Coulomb摩擦モデル
Coulomb摩擦の理論基礎
Coulomb摩擦とは
先生、FEMの摩擦モデルの基本を教えてください。
Coulomb摩擦は最も基本的な摩擦モデル。接線方向の摩擦力が法線力に比例：
- $\tau$ — 摩擦力（接線方向応力）
- $p_n$ — 接触圧（法線方向応力）
- $\mu$ — 摩擦係数
固着とすべり
2つの状態：
- 固着（stick） — $|\tau| < \mu p_n$。相対すべりなし
- すべり（slip） — $|\tau| = \mu p_n$。摩擦力が限界に達してすべる
固着→すべりの遷移が非線形なんですね。
摩擦係数の代表値
| 材料ペア | $\mu$（乾燥） |
|---|---|
| 鋼-鋼 | 0.15〜0.3 |
| 鋼-アルミ | 0.2〜0.4 |
| 鋼-ゴム | 0.5〜0.8 |
| 鋼-テフロン | 0.04〜0.1 |
| コンクリート-鋼 | 0.3〜0.5 |
FEMでの摩擦設定
まとめ
要点：
- $|\tau| \leq \mu p_n$ — 摩擦力の上限
- 固着/すべりの二値状態 — 接触に追加の非線形
- 摩擦係数は材料ペアに依存 — 実測値を使う
- ペナルティ法で摩擦を処理 — すべり方向にもペナルティばね
Coulombの1781年実験
フランスの軍人エンジニアCharles-Augustin de Coulombは1781年、木材・金属・石を組み合わせた数百回の摩擦実験を体系化し、摩擦力が垂直荷重に比例し接触面積に依存しないという「Coulombの摩擦法則」を導いた。さらに遡ると、Leonardo da Vinciが1495年の秘密ノートに同じ関係を図解していたことが1967年に発覚し、科学史に驚きをもたらした。
Coulomb摩擦の数値計算手法
摩擦のペナルティ法
摩擦もペナルティ法で処理。接線方向の「固着ペナルティ」：
$k_t$ は接線方向のペナルティ剛性、$\delta_t$ は接線方向の弾性すべり。$|\tau| = \mu p_n$ に達するとすべりに遷移。
「弾性すべり」って実際のすべりの前に微小なすべりがあるということ？
ペナルティ法の人工的な「弾性すべり」。物理的には固着状態ではすべりゼロだが、数値的には有限の接線ペナルティ剛性で微小なすべりが発生する。$k_t$ が大きいほど弾性すべりは小さい。
静摩擦と動摩擦
LS-DYNAでは静摩擦係数 $\mu_s$ と動摩擦係数 $\mu_d$ を別々に設定可能。すべりが始まると$\mu_s → \mu_d$（$\mu_d < \mu_s$）に遷移する。指数関数で滑らかに遷移させる。
まとめ
スティック‐スリップ判定
Coulomb摩擦のFEM実装では、各接触点を「スティック（固着）」か「スリップ（滑り）」かで分岐させる必要がある。1970年代にZienkiewiczらが導入したreturn mapping法では、試行応力を算出してから摩擦コーンへ射影する2段階演算を採用し、反復1回あたりの計算コストを大幅に削減した。この手法は現在もABAQUSやANSYSの標準アルゴリズムとして残っている。
Coulomb摩擦の実務適用
摩擦の実務
摩擦が重要な問題：
- ボルト接合のクランプ力 — 摩擦で荷重を伝達
- プレス成形 — ダイとブランクの摩擦が変形に影響
- ブレーキ — 摩擦力 = 制動力
- 配管サポート — すべりサポートの摩擦力
摩擦係数の不確かさ
摩擦係数は非常にばらつきが大きい（±30%以上）。表面状態（粗さ、潤滑、酸化膜）に強く依存。
対策：
- 摩擦係数の感度分析（$\mu_{low}$ と $\mu_{high}$ の2ケース）
- 実測値を使用（試験結果）
- 文献値はあくまで参考
実務チェックリスト
ブレーキスクイール解析
自動車のブレーキスクイール（鳴き）は、Coulomb摩擦係数のわずかな速度依存性が負減衰を生じさせるために起こる。2000年代にフォードとTRWが共同で行ったNastranを用いた複素固有値解析では、摩擦係数を0.35から0.40に変えるだけで不安定モードの数が3倍に増加し、パッド形状の最適化に直結する知見が得られた。
Coulomb摩擦のソフトウェア比較
摩擦のツール
全ソルバーでCoulomb摩擦が標準対応。差が出るのは高度な摩擦モデル（摩耗、速度依存）。
| 機能 | Abaqus | Nastran | Ansys | LS-DYNA |
|---|---|---|---|---|
| Coulomb摩擦 | ○ | ○ | ○ | ○ |
| 静/動摩擦 | △ | — | ○ | ○（FS/FD） |
| 速度依存摩擦 | *FRICTION, EXPONENTIAL | — | — | ○ |
| 摩耗モデル | ユーザーサブルーチン | — | — | ○（*MAT_WEAR） |
選定ガイド
摩擦コーン実装の変遷
MSC Nastranは1970年代後半にSLID/STIFFパラメータで摩擦を表現する簡易モデルを搭載したが、完全なCoulomb摩擦コーンはMD Nastran 2006で初めて実装された。一方、LS-DYNAはVersion 930（1993年頃）からtype 3接触でμsとμdの2段階設定を許可し、クラッシュ解析の現場では長らくデファクトスタンダードとなっていた。
Coulomb摩擦の先端研究
摩擦の先端研究
MD摩擦則の最前線
2010年代以降、分子動力学（MD）シミュレーションにより、Coulomb則が成立しないナノスケール摩擦のメカニズムが解明されつつある。2019年にNature Materialsで発表されたMoS₂単層の実験では、摩擦力が接触面積の0.5乗に比例するスケーリングが観測され、マクロCoulombモデルとの橋渡しとなる多スケール摩擦則の研究が加速している。
Coulomb摩擦のトラブル対応
摩擦のトラブル
摩擦振動の発散失敗
1990年代の初期クラッシュ解析では、摩擦係数を静的試験値（μ=0.6）のままダイナミック解析に適用したため、スライディング面が高周波振動を引き起こし解が発散する事例が多発した。根本原因は速度依存項の欠落で、動摩擦係数（μk≈0.4）を別途設定するか、Stribeck曲線でなめらかに補間することで収束するようになった。
関連トピック
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