パラメータ設定
α=−1 は古典的な反対称モード（Chladni 図形）、α=+1 は対称モード、|α|<1 は混合モード。サムネイル一覧の黄色枠が現在のモードです。
振動モードヒートマップ φ(x,y)
青＝φ<0（位相が下方向）／赤＝φ>0（位相が上方向）／白＝|φ|<ε（節線：砂粒子が集まる場所）。100×100 グリッドで Ritz 近似モードを評価しています。
モードサムネイル一覧 (1..4 × 1..4)
4×4 グリッドに 16 種のモード (m,n) の節線パターンを並べて表示。現在選択中のモードは黄色枠でハイライトされます。クリックでそのモードに切り替わります。
理論・主要公式
正方形板（一辺の長さ $L$）上の振動モードは、$x,y$ 方向の cos モードの積で表されます。
Ritz 近似による合成モード関数（$\alpha$ は合成パラメータ）：
$$\phi_{mn}(x,y) = \cos\!\left(\tfrac{m\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\tfrac{n\pi y}{L}\right) + \alpha\,\cos\!\left(\tfrac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\tfrac{m\pi y}{L}\right)$$
節線は $|\phi(x,y)| < \varepsilon$ を満たす点集合として描画します。
Kirchhoff 板（周辺自由）の相対固有振動数：
$$\frac{f_{mn}}{f_{11}} = \frac{m^2 + n^2}{2}$$
$\alpha=+1$ で対称モード（$x\leftrightarrow y$ 入れ替えに不変）、$\alpha=-1$ で反対称モード（古典的な Chladni 図形）になります。中間値では混合モードとなり、節線が斜めにねじれます。
クラドニ図形シミュレーターとは
🙋
中学のとき音楽室で見た「砂で模様ができる金属板」のやつですよね？あれって何が起きているんですか？
🎓
そう、それが Chladni 図形だ。1787 年に Ernst Chladni が体系化した実験で、薄い板を共振周波数で振動させると、振幅が大きい「腹」では砂が跳ね飛ばされて、振幅ゼロの「節線」に砂が落ち着く。だから板の振動モード φ_mn(x,y) の節線パターンが目で見えるんだ。本シミュレーターはその φ を Ritz 近似で計算し、$|\phi| < \varepsilon$ の白い帯として節線を描画している。
🙋
「モード m と n」って何の番号なんですか？
🎓
m は x 方向、n は y 方向の半波長の数だ。$\cos(m\pi x/L)$ は x 方向に m 個の腹を作るから、(m,n)=(3,5) なら x 方向に 3 列、y 方向に 5 列の腹ができる。さらに正方形板では (m,n) と (n,m) が縮退（同じ周波数）するから、両者の線形結合 $\phi = \cos\!\cos + \alpha\,\cos\!\cos$ が固有関数になる。α の値で見え方ががらっと変わるよ。
🙋
α=−1 と α=+1 で見え方が全然違いますね…！何が起きているんですか？
🎓
α=+1 では x↔y を入れ替えても φ が変わらない「対称モード」になり、節線が対角線方向に揃う。α=−1 では入れ替えで符号が反転する「反対称モード」で、これが古典的な Chladni 図形（縞や格子状の網目）に対応する。実物の砂は反対称モードで最も鮮明な絵柄を作る。「α をスイープ」ボタンを押すと連続的に変化する様子が見える。
🙋
「相対振動数 17.0」というのは、(1,1) モードの 17 倍の周波数で共振するという意味ですか？
🎓
そう。Kirchhoff 板（薄板）の固有振動数は $f_{mn} \propto (m^2+n^2)$ で、基準モード $f_{11}$ を 1 に正規化すると $(m^2+n^2)/2$ になる。デフォルトの (3,5) なら $(9+25)/2 = 17.0$。実際の絶対周波数は板の厚さ・密度・ヤング率と境界条件で決まるけれど、「モード間の比」は形状だけで決まるので、教育的な相対指標として使いやすい。
よくある質問
本ツールはモード関数 φ(x,y) の節線（|φ|<ε の領域）を可視化するもので、個々の砂粒子の動力学（弾性散乱・摩擦・慣性）はモデル化していません。実際の砂粒子は、振幅の高い腹から低い節へ移動するエネルギー最小化過程によって集積しますが、定常状態の集積位置は節線にほぼ一致するため、本シミュレーターの白い線が実験での砂の集まる場所に対応します。粒子サイズや板の減衰によっては節線がぼやけて「節帯」として見え、これが本ツールの ε パラメータに相当します。
