オイラー・ベルヌーイ梁理論

レオンハルト・オイラーとダニエル・ベルヌーイが18世紀に確立した梁の曲げ理論だ。構造力学で最も基本的な理論であり、FEMの梁要素の出発点でもある。

3つの基本仮定：

そう。せん断変形を無視するということだ。曲げだけで梁が変形し、せん断による断面の傾きはゼロ。これがオイラー・ベルヌーイ梁の最大の特徴であり、同時に最大の制約だ。

たわみ $w(x)$ に関する4階の常微分方程式：

そう。4つの積分定数は4つの境界条件で決まる。各端で2つの条件（変位と回転、またはせん断力とモーメント）が必要だ。

各微分の物理的意味：

この関係を暗記しておくと、FEMの結果の検証に非常に役立つ。たわみ→回転角→曲率→モーメント→せん断力→荷重、と連鎖する。

梁のスパン/せい比（$L/h$）が大きいほど誤差が小さい：

一般的な鉄骨梁（H形鋼）は $L/h = 15 \sim 25$ 程度だからオイラー・ベルヌーイで十分。しかしサンドイッチパネルや短い連結梁（$L/h < 5$）ではティモシェンコ梁理論が必要だ。

2節点の梁要素で、各節点に3自由度（2Dの場合）：たわみ $w$、回転角 $\theta$、軸変位 $u$。

重要な特徴は形状関数がエルミート多項式（3次多項式）であること。通常のFEM要素（ラグランジュ多項式）とは異なり、変位だけでなく回転角も節点変数にする。これにより、わずか2節点で曲げの4次の微分方程式を正確に解ける。

一様断面・一定分布荷重の場合、1要素で厳密解が得られる。これはオイラー・ベルヌーイ梁要素の大きな利点だ。集中荷重が作用する位置には節点を置く必要があるが、それ以外は粗いメッシュで十分だ。

要点：

材料力学の授業で解いた片持ち梁のたわみ $\delta = PL^3/(3EI)$ は、まさにこの理論の解だ。FEMの梁要素はこの理論を離散化したもので、原理は同じなんだ。

2節点、各節点に曲げ自由度2つ（$w_i, \theta_i$）の場合、4×4の剛性マトリクス：

エルミート形状関数を微分して $B$ マトリクスを作り、$\int_0^L B^T EI B \, dx$ を積分すると得られる。エルミート形状関数が3次多項式なので、曲率（2次微分）は1次式になり、積分は厳密に実行できる。

軸力の自由度（$u_i$）を追加すると、曲げと独立な2×2の剛性：

分布荷重 $q$ を等価節点荷重に変換する。一様分布荷重の場合：

完璧な理解だ。等価節点荷重は固定端反力の符号を変えたものに等しい。この対応を知っていると、等価節点荷重が正しく計算されているか直感的に検証できる。

CBARはオイラー・ベルヌーイ梁（せん断変形なし）、CBEAMはティモシェンコ梁（せん断変形あり＋ワーピング対応）。CBEAMのほうが高機能だが、細長い梁ではCBARで十分。

AbaqusではB33がオイラー・ベルヌーイ、B31がティモシェンコ。3次元の梁要素ではB31（ティモシェンコ）がデフォルト推奨。B33を使うメリットは稀だ。

主要なパラメータ：

定義方法は2種類：

単位の間違いが最も多い。$I$ は長さの4乗だから、mm系なら mm⁴。mとmmを間違えると $10^{12}$ 倍ずれる。断面形状から自動計算するほうが安全だ。

要点：

梁要素は構造解析で最も多く使われる要素タイプだ。ビルのフレーム、橋梁、機械のシャフト、配管…どこにでも使われている。

鉄骨造や鉄筋コンクリート造のフレーム解析は梁要素の最大の適用分野だ。柱と梁を梁要素でモデル化し、接合部は節点として処理する。

ポイント：

3つのアプローチ：

全く違う。梁要素の結果は断面力（軸力 $N$、せん断力 $V$、曲げモーメント $M$、ねじりモーメント $T$）として出力される。応力は断面力から計算する：

そう。多くのソルバーは梁要素の応力も出力するが、それは上記の式に基づく公称応力であり、局所的な応力集中（フィレット、ボルト穴、溶接部）は含まない。応力集中の評価にはシェルやソリッドのサブモデルが必要だ。

