節点としか結合しないから、非ゼロ要素は対角線近傍にしかない。このゼロだらけの行列が「スパースマトリクス（疎行列）」で、非ゼロ要素だけを記録すれば数GBに収まるんだ。

代表的なのがCSR（Compressed Sparse Row）形式。行ごとに「非ゼロ要素の値」「その列番号」「各行の開始位置」の3つの配列で格納する。例えば100万行の行列でも非ゼロ要素が500万個なら、配列のサイズは合計で数十MB程度。メモリだけでなく、行列-ベクトル積の計算もゼロとの演算をスキップできるから速くなるよ。

大きく影響する。直接法（LU分解やCholesky分解）は分解過程で「フィルイン」（元はゼロだった位置に非ゼロが出現）が起きるから、ノード番号の並び替え（RCMやMETIS）で帯幅を最小化するのが重要。反復法（CG法、GMRES法）ではフィルインは起きないけど、前処理行列の選択が収束に直結するんだ。

そうなんだよ。隣接する節点に近い番号を付ければ帯幅が小さくなって、直接法のメモリ消費とフィルインが大幅に減る。商用ソルバーは自動で番号を最適化してくれるけど、仕組みを知っておくとトラブルシューティングで役立つよ。

帯幅とCSR形式は必須。あとは直接法ソルバーの仕組みも知っておくといいよ。

• 帯幅
• CSR
• 直接法

いいね。Pythonのscipyやpetsc4pyで実際にCSR行列を触ってみると理解が深まるよ。spy()関数で非ゼロパターンを可視化するのもおすすめだ。