TVD — CAE用語解説

Total Variation Diminishing の略で、「全変動が時間とともに減少する」性質を持つ差分スキームのことだよ。要するに、解に非物理的な振動（ウィグル）が発生しないことを数学的に保証してくれるんだ。

典型的なのは衝撃波付近だね。中心差分のような2次精度スキームで超音速ノズル内の流れを計算すると、衝撃波の前後で圧力や密度がギザギザに振動する。実際にはありえない負の密度が出ることもある。TVDスキームはこの振動を制限関数（flux limiter）で抑え込むんだ。

1次風上差分は振動は出ないけど数値拡散が大きくてボヤけた解になる。TVDスキームは滑らかな領域では2次精度に近い精度を出しつつ、不連続面付近だけ自動的に1次精度に落として振動を防ぐ。いいとこ取りなんだ。

対流方程式の離散化がTVDスキームの主戦場だ。Navier-Stokes方程式の対流項を考えてみよう。

Van Leer limiterが一番バランスがいいと言われてる。minmodは安定だけど拡散が多め、superbeeはシャープだけど圧縮しすぎることがある。ロケットエンジンの燃焼室解析なんかではVan Leerが鉄板だね。

MUSCL（Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws）はTVDスキームを実装する代表的な手法だよ。セル境界での補間にTVD制限関数を組み込むことで、保存則を満たしつつ振動のない高精度解が得られる。OpenFOAMでもFluent でも使えるから、圧縮性流れを扱うなら必ず出会うはずだ。