差分スキーム — CAE用語解説

離散化スキームは「微分方程式の連続的な量を格子点の値で近似する方法」で、精度・安定性・計算コストのトレードオフがある。OpenFOAMでよく出るのは——①ddtSchemes（時間微分）：EulerE（1次精度・安定）かCrankNicolson（2次精度・精密）、②gradSchemes（勾配）：GaussLinear（2次精度）が標準、③divSchemes（発散、つまり移流項）：LinearUpwind（2次精度・移流支配に強い）かGaussLinear（2次精度・中心差分）、④laplacianSchemes（拡散項）：Gauss linear correctedが標準——この組み合わせが基本設定だ。

格子幅hを半分にしたとき、1次精度はh^1（誤差が半分に）、2次精度はh^2（誤差が1/4に）減少する。同じ精度を1次精度で達成しようとすると、2次精度より格子を細かくする必要がある。LES・DNS解析や高精度空力解析では2次精度以上は必須だ。一方で超音速のショック波を含む問題では2次精度中心差分がOscillation（数値振動）を起こすから、1次精度のUpwind（Godunov法系）が使われる——精度を意図的に下げて安定性を取るわけだ。

RANSは安定性重視でLinearUpwindかGaussLinear+limitedが多い。LESは精度が命だからdivSchemes: GaussLinear（純粋な中心差分、2次精度）が推奨されているが、境界条件設定が悪いとOscillationが起きやすい。OpenFOAMのpisoFoam tutorialのLES設定ではlimitedLinear（中心差分に制限を加えたもの）が使われることが多い。DES/DDESでは「RANSとLES領域でスキームを切り替える」という高度な設定も可能だ。スキーム選択は「安定か精度か」と「物理的に正しい解が出ているか」を確認しながら決めるのが実践的だよ。

TVDはTotal Variation Diminishing——数値振動を防ぎながら高精度を維持する制限付きスキームだ。1次精度Upwindの安定性と2次精度中心差分の精度を組み合わせる「フラックスリミター」がキモで、Venkatakrishnan、Barth-Jespersen、Van Leer、minmod、SUPERBEEなど多数のリミターが提案されている。OpenFOAMでlimitedLinear、vanLeerなどがこれに対応する。圧縮性流れのショック捕捉、反応性流れの温度/濃度の急勾配を安定に解くには欠かせない技術だ。論文で「高精度スキームを用いた」と書かれているときはほぼTVD系かENO/WENOスキームが使われている。

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