Green関数 — CAE用語解説
Green関数
先生、境界要素法（BEM）の論文を読んでたら「Green関数」が頻出するんですけど、FEMの形状関数とは全然違うものですか？
定義
Green関数って、ざっくりどういうものなんですか？
ある点に単位の点源（力や熱源）を置いたとき、空間の任意の点での応答を表す関数だよ。つまり「点荷重に対する支配方程式の基本解」なんだ。例えば3次元のラプラス方程式だとG=1/(4πr)、弾性体だとKelvinの解がGreen関数にあたる。
点荷重の応答ってことは、任意の荷重は点荷重の重ね合わせで表せるから、Green関数があればどんな荷重の応答もわかるってことですか？
その通り！ まさにそこがGreen関数の威力で、分布荷重fに対する解はGreen関数Gとfの畳み込み積分で求まる。これが境界積分方程式法の数学的な基礎になっていて、BEMでは体積ではなく境界面だけを離散化すれば済むのもこの性質のおかげなんだ。
CAEにおける位置づけ
BEMでGreen関数を使うメリットって具体的にどんなところですか？
音響解析がわかりやすい例だね。スピーカーからの放射音を計算したいとき、FEMだと無限遠まで空気領域をメッシュで埋める必要があるけど、BEMならGreen関数が無限領域の条件を自動的に満たすから、スピーカー表面だけメッシュを切ればOK。要素数が桁違いに少なくて済むんだ。
なるほど、無限領域を扱えるのはGreen関数のおかげなんですね。デメリットはないんですか？
Green関数の特異性（r→0でG→∞）の数値処理が難しいのと、係数行列が密行列になるから大規模問題では計算コストが高くなりやすい。高速多重極展開(FMM)で行列を圧縮する手法が使われるのはそのためだよ。
関連用語
Green関数の周辺で押さえるべき用語を教えてください。
このあたりは押さえておきたいね。
音響解析の例がとてもわかりやすかったです。FEMとBEMの使い分けも意識してみます。
いいね。まずはラプラス方程式のGreen関数で畳み込み積分を手計算してみると、BEMの仕組みが腹落ちするよ。
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