周波数応答解析（Frequency Response Analysis） — CAE用語解説

ざっくり言うと、構造物に正弦波の力を「周波数を少しずつ変えながら」加えて、各周波数でどれくらい揺れるか（振幅）と、力に対してどれだけ遅れるか（位相）を求める解析だ。英語では Frequency Response Analysis、略して FRA と呼ぶ。

いい質問だね。フーリエ変換を使えば、どんな複雑な波形でも正弦波の重ね合わせに分解できる。だから各周波数での応答がわかれば、それらを足し合わせて実際の時刻歴応答を再構築できるんだ。これが周波数応答解析の強みだよ。

基本となる運動方程式はこれだ：

FRFは入力（力）と出力（変位・速度・加速度）の比を周波数の関数で表したものだ。1自由度系なら：

加振試験では加速度ピックアップを使うことが多いから、イナータンスが一番よく使われる。インパルスハンマで叩いて、加速度センサで拾う。それを $H(\omega) = A(\omega)/F(\omega)$ として FFT アナライザが自動計算してくれる。自動車のNVH（騒音振動ハーシュネス）開発では毎日のように取得するデータだね。

モーダル法（Modal Frequency Response）は、まず固有値解析でモード形状と固有振動数を求めて、応答をモードの重ね合わせとして計算する方法だ。物理座標 $\mathbf{u}$ をモード行列 $\mathbf{\Phi}$ で変換して：

そう簡単にはいかない。モーダル法には制約がある。まず、打ち切りモード数の問題。解析周波数範囲の上限の1.5〜2倍までモードを抽出しないと精度が落ちる。次に、周波数依存の減衰（粘弾性材料など）を正確に扱えない。さらに非対称行列（流体連成など）もモーダル法では厳しい。

その通り。直接法（Direct Frequency Response）は動的剛性行列 $\mathbf{D}(\omega) = -\omega^2\mathbf{M}+i\omega\mathbf{C}+\mathbf{K}$ を各周波数ステップごとに組み立てて、連立方程式を直接解く。モード打ち切りの誤差がないし、周波数依存材料もそのまま扱える。ただし自由度数が数十万〜数百万だと、各周波数で大規模な複素連立方程式を解くことになるから、計算コストはモーダル法の何倍にもなる。例えば自動車のボディの振動解析だと、モーダル法なら数時間で終わるけど、直接法だと丸一日かかることもある。

FRFの共振ピークに注目する方法だ。ピークの最大値を $|H|_{\max}$ として、そこから $|H|_{\max}/\sqrt{2}$（つまり -3dB）になる周波数を左右2箇所読み取る。それを $f_1$, $f_2$ とすると、減衰比 $\zeta$ は：

注意点は2つある。1つ目は周波数分解能。$\Delta f$ が小さい（低減衰）とピークが鋭くなって、周波数ステップが粗いと $f_1$, $f_2$ を正確に読めない。目安として、共振ピーク幅の中に少なくとも5〜10点は欲しい。2つ目はモードの重なり。隣接する共振が近いと裾野が重なって、-3dB点が正しく読めなくなる。そういう場合はカーブフィット法（最小二乗法で解析的にモードパラメータを同定する方法）に切り替えるのが実務的だ。

1自由度系の $H(\omega)$ をもう一度見てみよう：

位相は、共振点でちょうど90度遅れる。低周波側（$r \ll 1$）では力と変位がほぼ同相（0度）、高周波側（$r \gg 1$）では180度遅れ、つまり力と逆方向に動く。この「共振点で90度」というのは実験でも非常に明確に観察できるから、共振周波数の同定に位相情報が使われることも多いんだ。Bode線図で振幅と位相を並べて見ると、共振点がひと目でわかるよ。

大きく3つある。まず周波数ステップの設定。等間隔だと共振ピークを見逃すことがある。だからピーク付近を自動で細かくする「適応的周波数ステップ」機能を使うか、固有振動数の±10%は手動で細かく刻むのが安全だ。

減衰モデルの選択だ。Rayleigh減衰（$\mathbf{C}=\alpha\mathbf{M}+\beta\mathbf{K}$）は2つの周波数でしかフィットしないから、広帯域解析だと高周波側で減衰が過大になりやすい。構造減衰（ヒステリシス減衰、損失係数 $\eta$）を使うと周波数に依存しない一定の減衰比が得られるから、広帯域では便利だよ。ただし構造減衰は数学的には因果律を厳密には満たさないので、時刻歴に戻すときには注意が必要だ。

残余モード補正だ。モーダル法で上限周波数以上のモードを切り捨てると、高次モードの静的寄与分が抜け落ちる。Nastranの RESVEC（residual vector）やAbaqusの residual mode などの機能を使って補正すると、低いモード数でもかなり精度が上がる。特に荷重点と応答点が近い場合（ポイントFRF）ほど影響が大きいから、忘れずに設定しよう。