正方形板は固有関数が $\cos(m\pi x/L)\cos(n\pi y/L)$ の積で書けるため数式が簡潔で、教育的に最もわかりやすい設定です。実際の Chladni の実験では円形・三角・角形などさまざまな形状が用いられました。円板の場合は固有関数が Bessel 関数になり、節線が同心円と放射状の組み合わせになります。形状を変えても「節線が振動振幅ゼロの幾何学的な集合である」という本質は同じで、形状ごとに固有のクラドニ図形が現れます。
本ツールの φ_mn(x,y) はまさに有限要素法 (FEM) の固有値解析で得られるモード形状そのものです。CAE では Ansys/Abaqus/Nastran 等で板やシェル要素のモード解析を行い、各モードの固有振動数と節線パターンを抽出します。エンジンのカバー、自動車のオイルパン、HDD のハウジングなど、薄板構造の共振回避設計では、加振周波数がモード周波数に近づかないよう板厚や補強リブの配置を最適化します。Chladni 図形は「節線の場所には負担がかからない」ことを示すため、センサー取り付け位置の選定にも活用されます。
縮退した二つの固有モード $\cos(m\pi x)\cos(n\pi y)$ と $\cos(n\pi x)\cos(m\pi y)$ の線形結合は、係数 α の値で節線の幾何が連続的に変化します。α=±1 では x または y 軸に平行な格子状の節線になりますが、|α|<1 ではモードが「ねじれた」形状になり、対角線方向の節線や曲線状の節線が現れます。これは固有値が縮退している場合に固有関数が一意に決まらないという量子力学・線形代数の一般則の表れです。実際の薄板でも板に微小な異方性（板厚の不均一など）があると、α が ±1 から外れたパターンが観察されます。
実世界での応用
楽器設計（ヴァイオリン・ギターの響板）：ヴァイオリンの表板や裏板の設計では、特定の周波数（A=440 Hz の倍音など）でのモード形状が音色を決定します。製作者は Chladni 図形を使って実際に砂を撒き、削り込みで節線パターンを微調整します。最終的にトンモード・リングモード・クロスモードなどの古典的なモードが目標形状になるよう板厚分布を仕上げます。
板構造の振動疲労設計：HDD のディスク・自動車のフロアパネル・航空機のスキンパネルなど、薄板構造の振動疲労破壊は腹（振幅最大）部分の応力集中で起きやすいため、節線位置に補強リブやマウントを配置することで、加振周波数での疲労寿命を大幅に伸ばせます。FEM で固有モードを解析し、本ツールのような節線図と腹分布を比較しながら設計します。
センサー・アクチュエータ位置選定：圧電センサー（PZT パッチ）を加速度計測のために板に貼る場合、節線上ではモード成分が拾えず、腹の上では特定モードに過剰反応します。複数モードを区別したい場合は、各モードの節線が交差しない位置を選ぶ必要があり、Chladni 図形の重ね合わせが設計指針になります。同じ理由でアクチュエータの加振位置選定にも応用されます。
非破壊検査（モーダルテスト）：板や配管の損傷検査では、加振実験で得られる振動モードを健全状態と比較します。き裂や接合不良がある場合、モード周波数のシフトと節線パターンの局所変形が観察され、これを Chladni 図形の変化として検出できます。打鍵法 (Impact-Hammer Test) や走査レーザー振動計 (LDV) と組み合わせて、橋梁・タンク・タービンブレードの健全性監視に使われます。
よくある誤解と注意点
最も多い誤解は、「Chladni 図形は実体のある物理現象だから、シミュレーションでも砂粒子を動かすべき」と考えることです。実際には Chladni 図形は「定常状態の節線の幾何学的位置」であり、過渡的な砂の流動を再現する必要はありません。本シミュレーターは振動モード関数 φ(x,y) の節線を直接描画しており、これが実験で砂が最終的に集まる位置と一致します。動的な粒子シミュレーションは可視化として面白いですが、同じ図形に至るため、節線の幾何を理解する目的では不要です。
次に多いのが、「相対振動数 (m²+n²)/2 がそのまま絶対周波数（Hz）になる」と思い込むことです。実際の絶対周波数は $f_{mn} = C \cdot (m^2+n^2)/L^2 \cdot \sqrt{D/\rho h}$ のように、板の縦弾性係数 E、密度 ρ、厚さ h、長さ L、ポアソン比、境界条件（自由・単純支持・固定）に強く依存します。本ツールが表示する 17.0 は「(1,1) モードを 1 とした相対比」であり、教育的な指標として有用ですが、実機設計では FEM や測定で絶対値を確認する必要があります。
最後に、「α=±1 以外のモードは存在しない」と思い込むのも危険です。理想的な正方形板（完全等方性・完全対称境界）では α=±1 が固有関数ですが、実物の板では板厚の不均一、材料の異方性、境界条件の微小な非対称性により、α が中間値に対応する「混合モード」も存在します。本ツールで α を連続変化させると、節線が斜めにねじれていく様子が観察でき、これが実験で「教科書通りでない」パターンが現れる物理的理由です。固有値の縮退と摂動の関係を直感的に学ぶよい例題になります。