› ボード線図 戻る
周波数応答

ボード線図ジェネレーター

標準的な伝達関数のゲイン線図・位相線図をリアルタイムに描画します。ゲイン余裕、位相余裕、交差周波数を自動計算し、安定性を評価できます。

伝達関数
伝達関数タイプ
ゲイン K
時定数 τ [s]
高次から低次へカンマ区切りで入力
周波数範囲
最小 ω [rad/s]
最大 ω [rad/s]
計算結果
安定
—
ゲイン余裕 [dB]
—
位相余裕 [°]
—
ゲイン交差 ωgc [rad/s]
—
位相交差 ωpc [rad/s]
ゲイン線図 [dB vs log ω]
ゲイン
位相線図 [° vs log ω]
位相
理論・主要公式

ゲイン (dB) and phase:

$$|G(j\omega)|_{\rm dB}=20\log_{10}|G(j\omega)|, \quad \angle G(j\omega)$$

ゲイン余裕と位相余裕:

$$GM = -20\log_{10}|G(j\omega_{pc})|\ [\text{dB}], \quad PM = 180°+\angle G(j\omega_{gc})$$

$\omega_{gc}$: $|G|=1$（0dB）となる周波数、$\omega_{pc}$: 位相が -180° となる周波数

ボード線図とは？

🙋
ボード線図は何を表すグラフですか？制御設計でよく使われる理由も知りたいです。
🎓
周波数を変えたときのシステム応答を、ゲインと位相の2つのグラフで表したものです。ゲインは増幅・減衰の大きさ、位相は入力に対する遅れを示します。「ゲイン K」や「減衰比 ζ」を動かすと、安定余裕や共振ピークがどう変わるかを確認できます。
🙋
ゲイン余裕や位相余裕は、安定性の目安という理解でよいですか？
🎓
はい。ゲイン余裕は、どれだけゲインを増やしても不安定化しにくいか、位相余裕はどれだけ余分な位相遅れを許容できるかを表します。一般にはゲイン余裕6dB以上、位相余裕30度以上が一つの目安になります。

物理モデルと主要式

伝達関数 $G(s)$ に対して $s=j\omega$ を代入し、周波数ごとの複素応答を求めます。ゲインはデシベル表示、位相は角度で表示します。

$$|G(j\omega)|_{\rm dB}=20\log_{10}|G(j\omega)|,\quad \angle G(j\omega)$$

対数表示にすることで、周波数範囲が広いシステムでも傾向を読み取りやすくなります。

ゲイン余裕 GM と位相余裕 PM は、位相交差周波数とゲイン交差周波数から求めます。

$$GM=-20\log_{10}|G(j\omega_{pc})|,\quad PM=180^\circ+\angle G(j\omega_{gc})$$

$\omega_{pc}$ は位相が -180° になる周波数、$\omega_{gc}$ はゲインが0dBになる周波数です。余裕が負になる場合は閉ループ系が不安定になる可能性があります。

よくある質問

一般には、ゲイン余裕または位相余裕が負になると閉ループ系は不安定化しやすくなります。実機では遅れ、飽和、摩擦なども加わるため、十分な余裕を残して設計します。
高次系でも周波数応答を数値的に評価できます。ただし次数が極端に高い場合や周波数範囲が広すぎる場合は描画が重くなるため、表示範囲を絞ると確認しやすくなります。
低周波ゲインを下げる、位相進み補償を入れる、極や零点の配置を見直す、といった方法があります。応答速度と安定余裕はトレードオフになるため、グラフを見ながら調整します。

実務での使いどころ

制御系設計: ロボット、ドローン、化学プロセスなどのフィードバック制御で、応答速度と安定余裕を確認します。

振動・音響解析: 共振ピークを把握し、減衰不足による過大振動や騒音を避けます。

フィルタ設計: 不要な周波数成分をどれだけ減衰できるかを確認します。

注意点

ゲイン余裕が大きければ常に良いわけではありません。余裕を大きく取りすぎると応答が遅くなる場合があります。また、ボード線図の評価は線形時不変系を前提にしているため、実機では飽和、摩擦、遅れなどを含めた検証が必要です。

関連ツール

根軌跡法 制御系設計ツール 根軌跡法を用いた制御系設計をオンラインで無料シミュレーション。開ループ極・零点を設定するだけで、ゲインK変化時の閉ループ極の軌跡をリアルタイム描画。安定余裕やステップ応答も自動計算で... ナイキスト線図・安定余裕 シミュレーター ナイキスト線図と安定余裕をリアルタイムにシミュレーションできる無料オンラインツールです。開ループ伝達関数のゲイン余裕・位相余裕を自動計算し、安定性を視覚的に確認できます。ボード線図と... 状態空間表現 解析シミュレーター 状態空間表現の解析と設計をオンラインで無料実行。可制御性・可観測性の判定、極配置、状態フィードバックゲイン設計、ステップ応答のシミュレーションをリアルタイムに実施。直感的な操作で制御... LQR 倒立振子シミュレーター — 最適レギュレータと状態フィードバック LQR 倒立振子シミュレーターは、4次状態空間モデルのカート＋振子に最適レギュレータ u=-Kx を適用し、Q・R 重み調整による応答と入力波形をリアルタイム可視化します。整定時間・... モデル予測制御シミュレーター — 有限ホライズン最適化 モデル予測制御（MPC）シミュレーターは、1次プロセスに対し予測ホライズン先までの出力を最小化する最適入力を毎ステップ計算します。予測ホライズン・制御ホライズン・入力ペナルティを変え... カルマンフィルターシミュレーター カルマンフィルターシミュレーターで、ノイズを含むデータからの状態推定を可視化。プロセスノイズと観測ノイズをリアルタイム調整し、フィルタリング効果を体感できます。GPS追跡やセンサーフ...