剛性マトリクス — CAE用語解説

剛性マトリクス[K]は「力と変位の関係」を行列で表したものだよ。バネの F = kx の多次元版と思えばいい。各節点の変位{u}に対して、どれだけの力{F}が必要かを [K]{u} = {F} という連立方程式で表現する。FEMの解析は結局のところ、この[K]を組み立てて連立方程式を解く作業なんだ。

まず各要素（四面体や六面体1個ずつ）に対して小さな剛性行列を作る。例えばTET10要素なら30×30の行列。次にこれを節点番号に従って全体の行列に「足し込む」。10万節点のモデルなら300,000×300,000の行列になる。この足し込みプロセスを「組み立て（アセンブリ）」と呼ぶ。全体剛性行列は疎行列だから、CSR形式で効率的に格納できるんだよ。

剛性マトリクスが特異＝逆行列が存在しない＝解が一意に定まらない、ということ。物理的には「拘束が足りなくて構造が自由に動ける状態」を意味する。例えば3D解析で6自由度の剛体運動を拘束しないとか、メカニズム（ヒンジで繋がった部品）があるとかだね。エラーメッセージで「SINGULAR MATRIX」や「ZERO PIVOT」と出たら、境界条件を見直すのが定石だよ。

変わる。非線形では「接線剛性マトリクス」を毎ステップ（場合によっては反復ごとに）更新する。材料非線形ならヤング率が降伏後に変わるし、幾何学的非線形なら変形に伴って剛性の方向が変わる。この更新が非線形解析のコストを押し上げる主因なんだ。

質量マトリクスは動解析で必要になるし、FEMの基礎知識は前提だよ。

エラーメッセージに「NODE 12345 DOF 3」のように出る場合は、そのノードのZ方向が拘束されていないヒント。ソルバーのログをしっかり読む習慣をつけるとデバッグが格段に早くなるよ。