まさにそう。構造解析のワークフローは「梁要素のフレームモデル → シェルのサブモデル → ソリッドの局所モデル」という階層構造になることが多い。

H形鋼の強軸と弱軸を間違えると断面二次モーメントが10倍以上変わる。たわみも10倍変わるから、すぐに気づけるはずだが、意外と見落とされる。必ず変位のオーダーを手計算と比較すること。

汎用FEMの梁要素に加えて、構造設計に特化したフレーム解析ソフトがある。

SS3（超高層対応版がSuperBuild/SS7）は日本の建築基準法に完全対応した一貫構造計算プログラムだ。確認申請に必須の保有水平耐力計算を内蔵している。国内の建築設計事務所では事実上の標準だ。

設計専用ソフトは設計コードチェックが自動化されている。梁の許容応力度、座屈耐力、たわみ制限…全てソフトが自動で判定する。汎用FEMは応力を出すだけで、コードチェックはエンジニアが手動で行う。

したがって：

梁要素ベースのフレーム解析は建築・土木の日常業務だから、効率化の需要が大きい。ツール選びは「どの設計コードを使うか」で決まることが多い。

梁理論自体は完成しているが、その拡張と新材料への適用が活発だ。

断面方向に材料特性が連続的に変化するFGM梁の曲げ理論。中立軸が幾何学的中心からずれるため、通常の曲げ式 $M = EI\kappa$ が直接使えない。FGM梁の有限要素定式化が研究されている。

カーボンナノチューブやグラフェンシートの力学は非局所弾性理論（Eringen理論）に基づくオイラー・ベルヌーイ梁として記述できる。通常の弾性論に「非局所パラメータ」を追加して、分子間力の長距離効果を考慮する。

材料特性や荷重のばらつきを確率変数として扱う確率論的有限要素法（SFEM）の梁要素が研究されている。構造の信頼性評価に使われ、$E$ や $I$ のばらつきがたわみ・応力の分布にどう伝播するかを定量化する。

共回転定式化（co-rotational formulation）が大変形梁の標準的手法だ。要素ごとにローカル座標系を回転させて追従し、要素内では小変形の梁理論を使う。大域的には大回転・大変位に対応できる。

OpenSeesの非線形梁要素やAbaqusのB31要素は共回転定式化に基づいている。地震時の鉄骨フレームの大変形崩壊解析に不可欠だ。

梁要素は設定がシンプルな分、間違いに気づきにくいことがある。

確認項目：

その通り。AbaqusのB31（ティモシェンコ）でオイラー・ベルヌーイの理論解と比較すると、数%の差が出る。比較するならB33（オイラー・ベルヌーイ）を使うか、ティモシェンコの理論解と比較すること。

集中荷重の作用点でせん断力が不連続になるのは正常だ。分布荷重でも、要素の境界で値が少し変わることがある。梁要素の断面力は要素単位で出力されるため、同じ節点でも左側要素と右側要素で値が異なる。

各要素の端部の値を接続して描く。FEMのポスト処理ツールは通常これを自動で行うが、梁要素のBMD/SFD表示機能があるかどうかはソルバーのポストプロセッサによる。Abaqus/CAEは梁の断面力図を描ける。Nastranのf06ファイルからは手動でプロットする必要がある。

梁要素はたわみ $w$ と回転角 $\theta$ の両方の自由度を持つが、ソリッド要素は変位のみ。直接接続すると回転自由度が拘束されない。

対策：

別のページで詳しく扱うが、簡単に言うと：

オイラー・ベルヌーイ梁要素（CBAR, B33等）はワーピング自由度がないため、横座屈（曲げねじり座屈）を正しく表現できない。横座屈を評価するには：

その通り。断面諸元と支持条件の2つが正しければ、梁要素の結果は非常に信頼性が高い。この2つを確実に押さえることが梁要素解析の全てだ。